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直线与平面垂直的判定(1)


直线与平面垂直的判定

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

AB ⊥α 内过点B的所有直线 AB ⊥α 内任意一条直线
A

B

α

B1 C1

C

一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α 内的任意一条直线都 垂直,我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直 线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫 做垂足.

平面的垂线 A
直线的垂面

?

垂足

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .

直线和平面垂直的画法:
L

P

?

通常把直线画成和表示平面的平 行四边形的一边垂直。

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)

1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平 面内所有的直线都垂直. ( )
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直, 那么它与平面垂直. ( )
b a
α

探索新知: 利用定义,我们得到了判定线面垂直的最基 本方法,同时也得到了线面垂直的最基本的性质.

l ? ? ? l ? m, 任意 m ? ? .
但是,直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的,这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!

二、 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直

? ? n ?? ? ? m ? n ? p? ? l ? ? ? l?m ? l?n ? ?

m ??

l

?

m

P

n

线线垂直

?线面垂直

判断下列命题是否正确? (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直(√ ) (2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直(√ )

l

?P

l

?

?

?

P

例1.在下图的长方体中,请列举与平面ABCD垂直 的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系?
D′
C′

A′
D

B′

C

A

B

平行垂直于同一平面的两直线互相平行

例2、在正方体AC1中,求证:
(1)AC⊥平面D1DB
A1

D1
B1 D

C1

(2)D1B⊥AB1 (3)D1B⊥平面ACB1
A

C B

例3、三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
(1)求证:AC ⊥平面VKB (2)求证:VB ⊥AC
V

(1)连接VK,KB,由VA=VC,K为AC中 点,由三线合一可知VK ⊥AC, 同理可得KB ⊥AC,且VK∩KB=K
A K

C

所以AC ⊥平面VKB

(判定定理)
B

(2)由(1)可知,AC ⊥平面VKB 又因为VB ? 平面VKB 所以VB ⊥ AC (定义)

例4 :已知矩形ABCD, 过A作PA ? 面ABCD, 再过A作AE ? PB于E , 过E作EF ? PC于F (1)求证 : BC ? 面PAB (2)求证 : AE ? 面PBC (3)求证 : AF ? PC


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