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高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习:2-3-1双曲线的标准方程


2.3.1 双曲线的标准方程
一、选择题 1.已知点 F1(0,-13),F2(0,13),动点 P 到 F1 与 F2 的距离之差的绝对值为 26,则动 点 P 的轨迹方程为( A.y=0 ) B.y=0(|x|≥13)

C.x=0(|y|≥13) D.以上都不对 [答案] C [解析] ||PF1|-|PF2||=|F1F2|,∴x=0. x2 y2 2.双曲线 - =1 的焦点坐标为( 16 9 A.(- 7,0),( 7,0) B.(0,- 7),(0, 7) C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5) [答案] C [解析] 16+9=c2=25,∴c=5, ∵焦点在 x 轴上,∴(-5,0),(5,0)为焦点坐标. 3.已知定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( 1 A. 2 7 C. 2 [答案] C [解析] 点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线的右支,如右图所示,当 P 与双曲线右 3 7 支顶点 M 重合时,|PA|最小,最小值为 a+c= +2= .故选 C. 2 2 3 B. 2 D.5 ) )

x2 y2 4.已知双曲线方程为 2- 2=1,点 A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线的 a b 右焦点 F2,|AB|=m,F1 为另一焦点,则△ABF1 的周长为( A.2a+2m C.a+m [答案] B B.4a+2m D.2a+4m )

[解析] 由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a, |BF1|-|BF2|=2a, ∴|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a. 又|AF1|+|BF1|=AB=m, ∴△ABF1 周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m. y2 5.设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点.若|PF1|:|PF1| 12 =3:2,则△PF1F2 的面积为( A.6 3 C.12 3 [答案] B [解析] 设|PF1|=x,|PF2|=y, B.12 D.24 )

?x-y=2, ? ? ?x=6 则?x 3 解得? 又|F1F2|=2 13 ? ?y=4 ?y=2, ?
16+36-4×13 由余弦定理得 cos∠F1PF2= =0. 2×4×6 1 1 ∴S△PF1F2= x· sin∠F1PF2=4×6× ×1=12. y· 2 2 x2 y2 x2 y2 6. 若椭圆 + =1(m>n>0)和双曲线 - =1(a>0.b>0)有相同的焦点, 是两曲线上的 P m n a b 一个交点,则|PF1|· 2|的值为( |PF A.m-a C.m2-a2 [答案] A [解析] 由题意|PF1|+|PF2|=2 m,|PF1|-|PF2|=2 a整理得|PF1|· 2|=m-a,选 A. |PF x2 y2 7.方程 + =1 所表示的曲线为 C,有下列命题: 4-t t-2 ①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能是圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 3<t<4. 以上命题正确的是( A.②③ C.②④ [答案] C ) B.m-b D. m- b )

B.①④ D.①②④

[解析] 若 C 为圆,则 4-t=t-2>0,∴t=3. 当 t=3,C 表示圆,∴③不正确.

?4-t>0, ? 若 C 为椭圆,则?t-2>0, ?4-t≠t-2. ?
∴2<t<4,且 t≠3, 故①不正确,故选 C. 3 8.设 θ∈( π,π)则关于 x,y 的方程 x2cscθ-y2secθ=1 所表示的曲线是( 4 A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.长轴在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 [答案] C x2 y2 3π [解析] 方程即是 + =1,因 θ∈( ,π),∴sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ, sinθ -cosθ 4 故方程表示长轴在 y 轴上的椭圆,故答案为 C. 9.已知平面内有一定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 的中 点,则|PO|的最小值为( A.1 C.2 [答案] B [解析] 由已知,P 点轨迹为以 A,B 为焦点,2a=3 的双曲线一支,顶点到原点距离最 3 小,∴|PO|的最小值为 ,故选 B. 2 x2 → → 10.设 F1,F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且PF1· 2=0,则 PF 4 |PF1|· 2|的值等于( |PF A.2 C.4 [答案] A → → → → [解析] ∵PF1· 2=0,∴PF1⊥PF2. PF 又||PF1|-|PF2||=4,|PF1|2+|PF2|2=20, ∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· 2|=20-2|PF1|· 2|=16, |PF |PF ∴|PF1|· 2|=2. |PF ) B.2 2 D.8 3 B. 2 D.4 ) )

二、填空题 11.双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3) ,那么 k 的值为________. [答案] k=-1 x2 y2 8 1 [解析] 方程为 - =1,∵焦点为(0,3),∴k<0 且(- )+(- )=9,∴k=-1. 1 8 k k k k 12. 若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离是 2, a+b=________. 则 [答案] 1 2

|a-b| [解析] p(a,b)点到 y=x 的距离 d= , 2 ∵P(a,b)在 y=x 下方, 1 ∴a>b∴a-b=2,又 a2-b2=1,∴a+b= . 2 x2 y2 13.设圆过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双 9 16 曲线中心的距离是________. [答案] 16 3

c+a x2 y2 [解析] 如图所示,设圆心 P(x0,y0),则|x0|= =4,代入 - =1, 2 9 16 得 y2= 0 16×7 , 9

16 ∴|OP|= x2+y2= . 0 0 3 x2 y2 14.双曲线 - =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥F1F2,则点 P 16 9 到 x 轴的距离为______. [答案] 9 4

[解析] ∵F1(-5,0),PF1⊥F1F2.设 P(-5,yP) ∴
2 25 yP 81 9 - =1,即 y2 = ,∴|yP|= , P 16 9 16 4

9 ∴点 P 到 x 轴的距离为 . 4

三、解答题 15.已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数,对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的 曲线类型. [解析] 当 k=0 时,y=± 2,表示两条与 x 轴平行的直线. 当 k=1 时,方程为 x2+y2=4,表示圆心在原点上,半径为 2 的圆. y2 x2 当 k<0 时,方程 + =1,表示焦点在 y 轴上的双曲线. 4 4 k x2 y2 当 0<k<1 时,方程 + =1,表示焦点在 x 轴上的椭圆. 4 4 k x2 y2 当 k>1 时,方程 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. 4 4 k 1 16.在△ABC 中,BC 固定,A 点为动点,设|BC|=8,且|sinC-sinB|= sinA,求 A 点 2 的轨迹方程. [解析] 以 BC 所在直线为 x 轴,以线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 B(-4,0),C(4,0).设 A(x,y),则由正弦定理知,sinA= a b c ,sinB= ,sinC= ,代入|sinC 2R 2R 2R

1 1 -sinB|= sinA,得|c-b|= a=4,且|BC|=8>4,故由双曲线定义知,A 点在以 B,C 为焦点 2 2
2 2 的双曲线上,2a0=4,∴a0=2,2c0=8,c0=4,∴b0=c2-a0=16-4=12,即点 A 的轨迹方 0

x2 y2 程为 - =1(y≠0). 4 12 x2 y2 17.设双曲线 - =1,F1,F2 是其两个焦点,点 M 在双曲线上. 4 9 (1)若∠F1MF2=90° ,求△F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2=60° 时,△F1MF2 的面积是多少?若∠F1MF2=120° 时,△F1MF2 的面积 又是多少? [解析] (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13, 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2)

如图所示. 由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4.
2 两边平方得 r1+r2-2r1·2=16, r 2

因为∠F1MF2=90° ,所以 r2+r2=|F1F2|2=(2c)2=52, 1 2 所以 r1r2=18,所以 S△F1MF2=9. (2)若∠F1MF2=60° ,在△MF1F2 中, 由余弦定理得|F1F2|2=r2+r2-2r1r2cos60° 1 2 |F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,得 r1r2=36, 1 所以 S△F1MF2= r1r2sin60° =9 3. 2 同理,当∠F1MF2=120° ,S△F1MF2=3 3. 18.如图所示,某村在 P 处有一堆肥,今要把此堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到成矩形的 一块田 ABCD 中去,已知 PA=100m,BP=150m,BC=60m,∠APB=60° ,能否在田中确 定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送肥较近而另一侧的点则沿 PB 送肥较近?如 果能,请说出这条界线是什么曲线,并求出它的方程.

[解析] 田地 ABCD 中的点可分为三类:第一类沿 PA 送肥近,第二类沿 PB 送肥较近, 第三类沿 PA 或 PB 送肥一样近,由题意知,界线是第三类点的轨迹. 设 M 是界线上的任一点,则 |PA|+|MA|=|PB|+|MB|, 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值) 故所求界线是以 A、B 为焦点的双曲线一支. 若以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系,则所求双曲线 x y2 为 2- 2=1,其中 a=25, a b
2

2c=|AB|= 1002+1502-2· 150· 100· cos60° =50 7. ∴c=25 7,b2=c2-a2=3750. 因此,双曲线方程为

x2 y2 - =1(25≤x≤35,y≥0), 625 3750 即为所求界线的方程.


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