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第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 教案


人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)

第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
教案 A 第 1 课时
教学内容:3.1.1 倾斜角与斜率 教学目标 一、知识与技能 1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念; 2. 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 二、过程与方法 经历将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题的过程,进而转化为倾斜角 的正切即斜率问题(代数问题)进行解决,不断体会“数形结合”的思想方法. 三、情感、态度与价值观 1. 通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系,提高观察、探 索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力; 2. 通过建立斜率概念和推导斜率公式,进一步理解数形结合的思想,树立辩证统 一的观点,形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 教学重点、难点 教学重点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学难点:斜率的计算方法. 教学关键:直线斜率的两种计算方法. 教学突破方法:结合图形,使学生理解直线倾斜角的概念,抓住直线的倾斜角与斜 率的联系,引导学生掌握直线斜率的计算方法. 教法与学法导航 教学方法:启发、引导、讨论. 学习方法:探究、思考、讨论、练习. 教学准备 教师准备:多媒体课件(用于展示问题、引导讨论、出示答案). 学生准备:一次函数与直线的关系、特殊角的正切值. 教学过程 详见下页表格.

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教师备课系统──多媒体教案
教学 环节 教学内容 我们知道, 经过两点有且只有 (确定)一条直线,那么,经过一 点 P 的直线 l 的位置能确定吗?如 图, 过一点 P 可作无数多条直线 a, b,c,?易见,答案是否定的,这 些直线有什么联系呢? 1.直线倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向 上方向之间所成的角 ? 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定 ? ? 0 . 因为平面直角坐标系内的每 一条直线都有确定的倾斜程度, 引 入直线的倾斜角之后, 我们就可以 用倾斜角 ? 来表示平面直角坐标 系内的每一条直线的倾斜程度. y 概念 深化 O a b c x 师生互动 设计意图

创设 情景 导入 新课

学生回答 (不能确定) (1)它们都经过点 P. ( 2 )它们的倾斜程度不 设疑激趣 同. 导入课 接着教师提出:怎样 题. 描述这种倾斜程度的不 同?由此引入课题. 教师提问: 倾斜角 ? 的取值范围 是什么?0°≤α<180° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ? ? 90 (由学生结合图形回答) 教师提问: 如左图,直线 a∥b∥ c, 那么它们的倾斜角 ? 相 等吗? 学生回答后作出结 论. 一个倾斜角 ? 不能确 定一条直线,进而得出确 定一条直线位置的几何要 素.

概念 形成

通 过 这种师生 互动引导 学生明确 确定一条 直线位置 的两个几 何要素.

确定平面直角坐标系内的一 条直线位置的几何要素:一个点 P 和一个倾斜角 ? . 2.直线的斜率 教师提问: (由学生讨 一 条 直 线 的 倾 斜 角 ? 论后回答) ( ? ≠90°) 的正切值叫做这条直线 (1)当直线 l 与 x 轴 的斜率.斜率常用小写字母 k 表示, 平行或重合时, k 为多少? 即 k ? tan ? . k = tan0° = 0. 由此可知,一条直线 l 的倾斜 (2)当直线 l 与 x 轴 角 ? 一定存在, 但是斜率 k 不一定 垂直时,k 还存在吗? 存在. 例如 ? = 45° 时, ,k 不存在. ? = 90° k = tan45° = 1; 时, k = tan135° = –1 . ? = 135°

概念 形成

设疑激发 学生思考 得出结 论.

2

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续上表 教师提出问题: 给定两点 P1(x1, y1) , P2 (x2,y2) ,x1≠x2,如何 对于上面的斜率公式要注意 用两点的坐标来表示直线 下面四点: P1、P2 的斜率? (1)当 x1 = x2 时,公式右边 可用计算机作动画演 无意义,直线的斜率不存在,倾斜 示: 直线 P1P2 的四种情况, 角 ? = 90° ,直线与 x 轴垂直; 并引导学生如何作辅助 借助多媒 (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 线,共同完成斜率公式的 体演示让 即 y1、y2 和 x1、x2 在公式中的前后 推导. 学生亲自 次序可以 同时交换, 但分子与分母 体会斜率 不能交换; 公式的推 (3)斜率 k 可以不通过倾斜 导过程. 角而直接由直线上两点的坐标求 得; (4) 当 y1 = y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 ? = 0° ,直线与 x 轴 平行或重合; (5)求直线的倾斜角可以由 直线上两点的坐标先求斜率而得 到.
y ? y1 k? 2 . x2 ? x1

3.直线的斜率公式

概念 形成

应用 举例

例 1 已知 A (3, 2) , B (–4, 1) ,C (0,–1) ,求直线 AB,BC, CA 的斜率,并判断它们的倾斜角 是钝角还是锐角.(用计算机作直 线,图略) 【分析】已知两点坐标,而且 x1 ≠ x-2,由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜角 ? 是钝角; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜角 ? 是锐角; 而当 k ? tan ? ? 0 时,倾斜角 . ? 是 0°

学生分析求解 , 教师 板书 例 1 略解:直线 AB 的斜率 k1 = 1/7>0,所以 它的倾斜角 ? 是锐角. 直线 BC 的斜率 k2 = –0.5<0, 所以它的倾斜角 ? 是钝角.

通过应用 进一步理 解 倾 斜 角,斜率 的有关定 义

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教师备课系统──多媒体教案
续上表 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, –1, 2 及–3 的直线 a,b,c,1. 【分析】 要画出经过原点的直 线 a,只要再找出 a 上的另个一点 M.而 M 的坐标可以根据直线 a 的 斜率确定;或者 k = ta n ? =1 是特 殊值, 所以也可以以原点为角的顶 点,x 轴的正半轴为角的一边,在 x 轴的上方作 45° 的角,再把所作 的这一边反向延长成直线即可. 例 2 略解: 设直线 a 上的另一个点 M 的坐标为 (x,y) ,根据斜率公式有 1 = (y – 0)/(x – 0) , 所以 x = y. 可令 x = 1,则 y = 1, 于是点 M 的坐标为 (1, 1) . 此时过原点和点 M (1, 1) , 可作直线 a. 同理, 可作直线 b, c, 1.(用计算机作动画演示 画直线过程)

小结

(1) 直线的倾斜角和斜率的概念. (2)直线的斜率公式.

师生共同总结交流完善.

引导学生 学会自己 总结.

课堂作业 1. 求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1) (1,1) , (2,4) ; (2) (–3,5) , (0,2) ; (3) (2,3) , (2,5) ; (4) (3,–2) , (6,–2) 【解析】 (1) k ? (2) k ?
4 ?1 ? 3 ? 0 ,所以倾斜角是锐角; 2 ?1

2?5 ? ?1 ? 0 ,所以倾斜角是钝角; 0 ? ( ?3)

(3)由 x1 = x2 = 2 得:k 不存在,倾斜角是 90° ; (4) k ? 2. 为
?2 ? (?2) . ? 0 ,所以倾斜角为 0° 6?3

已知点 P (? 3,1) ,点 Q 在 y 轴上,直线 PQ 的倾斜角为 120° ,则 Q 点的坐标

. 【解析】因为点 Q 在 y 轴上,则可设其坐标为(0,b) 直线 PQ 的斜率 k = tan120° = ? 3, ∴k ?
b ?1 0 ? ( ? 3) ?? 3



? 2) ∴b = –2,即 Q 点坐标为 (0, .

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人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版) 第 2 课时
教学内容: 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教学目标 一、知识与技能 1. 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件; 2. 会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 二、过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件,提高运用已有知识解决新问题的能力, 以及 数形结合能力. 三、情感、态度与价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,获得成功感觉;同学合作交流的学习 方式,激发学生的学习兴趣. 教学重点、难点 教学重点: 两条直线平行和垂直的条件是重点, 要求学生能熟练掌握, 并灵活运用. 教学难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线 的斜率的关系问题. 教学关键:理解并掌握判断两直线平行和垂直的方法. 教学突破方法:结合图形探究两直线平行和垂直时二者斜率的关系,并从这种关系 的内涵和外延两个方面强化学生对此结论的理解.对于两条直线中有一条直线斜率不存 在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题. 教法与学法导航 教学方法:以实验探究的教学方法为主,具体以实例展示法、多媒体演示法、分析 讨论法、问题教学法和练习巩固法展开教学活动. 学习方法:以探究理解学习方法为主,自主学习,自我反馈,渐进式提高. 教学准备 教师准备:多媒体课件(用于展示问题、引导讨论、出示答案) ,资料图片. 学生准备:直线的倾斜角与斜率的概念及联系. 教学过程 教学 环节 教学内容 我们已经学习了直线的倾斜角 和斜率的概念, 而且知道, 可以 用倾斜角和斜率来表示直线相 对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出 了斜率的计算公式. 现在, 我们 来研究通过两条直线的斜率来 判断两条直线的平行或垂直. 师生互动 设计意图

创设 情景 导入 新课

师:解析几何的本质是什 么? 生:用代数的方法研究几 何图形的位置关系.

设疑激趣 导入课题

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续上表 1. 先研究特殊情况下的两 条直线平行与垂直 师生 互动 探究 新知 讨论: 两条直线中有一条 直线没有斜率(1)当另一条 直线的斜率也不存在时,两直 线的倾斜角都为 90° ,它们互 相平行; (2)当另一条直线的 斜率为 0 时,一条直线的倾斜 角为 90° ,另一条直线的倾斜 角为 0° ,两直线互相垂直. 首先研究两条直线互相 平行(不重合)的情形.如果 l1∥l2(如下图) ,那么它们的 倾斜角相等:α1=α2. (借助多 媒体, 让学生通过观察度量, 感知α1, α2的关系) 因为tanα1=tanα2 即 通过这种 师生互动 引导学生 明确两条 直线平行 的判定方 法

2. 两条直线的斜率都存在 时, 两直线的平行. 设直线 l1 和 l2 的斜率分别 为 k1和 k2. 我们知道, 两条直 线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的, 而两条直线的 方向又是由直线的倾斜角或斜 率决定的. 师生 互动 探究 新知

问题 : 两条互相平行或垂 k1=k2. 直的直线, 它们的斜率有什么 关系? 结论 1: 两条直线都有斜 率而且不重合,如果它们平行, 那么它们的斜率相等; 反之, 如 果它们的斜率相等, 那么它们平 行,即l1∥l2 1=k2. 注意: 上面的等价是在两 反过来,如果两条直线的斜 条直线不重合且斜率存在的前 率 相 等 : 即 k1=k2 , 那 么 提下才成立的,缺少这个前提, tanα1=tanα2. 结论并不成立.即如果 k1=k2 , 由于 0° ≤α1 < 180° , 0° ≤α2 < 那么一定有 l1 ∥ l2; 反之则不一 180° ,所以α1=α2. 定. 又因为两条直线不重 合,两条直线平行l1∥l2.

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续上表 3. 下面我们研究两条直线 的斜率都存在时, 两直线的垂 直的情形. 如果 l1⊥l2,这时 α1≠α2,否 则两直线平行. 设 α2<α1(如下图) ,甲 图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上方; 乙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴下方; 丙图的特 征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上, 无 论 哪 种 情 况 下 都 有 α1=90° +α2. 因为 l1、l2 的斜率分别是 k1、 k2, 即 α1≠90°, 所以 α2≠0,
? tan ?1 ? tan(90? ? ? 2 ) ? ? 1 , tan ? 2

即 k1 ? ?

1 或 k1k2 ? ?1 . k2
1

反过来,如果 k ? ? 1 或
k2

师生 互动 探究 新知

体演示让 学生经历 1 ? tan ?1 ? ? ? tan(90? ? ? 2 ) 两 条 直 线 tan ? 2 垂直的判 定结论的 可以推出: α1=90° +α2. 即 推导. k1<0, k2>0,那么

k1k 2 ? ?1 . 不失一般性,设 借 助 多 媒

l1 ? l2 .
结论: 两条直线都有斜率 , ........ 如果它们互相垂直, 那么它们的 斜率互为负倒数;反之,如果它 们的斜率互为负倒数, 那么它们 互相垂直,即

l1 ? l2 ? k1 ? ?

1 k2

? k1k2 ? ?1

注意: 结论成立的条件,即 如果 k1· k2=-1, 那么一定有

l1 ? l2 ;反之则不一定.

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教师备课系统──多媒体教案
续上表 例 1 (1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) , l2 3 5 经过点 R (-2, ) 、 S (0, ) , 2 2 试判断 l1 与 l2 是否平行? (2) , l1 的倾斜角为 45° l2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3, -6) ,问 l1 与 l2 是否垂直? 例 2 已知 A (1, 1) , B (2, 2) , C(3,-3) ,求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD. 应用 举例 例 1【解析】 (1) ∵ k MN =
0 ? (?6) 1 ? , ?3 ? (?15) 2

5 3 ? 1 k RS ? 2 2 ? , 0 ? (?2) 2 ∴ l1 // l2 .

y
B A.

( 2 ) ∵ k1 ? tan 45? ? 1 , ?6 ? (?1) k2 ? ? ?1 , 3 ? (?2) k1k2 ? ?1 , ∴ l1 ⊥ l2 . 例 2 【解析】 设D (x, y) ,则 kCD ? k AB , kBC ? k AD .
? y ? (?3) 2 ? 1 ? ? ?1 ? ? x?3 2 ?1 ∴ ? ,即 ? 2 ? (?3) ? y ? 1 ? x ?1 ? 2?3 ? y ? ? x, ? ?5 x ? y ? 6, 3 ? x? , ? ? 2 . 解得 ? ?y ? ? 3 , ? ? 2 3 3 ∴ D( , ? ). 2 2

通过实例 熟练对两 条直线平 行和垂直 的判定.

o
D

x
C

小结

1. 知识小结 (1) 两条直线平行或垂 直的判定方法. (2) 注意特殊情况特殊 处理,如有斜率为零或斜率不 存在的情况. (3) 应用直线平行的条 件, 判定三点共线. 2. 思想方法: 倾斜角、 平 行是几何概念, 坐标、 斜率是 代数概念,解析几何的本质是 用代数方法来研究几何问题.

师生共同总结交流完善.

引 导 学生学会 自己总结.

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课堂作业 1.如果直线 l1 的斜率为 a,且 l1 ? l 2 ,则直线 l2 的斜率为( A.
1 a

).

B. a

C. ?

1 a

D. ?

1 或不存在 a

答案:选 D. 2. 若过点 A(2,-2) ,B(5,0)的直线与过点 P(2m,1)Q(-1,-m)的直线 平行,则 m 的值为( ) . A. -1 B. 1 C. 2 D.

1 2

答案:选 B. 3.已知点 M(2,2)和 N(5,-2) ,点 P 在 x 轴上,且?MPN 为直角,则点 P 的 坐标为( ) . 答案: (1,0) , (6,0) .

教案 B 第 1 课时
教学内容:3.1.1 倾斜角和斜率 教学目标 一、知识和技能目标 1. 了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念; 2. 理解公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 二、过程和方法目标 掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法, 会实现直线方程的各种形 式之间的互化. 三、情感、态度与价值观目标 发展观察、探索能力,运用数学语言表达能力;进一步理解数形结合思想,树立辩 证统一的观点,形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 教学重点 直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式. 教学难点 斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式. 教学过程 1.创设情景,揭示课题 (1)简述本章研究什么?怎样研究? (2)问题探究:我们知道, 经过两点有且只有一条直线. 那么, 在平面直角坐 9

教师备课系统──多媒体教案
标系中,经过一点 P 的直线 l 的位置由哪些条件确定? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a, b, c, ?, 易见这些直线的共同特点是:都经过同一点 P,那么, 它们的不同点是什么? 学生交流讨论, 发表见解: 它们的‘倾斜程度’不同. 教师提出:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入 直线的倾斜角的概念. 2.直线的倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 ? 向上方向之间所成的角 ? 叫 做直线 ? 的倾斜角 . ... 特别地, 当直线 ? 与 x 轴平行或重合时, 规 定 ? = 0° . 观察下图直线 l1,l2,l3 的倾斜角是怎样的? 由此回答直线的倾斜角 ? 的取值范围是什么 ? 0° ≤ ? <180° . 当直线 ? 与 x 轴垂直时, ? = 90° .
y b a
y c b a

P

x

C

x

教师强调:平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾 斜角之后, 我们就可以用倾斜角 ? 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 思考 1:如上图, 直线 a∥b∥c, 那么它们的倾斜角 ? 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 个倾斜角 ? .二 ...P 和一 .. .... 者缺一不可. 思考 2:生活中的“倾斜程度”通常用什么量表示? 引导学生讨论交流,举例.如道路的坡度等,使学生理解生活中坡度的意义:

? 前进
10

升 高

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坡度(比)=升高量/前进量 如果我们使用“倾斜角”这个概念,这里的“坡度”实际是“倾斜角 ? 的正切值”. 3.直线的斜率 (1)一条直线的倾斜角 ? ( ? ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率(slope) ,斜 率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan ?. 当直线 ? 与 x 轴平行或重合时, ? =0° , k = tan0° =0; 当直线 ? 与 x 轴垂直时, ? = 90° , k 不存在. 由此可知, 一条直线 ? 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, ? =45° 时, k = tan45° = 1. 4.利用信息技术获得直线的倾斜角和直线的斜率的关系

观察上图直线的倾斜角和斜率之间的关系: 由于知识的原因, 学生不能通过正切值 获得直线的倾斜角和斜率之间的关系,因此教学中通过信息技术演示操作(如《几何画 板》 )获得直线的倾斜角和斜率的关系.(如上图)可以清楚看到: 当 0? ? ? ? 90? 时,直线的斜率 k 是正数; 当 90? ? ? ? 180? 时,直线的斜率 k 是负数. 思考 3:两点确定一条直线,那么给定两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,x1≠x2,如 何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率?
y

P2 P1

?
O

x

5.探究并推导直线斜率的两点式公式 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况(如下图) , 并引导学生通过作辅助 线,共同完成斜率公式的推导. 11

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y

y

P2

P2
P1

?
O

Q x

P1 Q O

?
x

y

y

P1

P1 P2

P2

?
O

Q x

Q O

?

x

斜率公式:

k?

y2 ? y1 . x2 ? x1

对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1)当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 α= 90° , 直线与 x 轴垂直; (2)k 值的大小与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可 以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 ? =0° ,直线与 x 轴平行或重合. 6.应用举例 例 1 直线过点 A(-2,0) , B(-5,3) ,求直线 AB 的斜率. 【解析】k=(3-0)/[(-5)-(-2)]=-1, 又 α∈[0° ,180° ) , ∴α=135° . 因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是 135° 变式:m 为何值时,经过两点 A(m,0) ,B(-5,1-m)的直线 AB 的斜率是-1? 【分析】

1? m ? 0 ? ?1 ? m ? ?2. ?5 ? m

例 2 分别在下列条件求直线的倾斜角和斜率. (1)直线 l 的倾斜角 α 的正弦值是 1/2; (2)直线 l 的方向向量 v ? (?3, 3) . 12
?

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【分析】 ⑴由已知条件求出直线的倾斜角 α, 再来求直线的斜率. 注意到 α∈[0, π) , 而 sinα= 1/2, 因此求角时, 要分 α 为锐角与钝角来求. ⑵抓住直线 P1P2 的方向向量 P 1P 2 的坐标是(x2-x1,y2-y1) ,其中 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)与过两点 P1(x1,y1) 、P 2 (x2,y2)的直线的斜率公式的结构关系来求. 【解析】⑴∵α∈[0,π) ,又 sinα= 1/2. ∴α 为锐角时,α=π/6;α 为钝角时,α=5π/6. 当 α=π/6 时,斜率 k=tanπ/6 = 3 / 3 ; 当 α=5π/6 时,斜率 k=tan5π/6 =- 3 / 3 . ⑵∵直线 l 的方向向量 v ? (?3, 3) , ∴直线 l 的斜率 k ? ? 3 / 3 ,故倾斜角 α=5π/6. 6. 课后作业 P86练习:1,2,3,4;P89习题3.1A组:1,2,3,4,5.
?

第 2 课时
教学内容:3.1.2 两条直线的平行与垂直 教学目标 一、知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 二、过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用代数方法来研究几何问题. 三、情感、态度和价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学 习方式,激发学生的学习兴趣,欣赏解析几何的代数抽象美. 教学重点、难点 教学重点:熟练掌握两条直线平行和垂直的条件. 教学难点:研究两条直线的平行或垂直问题的判断. 教学方法 引导、启发、讨论,练习. 教学过程 一、创设情景,导入课题 复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念, 可以用倾斜角和斜率来表示直线相对 13

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于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条 直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 二、师生互动,探究新知 1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两 直线的倾斜角都为90° ,它们互相平行; (2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾 斜角为90° ,另一条直线的倾斜角为0° ,两直线互相垂直. 2. 两条直线的斜率都存在时,两直线的平行 设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关 系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果l1∥l2(如下图) ,那么它们的 倾斜角相等:α1=α2. (借助多媒体, 让学生通过观察度量, 感知α1, α2的关系) 因为tanα1=tanα2 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2,那么tanα1=tanα2. 由于0° ≤α1<180° , 0° ≤α2<180° ,所以α1=α2. 又因为两条直线不重合,两条直线平行l1∥l2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之, 如果它们的斜率相等,那么它们平行,即l1∥l2,k1=k2. 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前 提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定. 3. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的垂直 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果 l1 ? l 2 ,这时 α1≠α2,否则两直线平行. 设 α2<α1(如下图) ,甲图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴下方;丙图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α1=90°+α2.

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因为 l1、l2 的斜率分别是 k1、k2,即 α1≠90°,所以 α2≠0°.

? tan ?1 ? tan(90? ? ? 2 ) ? ?

1 tan ? 2



即 k1 ? ?

1 或 k1k 2 ? ?1 . k2 1 或 k1k 2 ? ?1 . 不失一般性,设 k1<0, k2>0,那么 k2
1 ? tan(90? ? ? 2 ) tan ? 2

反过来,如果 k1 ? ?
? tan ?1 ? ?

可以推出: α1=90°+α2.

即 l1 ? l2 .

结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之, 如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

l1 ? l2 ? k1 ? ?

1 k2

? k1k2 ? ?1

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1· k2 = -1, 那么一定有 l1 ? l 2 ;反之则不一定. 三、概念辨析,巩固提高 例 1 已知A(2,3) , B(-4,0) , P(-3,1) , Q(-1,2) , 试判断直线BA 与PQ的位置关系, 并证明你的结论. 分析: 借助媒体动画展示, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证. (图略)

15

教师备课系统──多媒体教案
3?0 1 ? , 2 ? (?4) 2

【解析】 :直线BA的斜率k1=

直线PQ的斜率k2=

2 ?1 1 ? , ? 1 ? (?3) 2

因为 k1=k2=

1 ,所以 直线BA∥PQ. 2

例 2 四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B ( ?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) , 试判断四边形 ABCD 的形状. 2 ? (2 ? 2 2) 2 ? 【解析】AB 边所在直线的斜率 k AB ? ,CD 边所在直线的斜率 ?2 ? 2 2 2 ? (2 ? 2 2) 2 kCD ? ? , 4?2 2 (2 ? 2 2) ? 2 ? ? 2 , DA 边 所 在 直 线 的 斜 率 BC 边 所 在 直 线 的 斜 率 k BC ? 0?2 (2 ? 2 2) ? 2 k DA ? ?? 2, 2?4 因为 k AB ? kCD , kBC ? kDA , 所以 AB//CD,BC//DA,即四边形 ABCD 为平行四边形. 又因为 k AB ? k BC ?

2 ? (? 2 ) ? ?1 ,所以 AB⊥BC,即四边形 ABCD 为矩形. 2

例 3 已知A(-6,0) , B(3,6) , P(0,3) , Q(-2,6) , 试判断直线AB与 PQ的位置关系. 【解析】直线AB的斜率 k1 ?

6?0 2 6?3 3 ? , 直线PQ的斜率 k1 ? ?? , 3 ? (?6) 3 ? 2 ? 0) 2

因为k1· k2= ? 1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C (?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标. 【解析】设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) . ∵ AC ? BH , AB ? CH ,
?k AC ? k BH ? ?1, ∴ ? 即 ?k AB ? kCH ? ?1,
1 ?y ?3 ? (? ) ? ?1, ? ?x ? 6 5 ? y ? 1 1 ? ? (? ) ? ?1, ? 3 ?x ? 2 ? y ? 5 x ? 33, ? x ? ?19, 化简为 ? 解之得: ? ? y ? 3x ? 5, ? y ? ?62. ∴ A 的坐标为 (?19, ?62) .

四、小结 16

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版)
1. 知识和技能 (1)两条直线平行或垂直的判定方法. (2)注意特殊情况特殊处理,如有斜率为零或斜率不存在的情况. (3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 2. 思想方法:倾斜角、平行是几何概念, 坐标、斜率是代数概念,解析几何的本 质是用代数方法来研究几何问题. 五、作业 P89练习:1,2. P90习题3.1 A组:8. B组:3,4.

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