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《3.3.2简单的线性规划问题(一)》教学设计

《3.3.2 简单的线性规划问题(一) 》教学设计 一.教学目标 1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域和线性规划的意义. 2.了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 了解线性规划问题的图解法,并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题, 以提高解决实际问题的能力. 二.教学重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组) ,二元一次不等式(组) 表示的平面区域及简单的二元线性规划问题. 三.教学难点:准确求得线性规划问题的最优解 四.教学过程 (一)探究 在生活、生产中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题,如: 某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件 厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排 是什么? (1)列表 (2)建立数学关系式 用不等式组表示问题中的限制条件:设甲、乙两种产品分别生产 x 、 y 件,由 已知条件可得二元一次不等式组: ? x ? 2 y ? 8, ?4 x ? 16, ? ? ?4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0. ① (3)画平面区域(注意:在平面区域内的必须是整数点,但一般先找实数解最后 转化为在实数解中寻求整数解. ) (4)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生 产安排利润最大? ? 设获得利润为 Z 万元,则 z=2x+3y,求 Z 的最大值, (5)尝试解答: 设获得利润为 Z 万元,则 z=2x+3y,求 Z 的最大值 当直线 y ? ? x ? 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点时, 2 3 z 3 截距 的值最大,即 z 取得最大值 , z 3 解方程组 x=4 x+2y-8=0 得:x=4,y=2 交点坐标为 M(4,2)时,zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 (6)获得结果: 答:甲产品生产 4 件,乙产品生产 2 件,则利润最大为 14 万元。 (二)新知:线性规划的有关概念: ①线性约束条件: 不等式组①是一组对变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一 次不等式,所以又称为线性约束条件。 ②线性目标函数: z=2x+3y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式, 叫做目标函数。 由于 z=2x+3y 又是 x、y 的一次解析式,所以又叫做线性目标函数 ③线性规划问题: 一般的,求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称 为线性规划问题。 ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行 域。其中使目标函数取得最大值或最小值 的可行解它们都叫做这个问题的最优解。 (三)变式练习:在探究中若生产一件甲产品获利 3 万元,生产一件乙产品获利 2 万元,问如何安排生产才能获得最大利润? (四)巩固练习 1. 目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是( ). A.该直线的横截距 C.该直线的纵截距的一半的相反数 2. B.该直线的纵截距 D.该直线的纵截距的两倍的相反数 ). ?x ? y ? 5 ? 0 已知 x 、 y 满足约束条件 ? ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ? A. 6 B. ? 6 C.10 D. ? 10 3. 有 5 辆 6 吨汽车和 4 辆 5 吨汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性 目标函数为 . y C (4, 2) 4. 在如图所示的可行域内,目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的 一个可能值是( ). A (1, 1) O B(5,1) x A. ?3 B.3 C. ?1 D.1 例 2: 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋 白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋 白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花 费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 小结: 1.线性规划问题的几个基本概念 约束条件,线性约束条件,目标函数,线性目标函数,线性规划问题,可行解,可 行域,最优解 2.解线性规划问题的步骤: (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。 线中,利用平移的方法找出与可行

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