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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷8


张喜林制
[选取日期]

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷八
一、选择题(36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) , 一律得 0 分. 1.已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x| x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 不确定 【答】 ( C ) 2 2 2 【解】 方程 x -3x-a +2=0 的根的判别式Δ =1+4a >0,方程有两个不相等的实数根.由 M 有 2 个元素,得集合 M 有 22=4 个子集. 2. 命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 【答】 ( B ) 【解】 只有命题 1 对. 3.在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以 ? 为周期、在(0, (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx|

? )上单调递增的偶函数是 2
【答】 ( D )

(D)y=lg|sinx|

【解】 y=sin|x|不是周期函数. y=cos|x|=cosx 以 2 ? 为周期. y=|ctgx|在 (0, ) 上单调递减. 只有 y=lg|sinx| 满足全部条件. 4.如果满足∠ABC=60° ,AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A) k= 8 3 (B)0<k≤12 (C) k≥12 (D) 0<k≤12 或 k= 8 3 【答】 ( D 共有两类如图.
C
C

? 2



【解】 根 据 题 设 , △ ABC

k
60°

12
B

k
60°

12

A

易得 k= 8 3 或 0<k≤12.本 (A) 、 ( B) 、 (C) . 5.若 (1 ? x ? x )
2 1000

B

A

题 也可 用特 殊值法 ,排除

的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x ? ?? a2000 x
2

2000



则 a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 的值为 (A) 3
333

(B) 3

666

(C) 3

999

(D) 3

2001

【答】 ( C
1/6



【解】 令 x=1 可得 31000 = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2000 ; 令 x= ? 可得 0= a0 ? a1? ? a2? 2 ? a3? 3 ? ?? a2000? 2000 ;
3 2 (其中 ? ? ? 1 ? 3 i ,则 ? =1 且 ? + ? +1=0) 2 2

令 x= ? 可得 0= a0 ? a1? 2 ? a2? 4 ? a3? 6 ? ?? a2000? 4000 .
2

以上三式相加可得 3

1000

=3( a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 ) .
999

所以 a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 = 3



6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫 瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是() . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 【答】 ( A ) 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为 x、y 元/枝. 1 1 则 6x+3y>24,4x+5y<22.令 6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出 x= (5a ? 3b) ,y= (3b ? 2a ) . 9 18

1 1 所以 2x-3y= (11a ? 12b) ? (11 ? 24 ? 12 ? 22) =0,即 2x>3y. 9 9
也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究. 二、填空题(54 分,每小题 9 分) 7.椭圆 ? ?

2 3 1 的短轴长等于 . 2 ? cos ? 3

2 3 【解】 ? (0) ? a ? c ? 1, ? (? ) ? a ? c ? 1 . 故 a ? 2 , c ? 1 ? b ? 3 .从而 2b ? . 3 3 3 3 3
8.若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3,3z1-2z2= 由 3z1-2z2= z 2 ? z 2 ? z1 ?

3 30 72 ? i ,则 z1·z2= ? ? i . 2 13 13

【解】

1 3

1 1 z1 ? z1 ? z 2 = z1 z 2 (2 z 2 ? 3 z1 ) 6 2

3 ?i 6 ( 3 z ? 2 z ) 6 ( 3 z ? 2 z ) 30 72 1 2 1 2 2 可得 z1 z 2 ? ? ? ?6 ? ? ? ? i .本题也可设三角形式进行运算. 3 13 13 2 z 2 ? 3z1 2 z 2 ? 3z1 ?i 2
9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 【解】 作 正 方 体 的 截 面 BB1D1D , 则 A1C1 ⊥ 面 于点 O, 在面 BB1D1D 内作 OH⊥BD1, H 为垂足, 则 OH 为 A1C1 等于直角三角形 BB1D1 斜边上高的一半,即 OH=

6 . 6
O D H
1

A1 B1

C1

BB1D1D.设 A1C1 与 B1D1 交 与 BD1 的公垂线.显然 OH

6 . 6
A B

D C

2/6

10. 不等式

2 1 3 ? 2 ? 的解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) . log 1 x 2

2

【解】

1 3 1 3 1 3 ?2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 log 2 1 x
2

2

2



1 7 1 1 ?? . ?? 或 2 log 1 x 2 log 1 x
2

2

此时 log 1 x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ?
2 2

2 ? log 1 x ? 0 . 2 7

∴解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 即解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) . 11.函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为 [1, ) ? [ 2,?? ) .
2

2

3 2

【解】

y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0 .
y2 ? 2 3 且x? . 2 2y ? 3

两边平方得 (2 y ? 3) x ? y 2 ? 2 ,从而 y ?

由y?x? y?

y2 ? 2 y 2 ? 3y ? 2 3 ?0? ? 0 ?1? y ? 或 y ? 2 . 2y ? 3 2y ? 3 2

y2 ? 2 2 任取 y ? 2 ,令 x ? ,易知 x ? 2 ,于是 x ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 . 2y ? 3
任取 1 ? y ?

3 y2 ? 2 ,同样令 x ? ,易知 x ? 1 , 2 2y ? 3
F E

A B C D

2 于是 x ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 .

3 因此,所求函数的值域为 [1, ) ? [ 2,?? ) . 2

12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植 物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 【解】 732 种栽种方案.

考虑 A、C、E 种同一种植物,此时共有 4×3×3×3=108 种方法.

考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3×4×3×3×2×2=432 种方法. 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 P43×2×2×2=192 种方法. 故总计有 108+432+192=732 种方法.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
3/6

13. 设{an}为等差数列, {bn}为等比数列, 且 b1=a12, b2=a22, b3=a32 (a1<a2) , 又 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 . 试
n???

求{an}的首项与公差. 【解】 设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得 a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化简得 2a12+4a1d+d2=0 解得 d=( ? 2 ? 2 ) a1.………………………………………………………………5 分 而 ? 2 ? 2 <0,故 a1<0. 若 d=( ? 2 ? 2 ) a1,则 q ?
2 a2 ? ( 2 ? 1) 2 ; a12
2 a2 ? ( 2 ? 1) 2 ;…………………………………………10 分 2 a1

若 d=( ? 2 ? 2 )a1,则 q ?

但 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 存在,故|q|<1.于是 q ? ( 2 ? 1) 2 不可能.
n???

从而

a12 1 ? ( 2 ? 1)
2

? 2 ? 1 ? a12 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2 .

所以 a1= ? 2 ,d=( ? 2 ? 2 ) a1=( ? 2 ? 2 )( ? 2 )= 2 2 ? 2 .……………………20 分

14.设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m) 在 x 轴上方仅有一个公共点 P. a2
1 时,试求Δ OAP 的面积的最大值(用 a 表示) . 2


⑴ 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; ⑵ O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a<

? x2 ? ? y 2 ? 1, ⑴ 【解】 由 ? a 2 消去 y 得,x2+2a2x+2a2m-a2=0. 2 ? ? y ? 2( x ? m)

设 f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2,问题⑴转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只须讨论以下三种情况:
2 1? Δ =0 得 m= a ? 1 .此时 xp= -a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合; 2

2? f(a)· f(-a)<0 当且仅当–a<m<a; 3? f(-a)=0 得 m=a. 此时 xp=a-2a2, 当且仅当-a< a-2a2<a, 即 0<a<1 时适合.f(a)=0 得 m=-a, 此时 xp=-a-2a2, 由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. 综上可知,当 0<a<1 时,m=

a2 ?1 或-a<m≤a; 2
4/6

当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………………10 分 ⑵ 【解】 Δ OAP 的面积 S=

1 ayp. 2

∵0<a<

1 ,故-a<m≤a 时, 0 ? ?a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m ? a ,由唯一性得 xp= ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m .显然当 m=a 时,xp 2
x2 p a
2

取值最小.由于 xp>0,从而 y p ? 1 ?

取值最大,此时 yp=2 a ? a 2 ,∴S=a a ? a 2 .

当 m=

1 a2 ?1 时,xp=-a2,yp= 1 ? a 2 ,此时 S= a 1 ? a 2 . 2 2

1 a 1 ? a 2 的大小: 2 1 1 令 a a ? a 2 = a 1 ? a 2 ,得 a= . 2 3 1 1 故当 0<a≤ 时 , a a (1 ? a ) ? a 1 ? a 2 .此时 Smax= 1 a 1 ? a 2 . 3 2 2 1 1 1 2 当 <a< 时, a a (1 ? a ) ? a 1 ? a .此时 Smax= a a ? a 2 .……………20 分 2 2 3
下面比较 a a ? a 2 与

15.用电阻值分别为 a1、a2、 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成 装中应如何选取电阻,才能使该组 你的结论.

a3 、 a4 、 a5

、 a6

一个如图的组件,在组 件总电阻值最小?证明

【解】 设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG.当 Ri=ai ,i=3,4,5,6,R1,R2 是 a1,a2 的任意排列 时,RFG 最小.…………………………………………5 分 证明如下 1°设当两个电阻 R1,R2 并联时,所得组件阻值为 R:则 1 ? 1 ? 1 .故交换二电阻的位置,不改变 R 值,且 R R1 R2 当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. 2°设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB: R1 R2
图1

R3
B

R AB ?

R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1R2 ? R3 ? 1 2 . R1 ? R2 R1 ? R2

A

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最小必 个电阻中阻值最小的一个. 3°设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD: R1 R3 R2

须取 R3 为所取三

C

R4
图2
5/6

D

1 1 1 R1 R2 ? R1 R3 ? R1 R4 ? R2 R3 ? R2 R4 . ? ? ? RCD R AB R4 R1 R2 R4 ? R1 R3 R4 ? R2 R3 R4
若记 S1 ?
1?i ? j ?4

?R R
i

j

, S2 ?

i 1?i ? j ?k ?4

?R R R
j

k

.则 S1、S2 为定值.

于是 RCD ?

S 2 ? R1 R2 R3 . S1 ? R3 R4

只 有 当 R3R4 最 小 , R1R2R3 最 大 时 , RCD 最 小 , 故 应 取 R4<R3 , R3<R2 , R3<R1 , 即 得 总 电 阻 的 阻 值 最 小.……………………………………………………………………15 分 4°对于图 3,把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5;且由 1°, 应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5< R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4< R3 < R2 且 R4< R3 < R1. 这就说明,要证结论成立………………………………………………………20 分 R1 R2 C F R4 R6 图3 E G A R3 B D R5

E

G

6/6


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