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2010中国西部数学奥林匹克_论文

2 1 年第 1 01 期  2  7 2 1 国 西部 数 学 奥 林 匹克  00中 中 图分 类 号 :c 2 .9 4 4 7  文献标识码 :   A 文 章 编 号 : 0 5— 4 6 2 1 ) l 0 2 0   10 6 1 (0 1 0 一 0 7— 4 m x 口 ,  ≤  a l  6 } .( 李胜宏 供题 )   第 一 天  第 二 天  1设 m、 . k为给定 的非 负整 数 ,   +1 P=2   为 质数. 求证 :   ( ) 2+ ^ ( o “ )  1 2ml 暑1 m dP   ; p () 2 满足 同余 方 程 2  一1 m dP   的  ( o “ ) 最 小正 整数 n为 2 +   ml . ( p  靳 是 圆 周 上 异 于 点  、  5 设 k为大 于 1的整 数 , 列 {   定 义  . 数 a} 如下 :   a0=0, l= 1, a   a+   l= k  + a a   一 平 供题)   1 ( n=12 … ) ,, .   2 如图 1 已知 A 是 o  的 直 径 , 、   . , B 0 CD 且 在 A 同侧  B 求 所有 满 足 如 下 条 件 的 k 存 在 非 负 整  : 数 zm(#m)及 正 整数 P q使 得  、 1 , 、, /   .   a +kp  +iq z a =a | . }   0 为圆心 、 C为  B (  斌 熊 供题)   的两 点 , 别 过 点  分 C、 D作 圆 的 切 线 ,   它 们 交 于 点 E, 线  6 如 图 2 在△ A C中 , A B= 0 , . , B   C 9 。 以  半径作 圆, D 点   在边 A C上 , 直  线D E切oB于  图1   段 A 与 B 的交  D C 点 为 F, 线 E   直 F 与 A 交 于 点  B 点 E, 点 C垂  过 求 证 : C  、   E、 、 D 直于 A B的直 线  ( 刘诗雄 供题 )   图2   四点 共 圆.   与 直线 B E交于 点 F, F与 D A E交 于 点 G, 作  3求所有 的正整数 n 使得集 合 { ,, . , 12  … A /B H / G与 D E交于点 H 求证 :E= H  G G. ( 边红平 供题 )   7 有 n n 3 名 选 手 参 加 乒 乓球 比赛 , . (> ) t   , n} n个 两 两 不 同 的 三 元 子 集 A ,   有  A , A,  满足对 任 意的 k 1  < ≤n , 有  ( ≤   )都 n J .   ≠1   b  满足 以下 条件 :   … , ( 冯志 刚 供题 )   每两名选手之间恰 比赛一场且 没有平局. 若  选 手 A的手 下败 将 不都 是  的手 下 败将 , 则  称 A不亚 于 . 求 所 有可 能 的 n 使 得 存 在  试 , 一 4 设 非 负 实 数 a ,   … ,  与 b ,   . 。a , a   b, … , () (i b = ; 1∑ 口+ i 1 )   i= l   种 比赛 结 果 , 中每 一名 选 手 都 不 亚 于 其  其 ( 李秋 生 供题 )   8求所 有的整数 k使得存 在正整 数 a . ,   他 任何 一名 选手.   和 b 满 足  , () i  b : ; 2∑ ( 一i 0 a )   I 1 =   () i Ⅱ+i=0 3 ∑ 2   b 1. ( )   求证 : 对任 意 的 | 1  ≤n , j ≤ } ( ) 都有  —— +  + _ a  D  : ’    k. .  ( 际水 尚 陈永 高 供趔 ) 供题 )   中 等 数 学  参 考 答 案  第 一 天  1() . 1 用数 学 归 纳法 证 明 : 任 意非 负  对 整 数 . 有  i } , 故  C O= C E= B M. A   F   F   于是 , F   MB= A B= 0 .   C 9。   因此 。 M、 E、 O、 D、 C五 点共 圆.   3 () . 1 当  : k . N+ 时 , 造 A , 4( i }∈ ) 构 。   A , ,她 2 … A 如下 :   2   2   : “ t+ ( t . p   1P k     ) =( P一1 = ( 2 ) p p一 )+1 ,   ①  当 尼 0时 , 2 = = 由   p一1 得  , 取 t = 2即可. 0 p一   对任 意 1   i0 ≤3  ≤ ≤.   } , , A  {  34 一 ,i ,i \4 — } 4 一 , 2 4 一14 } {    .     = —   ( ) n≠4 ( 2当 k 尼∈ N+ 时 , 设 集 合  ) 假 { , , , } n个两 两不 同 的三元子 集 A , 12 … n 有 。   A , ,  满足题 目条 件.  … A ,   假设 已有 2 ‘ =       ‘ t +1 P t) 则    (    , 2 “=p +)= cp )   ( “ 1 ∑  “     ( 对 于 A ={ ,,}考 虑所 有与 A 交 集  , 口 6c , 。 非 空 的子 集 , 妨设 为 A ,  … , , 不 :A , A 并记  U =A1 A2U … U A .   U   = +?  +   “   1p “ ∑c p ) P ( .   所以, “ = I t + ( 川 ) 2     p“  1  t . p   综上 , 任意非 负整数 , 对 有  2   = “ t (