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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第49讲 空间向量的概念及运算 Word版含解析


第九单元 立体几何初步与空间向量 第49讲 空间向量的概念及运算

1.(改编)如图所示,已知四面体 ABCD,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、AC 的中 1 → → → → 点,则 (AB+BC+CE+ED)化简的结果为( C ) 2 → → A.BF B.EH → → C.HG D.FG 1 → → → → 1 → → → 1 → → 1 → → 解析: (AB+BC+CE+ED)= (AC+CE+ED)= (AE+ED)= ×2HG=HG,故选 C. 2 2 2 2 2.以下四个命题中正确的是( B ) → 1→ 1→ A.若OP= OA+ OB,则 P、A、B 三点共线 2 3 B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底 C.|(a· b)· c|=|a||b||c| → → D.△ABC 为等腰直角三角形的充要条件是AB· AC=0 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( C ) 1 1 A.x=1,y=1 B.x= ,y=- 2 2 1 3 1 3 C.x= ,y=- D.x=- ,y= 6 2 6 2 2x 1 3 解析:因为 a∥b,所以 = = , 1 -2y 9 1 3 所以 x= ,y=- . 6 2 → → → 4.(2013· 舟山月考)平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,向量AB、AD、AA1两两的夹角均 → → → → 为 60° ,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于( A ) A.5 B.6 C.4 D.8 → → → 解析:设AB=a,AD=b,AA1=c, → → → 则AC1=a+b+c,AC12=a2+b2+c2+2a· b+2b· c+2c· a=25,因此|AC1|=5,故选 A. → → 5.已知 A(-1,-2,6),B(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA与OB夹角是 180° . → → 解析:OB=-OA,故夹角为 180° . 6.(2012· 吉林省油田高中上期期末)已知向量 F1=(1,2,-3),F2=(-2,3,-1),F3 =(3, -4,5), 若 F1, F2, F3 共同作用在一个物体上, 使物体从点 M1(1, -2,1)移到点 M2(3,1,2), 则合力所做的功为 8 . 解析:合力 F=F1+F2+F3=(2,1,1), → 位移M2M1=(2,3,1), → 则合力所做的功为 W=F· M2M1=8. 7.(2012· 海南部分重点中学联考)已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= 29且

λ>0,则 λ= 3 . 解析:由题意 λa+b=(4,1-λ,λ), 所以 16+(λ-1)2+λ2=29(λ>0)?λ=3. 8.(2013· 河北省保定模拟)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b, b⊥c,求: (1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值. 解析:(1)因为 a∥b, x 4 1 所以 = = ,解得 x=2,y=-4, -2 y -1 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1), 又因为 b⊥c,所以 b· c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2,于是 c=(3,-2,2). (2)由(1)得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 设(a+c)与(b+c)所成角为 θ, 5-12+3 2 因此 cos θ= =- . 19 38× 38 9.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; → (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得OE⊥b?(O 为原点). 解析:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 02+?-5?2+52=5 2. → → → → → (2)OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t). → → 若OE⊥b,则OE· b=0, 9 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t= . 5 6 14 2 → 因此存在点 E,使得OE⊥b,此时 E 点的坐标为(- ,- , ). 5 5 5


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