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8889jnh.com:数列求和及数列的综合应用_图文

第2讲

数列求和及数列的综合应用

一、数列求和问题 1.(2012· 新课标全国卷)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1, 则 {an}的前 60 项和为( A.3 690 C.1 845 ) B.3 660 D.1 830

解析:利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解. ∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1, a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1, a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…, a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+ (a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234 15×?10+234? = =1 830. 2 答案:D

二、数列的综合应用 π 2.(2012· 高考四川卷)设函数 f(x)=2x-cos x,{an}是公差为 的 8 等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5=( A.0 1 2 C. π 8 1 2 B. π 16 13 2 D. π 16 )

π 解析:∵{an}是公差为 的等差数列, 8 π π π ∴a1+a5=a2+a4=2a3,且 a1=a3- ,a2=a3- ,a4=a3+ , 4 8 8 π a5=a3+ . 4

∵f(x)=2x-cos x, ∴f(a1)+f(a5)=2a1-cos a1+2a5-cos a5 =2(a1+a5)-(cos a1+cos a5)
? ? ? π? π ?? =4a3-?cos?a3- 4 ?+cos?a3+4 ?? ? ? ? ?? ?

π =4a3-2cos a3cos =4a3- 2cos a3, 4 f(a2)+f(a4)=2a2-cos a2+2a4-cos a4 =2(a2+a4)-(cos a2+cos a4)
? ? ? π? π ?? π ?cos?a3- ?+cos?a3+ ??=4a3-2cos a3cos =4a3- 8? 8 ?? 8 ? ? ?

∴f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5) =10a3-cos
? a3-? ?

π? 2+2cos ?cos a3 8?

? =10a3-?1+ ?

π? 2+2cos ?cos a3=5π, 8?

π π π ∴a3= ,∴f(a3)=2× -cos =π. 2 2 2 π π π π π 3 ∴a1= - = ,a5= + = π. 2 4 4 2 4 4 3 π 13 ∴[f(a3)]2-a1a5=π2- π× = π2. 4 4 16 答案:D

x 3. (2012· 高考安徽卷)设函数 f(x)= +sin x 的所有正的极小值点 2 从小到大排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn,求 sin Sn. 1 1 解析:(1)令 f′(x)= +cos x=0,所以 cos x=- , 2 2 2 解得 x=2kπ± π(k∈Z).由 xn 是 f(x)的第 n 个正极小值点知,xn 3 2 =2nπ- π(n∈N*). 3

2 2nπ (2)由(1)可知,Sn=2π(1+2+…+n)- nπ=n(n+1)π- , 3 3 所以 sin
? 2nπ? Sn=sin?n?n+1?π- 3 ?. ? ?

因为 n(n+1)表示两个连续正整数的乘积,n(n+1)一定为偶数, 2nπ 所以 sin Sn=-sin . 3 当 n=3m-2(m∈N )时,sin 当 n=3m-1(m∈N )时,sin = 3 ; 2
* *

? 4 ? ?2mπ- π?=- Sn=-sin 3 ? ? ? 2 ? Sn=-sin?2nπ-3π? ? ?

3 ; 2

当 n=3m(m∈N*)时,sin Sn=-sin 2mπ=0.

3 ? ?- 2 ,n=3m-2?m∈N*?, ? 综上所述,sin Sn=? 3 ,n=3m-1?m∈N*?, ?2 ?0,n=3m?m∈N*?. ?

热点一

错位相减法求数列的前 n 项和

已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=a(Sn-an+1)(a 为常 数,且 a>0),且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项. (1)求{an}的通项公式; 2n+1 (2)设 bn= a ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n [思路点拨] 第(1)问先根据已知条件确定 Sn 与 an 之间的关系, 从而确定数列{an}的性质, 然后根据等差中项求解 a 的值从而确定数 列的通项公式;第(2)问根据通项公式的特点确定求和的方法——乘 公比错位相减法,注意运算的正确性.

[解析]

(1)当 n=1 时,S1=a(S1-a1+1),所以 a1=a,

当 n≥2 时,Sn=a(Sn-an+1),① Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),② an 由①-②,得 an=a×an-1,即 =a, an-1 故{an}是首项 a1=a,公比等于 a 的等比数列, 所以 an=a×an 1=an. 故 a2=a2,a3=a3. 由 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项,可得 8a3=a1+2a2,即 8a3=a+ 2a2, 因 a≠0,整理得 8a2-2a-1=0,


即(2a-1)(4a+1)=0, 1 1 解得 a= 或 a=- (舍去), 2 4 故
?1?n 1 an=?2? = n. 2 ? ?

2n+1 (2)由(1),得 bn= a =(2n+1)×2n, n 所 以 Tn = 3×2+ 5×22 + 7×23 + … + (2n- 1)×2n - 1 + (2n+ 1)×2n,① 2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1, ②

由①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n 22-2n+1 + =6+2× -(2n+1)·n 1 2 1-2 =-2+2n 2-(2n+1)·n 2 =-2-(2n-1)·n 1, 2 所以 Tn=2+(2n-1)·n+1. 2
+ + +1

+1

[规律方法] 本题主要考查数列的前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系、 等差数列与等比数列的基本运算以及数列求和的问题,一般的数列 问题都会涉及前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系. 错位相减法来自于教材, 高考对它的考查放在特别重要的位置上,在解答题中常出现用此法 求前 n 项和.错位相减法适合于{an·n}类型的数列,其中{an},{bn} b 分别是等差数列和等比数列,通过等号两边同乘公比得到一个新的 式子,再错位相减,转化成等比数列的求和.考生需要掌握解题的 一般步骤,在错位相减时,要对齐错位的项,同时注意对两式首尾 剩余项的处理.

1.(2012· 高考江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=kcn-k(其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3. (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 解析:(1)由 Sn=kcn-k,得 an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2), 由 a2=4,a6=8a3,得 kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),
?c=2, ? 解得? ? ?k=2,

所以 a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),于是

an=2n.

(2)Tn= ?iai= ?i·i,即 2
i= 1 i= 1

n

n

Tn=2+2·2+3·3+4·4+…+n·n 2 2 2 2 Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-…-2n+n·n+1 2 =-2n 1+2+n·n 2 =(n-1)2n+1+2.
+ +1

热点二

裂项相消法求数列的前 n 项和

已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函 数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所 20 anan+1 有 n∈N*都成立的最小正整数 m. [思路点拨] (n,Sn)在函数 y=f(x)的图象上,体现了 Sn 的公式

可利用 an=Sn-Sn-1 求 an,分析 bn 的特征,用裂项相消法求 Tn.

[解析]

(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx,则 f′(x)=2ax+b,由于

f′(x)=6x-2, 所以 a=3, b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.又点(n, n)(n S ∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上,所以 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=1,也适合 an=6n-5. 所以 an=6n-5(n∈N*). 3 3 (2)由(1)得 bn= = anan+1 ?6n-5??6n+1? 1 ? 1? 1 = ?6n-5-6n+1?. 2? ? 故 Tn=iΣ1bi =
? 1 1 ?? 1?? 1? ?1 1 ? = ??1-7?+?7-13?+…+?6n-5-6n+1?? 2?? ? ? ? ? ??
n

1 ? 1? = ?1-6n+1?. 2? ? 1 随着 n 的增加,Tn 逐渐增大直至趋近 , 2 m 1 m * 故 Tn< 对所有 n∈N 都成立,只要 ≤ 即可,即只要 m≥10. 20 2 20 m 故使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正整数为 10. 20

[规律方法]

在数列中根据数列前 n 项和的定义得到的关系式 占有重要位置, 很多数列试题就是以此为出发

?S1,n=1, ? an=? ?Sn-Sn-1,n≥2 ?

点设计的.在根据数列的通项 an 与前 n 项和的关系求解数列的通项 公式时,要考虑两个方面:一个是根据 Sn+1-Sn=an+1 把数列中的和 转化为数列通项之间的关系; 一个是根据 an+1=Sn+1-Sn 把数列中的 通项转化为和的关系,先求 Sn,再求 an.

2.(2012· 济南两名校模拟)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn 1 + an=1. 2 (1)求数列{an}的通项公式;
? 1 ? a2 3 n ? ?的前 n 项和为 Tn,证明:Tn< . (2)记 bn=log3 ,数列 b · 4 16 ? n bn+2?

1 2 解析:(1)当 n=1 时,a1=S1,由 S1+ a1=1,解得 a1= . 2 3 1 1 当 n≥2 时,∵Sn=1- an,Sn-1=1- an-1, 2 2

1 ∴Sn-Sn-1= (an-1-an), 2 1 即 an= (an-1-an). 2 an 1 1 2 = ,∴{an}是以 为公比的等比数列.其通项公式为 an= 3 3 an-1 3
?1?n-1 ×?3? =2×3-n. ? ?

a2 n - (2)证明:∵bn=log3 =2log33 n=-2n, 4 1 ? 1 1 1 1?1 ∴ = = = ?n-n+2?. bn·n+2 ?-2n?×[-2?n+2?] 4n?n+2? 8? b ?

? 1 ?? ?1 1? ?1 1? 1? 1? 1 ∴ Tn = × ??1-3? + ?2-4? + ?3-5? + … + ?n-2-n? + 8 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 ?1 1 ? 1 ?? ? ?+ ? - ?? - n n+2?? ?n-1 n+1? ?

1 1 ? 1? 1 = ?1+2-n+1-n+2? 8? ? 1 1 ? 3 1?3 = ?2-n+1-n+2?< . 8? ? 16

热点三

数列的综合应用

(2012· 高考四川卷)已知 a 为正实数,n 为自然数,抛物线 an y=-x2+ 与 x 轴正半轴相交于点 A.设 f(n)为该抛物线在点 A 处的 2 切线在 y 轴上的截距. (1)用 a 和 n 表示 f(n); f?n?-1 n (2)求对所有 n 都有 ≥ 成立的 a 的最小值; f?n?+1 n+1 [思路点拨] (1)对抛物线求导数,求切线方程,求切线在 y 轴上

的截距,(2)把不等式转化为关于 an 的不等式,利用恒成立关系求 a.

[解析]

(1)由已知得,交点 A

? 的坐标为? ?

? an ,0?,对 y=-x2 2 ?

1 n + a 求导得 y′=-2x, 则抛物线在点 A 处的切线方程为 y=- 2an 2
? ?x- ?

an? ?,即 y=- 2anx+an,则 f(n)=an. 2? f?n?-1 n n (2)由(1)知 f(n)=a ,则 ≥ 成立的充要条件是 an≥2n f?n?+1 n+1 即 an≥2n+1 对所有的 n 都成立.特别地,取 n=1 得到 a≥3. 当 a=3,n≥1 时,an=3n=(1+2)n=1+C1 · n 2+…≥2n+1. f?n?-1 n n 当 n=0 时, =2n+1.故 a=3 时, a ≥ 对所有自然数 f?n?+1 n+1

+1.

n 均成立. 所以满足条件的 a 的最小值为 3.

[规律方法] 数列与解析几何、函数等知识综合时,往往涉及曲 线方程,切线方程点的坐标,与函数综合时,常涉及函数的性质或 不等式恒成立等问题,解决此类问题,关键是把所求的问题进行转 化.

x+4 3.已知函数 f(x)= ,数列{an}中,a1=1,an+1=f(an),n∈ x+1 N*. (1)若方程 x=f(x)的两个实根分别为 等比数列; (2)证明:iΣ1|ai-2|<2(i∈N*). =
n

?an-α? ? ? ?为 α,β,证明:数列? an-β ? ? ? ?

x+4 证明:(1)解方程 x=f(x),即 x= ,得 x=± 2.当 α=2,β= x+1 an+4 -2 ?an-α? ?an-2? an+1-2 an+1 ? ? ? ? ?为? ?,又 an+1=f(an),则 -2 时,数列? = an+1+2 an+4 ?an-β? ?an+2? ? ? ? ? +2 an+1
?an-2? -an+2 1-2 ? ? 1 an-2 1 1 ? ?是以 = =- · ,即数列 =- 为首项,- 为 3 an+2 3 3 3an+6 1+2 ?an+2? ? ?

公比的等比数列. 同理可证,当 α=-2,β=2 比为-3 的等比数列.
?an+2? ? ? ? ?是首项为-3,公 时,数列 ?an-2? ? ?

an+4 (2)由于 an+1= 且 a1=1>0, 可得对任意 n∈N*, 都有 an>0.an an+1 an+4 3 =1+ >1,故对任意 n∈N*,可得 an≥1. +1= an+1 an+1 an+4 an-2 |an-2| 1 |an+1-2|=| -2|=| |= ≤ |a -2|, an+1 an+1 an+1 2 n
?1?2 ?1?n-1 ?1?n- 1 所以|an-2|≤ |an-1-2|≤?2? |an-2-2|≤…≤?2? |a1-2|=?2? 2 ? ? ? ? ? ?
1


?1? 1 ?1?2 ? ? +…+? ?n-1 所以iΣ1|ai-2|≤1+ + 2 = 2 ? ? ?2?
n

? ?1?n? =2?1-?2? ?<2. ? ? ? ?

1.常见的拆项公式: 1 1 1 (1) = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? 1 (2) = ?2n-1-2n+1?; ?2n-1??2n+1? 2? ? (3) = n+1- n. n+ n+1 1

2.常见的求和与不等式的放缩技巧 1 ? 1 1 1? 1 (1) 2< 2 = ?K-1-K+1?; K K -1 2? ? 1 1 1 1 1 (2) - < < - ; K K+1 K2 K-1 K (3)2( n+1- n)< 1 <2( n- n-1); n

(4)利用(1+x)n 的展开式进行放缩. 1 3.常用公式:1 +2 +…+n = n(n+1)(2n+1). 6
2 2 2

4.数列问题与函数问题的对比: (1)求数列的项与函数求值. (2)求数列通项公式与函数求解析式. (3)数列的单调性与函数单调性; (4)数列中求最值问题与函数求最值问题. (5)数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题.

填空题解法三 图象分析法 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目中 的条件,作出符合题意的图形,并通过对图形的直观分析、判断, 即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显,如一 次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等,求 解的关键是明确几何含义,准确规范地作出相应的图形,虽然作图 要花费一些时间,但只要认真将图形作完,解答过程就会简便很多.

(2011· 高考福建卷)已知函数 f(x)=ex+x, 对于曲线 y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形; ②△ABC 可能是直角三角形; ③△ABC 可能是等腰三角形; ④△ABC 不可能是等腰三角形. 其中,正确的判断是________. [解析] f′(x)=ex+1>0 且为增函数, 故 f(x)的图象可形为,如图,xB-xA=xC-xB f′(A)<f′(B)<f′(C). ∴yB-yA<yC-yB.∴|AB|≠|BC|≠|AC|. 不可能是等腰三角形,且|AC|>|AB|, |AC|>|BC|,B 为钝角. [答案] ①④

[借题发挥]

进行图象分析的关键是正确把握各种式子与几何

图形中的变量之间的对应关系,准确利用几何图形中的相关结论求 解.

1 已知方程(x -2x+m)(x -2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 4
2 2

的等差数列,则|m-n|的值等于________. 解析:如图所示,易知抛物线 y=x2- 2x+m 与 y=x2-2x+n 有相同的对称轴 x=1, 它们与 x 轴的四个交点依次为 A、B、C、D.因 1 7 为 xA= ,则 xD= . 4 4

又|AB|=|BC|=|CD|, 3 5 所以 xB= ,xC= . 4 4
?1 7 3 5? 1 故|m-n|=?4×4-4×4?= . ? ? 2

1 答案: 2

规范思路,典题例析 1 已知 P 为抛物线 y= x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影 4 为 M,点 A 的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________. 1 2 [解析] 如图,抛物线 y= x , 4 即 x2=4y 的焦点为 F(0,1),记点 P 在抛物线的准线 l:y=-1 上的射影为 P′ ,

根据抛物线的定义知,|PP′|=|PF|, 则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF| = 22+12= 5. 所以(|PA|+|PM|)min =(|PA|+|PP′|-1)min= 5-1. [答案] 5-1

[思维流程] 把点到准线的距离转化为点到焦点的距离,并利用三角形中 两边和大于第三边; 由几何图形,把所求问题转化为易求问题.

本部分内容讲解结束
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