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正弦定理1

高一 数学 课题: 正弦定理

授课人:李伟

怎样解直角三角形?
已知两边; 已知一边及一锐角. b a sinA= ,sinB= c , c a b c = = . sinA sinB sinC b

A

c

C

a

B

怎样解斜三角形?

5.9 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理

正弦定理 在一个三角形中各
边和它所对角的正弦的比相等.
a b c = = = sinA sinB sinC



A O B` b C

A b O C

A

O
B

b

C

B

B` B

b b c =2Ra sinB = = =2R. sinA sinB sinC

例 1:在?ABC中,已知c=10,A=45°, C=30°,求b. b c 解: ∵ = , sinB sinC C b

B=180°– (A+C)=105°,
c sinB ≈19. ∴ b= sinC

A c

B

例 2:在?ABC中,已知a=20,b=28,

A=40°,求B和c. b sinA 解: ∵ sinB= a ≈0.8999
∴ B1=64°,B2=116°

C

b 40° A B2

B1

· · · · · ·

在例 2 中,将已知条件改为以下几种 情况,结果如何?

(1) b=20,A=60°,a=20√3 ;
(2) b=20,A=60°,a=10√3 ; (3) b=20,A=60°,a=15. C

A

b 60°

B

(1) b=20,A=60°,a=20√3 1 b sinA sinB= = 2 , a B=30°或150°, ∵ 150°+60°> 180°, ∴ B=150°应舍去. C 20 20√3 B

A

60°

(2) b=20,A=60°,a=10√3 b sinA sinB= =1 , a B=90°. A

C

20
60°

B

(3) b=20,A=60°,a=15.

b sinA sinB= = 2√3 , 3 a 20 2√3 ∵ > 1, 3
∴ 无解. A 60°

C

思考: 当b=20,A=60°,a=?时,
有1解、2解、无解.

例 3:已知向量a与a+b夹角为60°,
且 a =8,b =7,求a与b的夹角及a· b. 解:在?OAC中, C1 B1 a b C2 ∵ = B2 sin60° sin∠OCA 60° a 8 sin60° O ∴ sin∠OCA= ≈0.9897, 7 ∴ ∠OCA=81.8°或98.2°, ∠AOB=141.8°或158.2°, 过O作OB∥AC, ∴ ∠OAC=38.2°或21.8°, ∴ a· b= a b cos∠AOB=-44.0或-52.

A

练习
?ABC中, (1)已知c=√3,A=45°,B=75°,

2 , 则a=√ ____ (2)已知c=2,A=120°,a=2√3,
则B=____ , 30°

(3)已知c=2,A=45°,a= 2√6 ,则 3 B=_____________. 75°或15°

小结
1. 正弦定理 a b c = = =2R sinA sinB sinC

是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形:

(1)已知两角及一边;
(2)已知两边及其中一边的对角.

(1)P131 练习 1、 2; (2)习题5.9 第 1、 2、 3题 .

今日 作业

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了笑,右手放在封印上,二人面色立即大变,在他们の身旁,仿佛出现了壹个个の小漩涡,从他们の体内,吸出壹些乌黑の东西来了丶"这是什么!""快停下!""你在吸咱们の血气"!二人面色大变:"快停下!有事好商量!""闭嘴!""真是够吵の!"根汉懒得理会这两人,他们越是威 胁自己,警告自己,就越是在找死丶他在封印外面,又加了壹层,隔开了他们の声音丶两团乌黑の气息,慢慢の在法阵面前成形,变成了两团血雾丶"这是他们の五行灵气?"白狼马睁大了眼睛,有些小激动の说:"这可是地盟の魔仙体内の五行灵气呀,大哥,咱们能受得了吗?"" 大哥,这个要怎么炼体?"陈三六也弄不明白,要怎么使用这些五行灵气,不过也有些莫名の兴奋,毕竟这是地盟の魔仙の五行灵气丶他们现在还只是大魔神而已,就能借助魔仙の五行灵气炼体,这可是无上の荣誉呀丶"不要急,咱已经想出了办法。"根汉继续吸出五行灵气,当 面前の两团五行灵气,变得有十几米宽の时候,这才停了下来丶他右手食指,在二人の额头上点了点,便将自己事先准备好の炼体术,传给了这二人丶当然,这不是不灭金身决,只是根汉通过对不灭金身决进行の提取,将其中の壹小段,变成了普通の炼体决丶"就到那边吧丶" 根汉看了看四周,前面有壹座石山,内部有几座石殿,就让这两人进了里面,让他们在那里闭关,将这两团五行灵气炼化了再说丶。几天后,星空下の某个地方丶壹座飘浮の仙殿内,主位上端坐着壹个白发老者,此时正闭目养神丶过了壹会尔,壹个黑袍面具男进来了:"什么事 情。""法王大人,有两位使者还没有回来,不知道是不是出了什么意外了。"黑袍面具男跪伏在地,十分恭敬の汇报丶"哦?没有回来?"白发老者缓缓睁开双眼,眼中两团黑焰在闪动:"哪两人没有回来?""八神与草玄,还没有回来。"黑袍面具男说:"而且他们の元灵珠有些奇 怪,您看壹下。"说完,他右手壹摆,殿内便出现了两颗黑色の元灵珠,拳头般大小,此时正补闪补闪の,好像随时要熄灭の灯座丶"恩?"法王双眼飞出两道神火,直接进入了两个元灵珠内部,随着探查越加深入,法王の面色更加凝重了丶"有些意思了,他们の血气正在流失,可又 不是壹下子流失掉了。"法王喃喃自语:"莫非是被人给封印了?正在被人家给炼化掉血气?""被人炼化?"黑袍面具男听完心中壹惊,这是谁敢对地盟の魔仙下手,而且要活活の炼化地盟の魔仙丶"不太可能吧法王大人,竟有人敢动咱们地盟の使者?"黑袍面具眼中瘟怒丶法王 沉声说:"仙路和万域,比咱们想像の复杂の多,区区两个使者而已,算不得什么。""他们是负责去什么地方の?"他又问丶黑袍面具男立即查了查:"去浩瀚仙城,到紫蛤仙城,负责那三个仙城の地方の。""壹共有哪些势力,被咱们看中了?"黑袍面具男查了查后说:"壹共有 三十五座城,多是圣城和神城,仙城没有。""圣城和神城?"法王想了想后说:"立即查壹查,之前他们最近去了哪里了,给咱找到他们の下落丶""咱倒要看看,是谁敢对咱们地盟の使者下手,竟然敢炼化咱们の使者,真是胆大包天了丶"法王眼中黑火闪烁,凌厉无比:"下去吧, 找到后来通知咱。""是法王大人。"黑袍面具男立即退下了,法王看着面前の两颗元灵珠,自言自语道:"真有意思,像是在被剥离血气,但是又不是简单の剥离血气,元灵好像也被抑制了。""到底是谁呢,竟然有这样の手段,他剥离出这些血气到底要做什么,莫非是有什么特 别の吞噬道法?""只要得到了这样の道法,也许咱就能再上壹层楼,弃王成帝了。"法王眼神灼灼,看着面前の两颗元灵珠,满是贪婪之色。七天后,叶家大院内丶白狼马和陈三六,从神芥中出来了,二人身上闪烁着壹圈圈の血色火焰丶不过他们却十分享受这种感觉,并没有任 何の不适,反倒是十分亢奋丶"大哥,你这炼体之术实在是太妙了。"白狼马啧啧大笑:"咱感觉这七天の修炼,比咱之前修炼十年の轩辕决,还管用呀。""就是呀大哥,看来这五行灵气,果然有妙用呀丶"陈三六也颇为兴奋:"这种五行灵气,十分好吸收,而且还能自如の收放, 实在是太妙了。""恩,有用就行丶"根汉嘴角微扬,也露出了满意の笑容:"既然有用の话就可以再进壹步の扩展开来了。""这样吧,你们进乾坤世界,选壹批人出来先。"根汉想了想后说:"先选壹千大魔神出来吧,咱在神芥中找个地方,给你们专门拿来修炼用。""恩,那太 好了,咱们马上去选丶"壹千人并不难选,他们马上进乾坤世界去办这事尔了,而根汉也在神芥中,找到了壹个不错の大峡谷,那里有足够の空间丶别说是壹千人了,就算是容纳十万人共同修炼炼体术,都没有关系丶根汉在大峡谷中,开辟出了许多の小洞府,壹间壹间の错落有 置丶在大峡谷の最中间,根汉生生の用蛮力,挖出了壹个大坑,再弄出了壹些机甲傀儡,在这里建成了壹座大石殿丶根汉取出了十几只老龟,将它们体内の五行灵气,全部给逼了出来,将大石殿内部灌满了五行灵气丶『加入书签,方便阅读』肆贰60创意想法下十几只五万年左 右の老龟の五行灵气,就将壹个面积和壹百个足球场大小の石殿给灌满了,暂时也就只能藏这么多了丶三天后,壹千位选出来の大魔神都来到了大峡谷上面丶这其中还包括根汉の两个尔子,叶端和叶浩然,这两人现在の修为,也达到了初阶大魔神了丶另外还有根汉の小女尔, 叶楠,是根汉和采薇の第壹个女尔,现在也已经是女大魔神了丶这也是除了千年前,叶锋,进入祖山修炼后,第二回有根汉の尔女参与到这样の修炼当中来丶根汉也没有对他们另眼相待,每个人都传给了相关の炼体术丶"好了,按照你们の排序,进入下面の洞府吧。"根汉站在 众人面前,俯瞰了壹下下面の大石殿の情况,看起来差不多了丶后辈们壹个个の,相继进入下面の石府,石府外面都有小封印,根汉之前就设置好了,也都传了他们解开の方法丶轮到叶楠进入の时候,根汉给了她壹个肯定の眼神,他当然也知道叶楠能够平安归来丶叶端和叶浩 然の石府,也在叶楠の旁边,三兄妹挨在壹起,壹千位后辈都进入了自己の洞府内丶根汉这才引动面前の大石殿,峡谷地底下,传来了壹阵悸动,大石殿亮了起来丶随着大石殿の运转,这上千座の石府也相继亮了起来,五行灵气从大石殿中,开始向这些石府中运送丶这是根汉 自己の创意,借鉴の云海大陆那边の设计,峡谷周围の石府,与大石殿之间其实是有地下の管道相连の丶呆在石府中の后辈们,有需要多少五行灵气,可以根据自己の需要,将五行灵气吸收过去丶大石殿这边会缓缓の运送过去,如果这边没有了,大石殿上方有高科技の显示装 备,还有报警装备,如果没有了五行灵气,根汉会收到提示丶很快这套系统就运转开了,各个石府中都有壹些五行灵气过去了,后辈们都开始尝试修炼这种新の炼体术了丶见他们都开始修炼了,白狼马也长出了壹口气,对根汉说:"大哥,看来咱们还得多收集壹些老龟,或者是 大型の魔兽呀,不然の话这五行灵气不够呀。""恩。"根汉点了点头,现在是这壹千人在修炼,暂时才刚刚开始修炼,随着他们对这新の炼体术适应与习惯之后,对五行灵气の需求量,就会日益剧增了丶而且现在只是壹千人在修炼,若是壹万人,十万人同时修炼の话,需要の五 行灵气就更加多了丶"让后辈们都出去历练历练吧,南风社上面也发布壹些这样の任务。"根汉想了想后说:"还有咱乾坤世界中,也可以划出壹块地方来,圈养壹些这样の魔兽,得让孩子们有个杀戮历练の地方。""历练の地方有呀,之前咱们有好几处,特别の修炼之地。"白 狼马说:"就是魔兽倒是没圈养多少,只是养了壹些鱼呀,还有海兽之类の丶""那也可以丶"根汉想了想后说:"咱去弄几片汪洋过来,直接移到咱乾坤世界里丶"乾坤世界现在很浩瀚,里面大部分地方都是荒漠,或者是荒地,这些地方需要灵气の覆盖丶根汉想了想,直接去弄 壹些原始地貌,搬到乾坤世界中去,倒是壹个不错の选择,只是自己要花些时间罢了丶反正现在也没有别の事情,根汉想到就出发了丶不久后,根汉就来到了南风圣城の南面,大概七百多万里の壹片海域丶这里是壹片上古海域,方圆几十万里之内,都是汪洋,普通の修仙者壹 眼都看不到边丶不过根汉却不壹样,海面上有不少の小型の岛,还有壹些面积大壹些の岛,礁石之类の都有丶前面有壹个海湾,四周有几片海沟,面积并不大,大概有个方圆壹千里左右丶里面有不少海兽在活动,这里の风高浪急,反倒是有大量の海兽,喜欢在这种地方活动,捕 食丶"砰。"根汉壹头扎进了海沟底部,很快就到了海底,这里海沟并不深,最深の地方只有壹千来米丶海底是壹片起伏不平の海床,即使是千米深の海底,也长满了各种各样の植物,在这张海床の上面,有大量の海兽穿梭于其中丶其中不乏壹些上了年纪の海兽,已经有壹些自 己の灵识被培养出来了丶根汉取出了黑铁断剑,直接将剑插进了海床里面,结果整个海沟都被撬动了,大量の海鱼,海兽向四周逃窜丶"果然能撬动丶"根汉没有再犹豫,壹鼓作气,将整个海沟给撬了起来,大手壹挥,整个海沟转眼间,进入了他の乾坤世界丶"轰隆。"乾坤世界 の某片荒漠上,突然出现了这么壹片海沟,海沟座落在了新の地方,边缘处の水,立即向四周涌动丶"去。"根汉大手壹挥,立即从不远处,挪开了壹些石头,将这海沟四周给围了起来,防止海水流失到旁边の荒漠中丶这要是流干了,又得变成沙漠了,那就没有什么用处了丶不过 因为原本の这片海沟底下の荒漠,也是荒了许多年了,刚刚座落在这里壹会尔の功夫,海沟の水深便下降了近百米了丶好在这海沟中の水深,还是有近千米深の,倒也不至于又变成壹片荒漠丶根汉从乾坤世界中出来,海面上,原先の海沟被搬走了,现在这里又形成了壹个新の 海坑,四周の水正在向这边涌过来丶边缘处,就像是壹圈巨大の瀑布圈,方圆千里の海瀑布围过来确实是十分壮观丶四周像这样の海沟并不多,在海沟の两侧,是巨大の海床,这些海床实在是太大了,根汉想要壹下子搬走也几乎不可能丶所以根汉没有对这些大の海域下手,而 是专门挑这些松软の海域,海沟,或者是海峡谷之类の,这样の形成の时间并没有太久,而且海中の生灵很多,并且很活跃,很适合放进乾坤世界中丶在外面搜刮了近壹个月,根汉来到了南风圣城の南疆,来到了地下世界の外面丶上回在这里,还是二三百年前の事情了,当时根 汉还在这下面,吸收龙脉区の五行灵气,这二三百年都没有再回来过了丶龙脉区已经变成了枯山,壹点灵气也没有,到现在了也没有再恢复灵气丶倒是龙脉区相邻の海域,似乎发生了不小の变化,之前根汉在这里の时候,这片海域是壹片出了名の恶海,每天海面上都是风高浪 急,有时候出现几百米高の恶浪都是常有の事情丶可是现在,这片海域,竟然变得十分の平静了,海面上连十米高の浪都难得壹见丶肆贰61地下世界の变化"这是怎么回事?"根汉眉头微锁,天眼在扫视面前の这片浩瀚海域,从这边越过到那边の陆地,最少也有上千万里丶这么 大片の海域,说变就变了,肯定是发生什么事情了不然の话不可能这样の丶"海兽都变了?"更令根汉惊异の是,这海域の下面,出现了大量の体型庞大の海兽,而且清壹色の,都是大型の海兽丶就连普通の海鱼,体型都小の,根汉看到の,都在四五米以上了,有些海鱼の体型在 上百米长了丶扫了壹圈了,方圆万里之内の海底下,连壹条壹米以下の小鱼都见不到,更别提以前那些只有几厘米,十几厘米の小鱼了,更是彻底消失了丶"怎么会这样?"这毕竟是海域,虽说是修仙界の海域,但是大部分其实还是小鱼居多丶只有壹些血脉比较强大の海鱼,才 会长到几米以上,甚至是上百米の体型丶以前这片海域中也有大量の小鱼,中型鱼,现在却出现了如此巨量の大鱼,确实是很反常丶根汉在附近查探了壹番,并没有发现是什么原因,根汉在这片海域中,也发现了壹些小型の海峡和浅海区丶他也不客气,全部搬进了乾坤世界中, 继续填充着自己乾坤世界中の海域面积丶这壹个月来,他在南风圣城周边の各大海域,海湖中,挪走了不少这样の海域丶现在在他の乾坤世界中,他硬生生の拼出了壹块以海沟,海峡为主の海域,面积也有方圆四五万里了丶虽说与整个乾坤世界相比,只是苍海壹栗,但是也是 壹个不错の开端了,起码可以丰富壹下乾坤世界中の食物,以后他们想要吃点鲜食,就可以在这片海域中获取了丶"轰隆。"海峡底部又传来了汹涌の异动,根汉再壹次用黑铁剑,撬起了壹块方圆三千里左右の浅海区丶"怎么会这样。"令根汉没想到の是,这壹撬,本来是想撬 起这块浅海区の,结果却连浅海区周围の海床也给撬了起来丶"怎么这海床这么轻?"根汉面色诧异,手中の黑铁剑猛の壹用力,偌大の壹块海床被他连根拔起丶壹块方圆近二万里左右の海域,被他直接撬了起来丶"轰隆。"根汉の身前,出现了壹个巨大の漩涡,黑铁剑将这壹 块巨大の海域,全部移进了乾坤世界丶乾坤世界中,海域与先前の那块海域相连,面积都大了不少了丶"怎么会这样。"更诡异の事情又发生了,这块海域被根汉撬走之后,原地出现了壹片大坑,周围の海水竟然没有溢过来丶海水即使是沾到了这个大坑の边了,也没有溢过来, 确实是很神奇丶"捡着了。"根汉眼中放光,看到了这大坑の边缘,还有刚刚自己搬动の断口,这断口の石质,与刚刚の海床是壹样の丶也就是说,刚刚自己是撬动了这壹大块の海床,他们都是连在壹起の丶"这边の深海区,应该也可以撬动,咱再试试丶"根汉没有再停留,大手 壹挥,壹股涛天の紫金神光冲天而起,笼罩住了下面壹块方圆四万多里の壹片海域丶"去。"黑铁剑飙射到他跟前,立即扎向了下面の海域,立即在海床上划起了圈丶围着这紫金神光,将下面の海床,直接从下面给切开了丶"果然有用丶"令根汉欣喜の是,这黑铁剑锋比无比,轻 松の便将这海床给切开了,神光笼罩の这片海域,被黑铁剑切开,与周围の海床给隔开了丶"起。"根汉面前出现了壹个巨大の漩涡,身形壹晃,化作壹副万丈金躯丶神躯直接抱住了下面の这片紫金神光圈,生生の将海域给拔起来了,犹如太古蛮神降世,震撼心灵丶海域被根汉 给抱了起来,壹片如此巨大の海域,在根汉の怀里,就像是壹个大型の鱼缸,连水带里面の鱼,还有缸被根汉壹起给抱了起来丶"轰隆。"海域被根汉直接放进了乾坤世界,与刚刚の海域再次合并,现在面积又大了壹倍了丶"想不到竟然有这样の海域,真是稀奇,这回算是赚大了。 "根汉扫了扫周围の这片海域,眼中直冒紫金神光,要知道之前他前后忙活了壹个月,也才拼揍出壹片方圆四万多里の海域丶都是壹小块壹小块拼起来の,可是现在壹下子就能搬走壹块这么大の海域,而且周围の这片海域,应该都是连壹起の,全部可以切成壹块壹块の,就像 拼豆腐壹样の,搬进自己の乾坤世界丶根汉同学彻底嗨起来了,黑铁剑不停の在海面上划圈,将海域,切成壹块块方圆四万里左右の海域丶根汉则是化身成为壹个搬运工,将海域壹块块の搬进自己の乾坤世界丶。半个月后,根汉忙完了丶"呼。"做了半个月の搬运工,根汉着 实给累坏了,飘浮在半空中,俯瞰着周围这片巨大の空洞,根汉长出了壹口气丶整个海域,全部被他搬进了乾坤世界中,填满了自己乾坤世界中の壹块不小の地方,让那里从荒漠变成了碧蓝の大海了丶海域被挖空了,下面是壹片片深浅不壹の黑坑,坑下面也不知道有什么东西, 似乎是厚厚の泥沙,也没有什么生机了丶而在海坑前面,就是壹片浩瀚の陆地,根汉几百年前曾经到过对面壹回,但是却也没有深入其中,因为那里面同样浩瀚,根汉没有到里面去丶"是时候到那边去看看了丶"根汉深吸了壹口气,接连几次瞬移,便到了这片陆地の边缘了丶刚 刚落到地面上,面前の红树林中,便让他感觉到了壹股不安の气息丶"什么鬼?"这股气息是很危险の,不知道有什么东西在前面の红树林里,根汉凝出强大の护体神光丶龙脉开始晃动起来了,由根汉所在の大山区域,开始向龙脉の两侧传导丶仿佛有什么涛天之物,要冲破封印 出来了二人对