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成功解题后的反思_图文

《数学教学通讯》 2005 年 8 月 ( 上半月) ( 总第 225 期)              重庆 ?19?

成功解题后的反思
( 浙江   衢州职业技术学院教务处  324000)   王百通   王工一

   解题是培养数学思维能力的一个重要环 节, 本文从探索解法、 审视过程、 转换命题、 运用 结 论、 纠正错误五方面阐述成功解题后的反思 方法, 提升学习者的认知水平, 优化学习者的思 维品质. 数学教育家波利亚曾指出: 解题过程应包 括四个阶段,“弄清问题” 、 “拟定计划” 、 “实现计 划” 和 “解题回顾” . “解题回顾” 实质就是强调 解 题的结果检验和成功解题后的反思. 成功解 题后的反思能促进学生的理解从一个水平上升 到 更高的水平, 有助于优化学生的思维品质和 开发学生的元认知, 提升学生的数学能力. 学生 只有在思考、 再思考的过程中获取知识, 才能增 强 创造性解决问题的能力, 找到最激动人心的 发现, 激发学习数学的兴趣.
1  反思的内涵

维, 开发学习者的解题能力.
2  解题后反思的意义

教育心理学的学习观强调解题的任务是进 行 解题后的反思, 思考自己是否已把握与题目 有 关的知识结构, 是否达到了通过练习掌握知 识的目的; 回忆解题的思维过程、 思维关键、 与 解 过题目有何不同点等; 探索还有没有更简洁 的思路. 因此, 只有解题后的反思才能运用到条 件 性策略知识. 建构主义学习的一个核心特征 就是反思自我, 学习者必须从事自我监控、 自我 测试、 自我检查等活动, 以诊断和判断他们在学 习中, 所追求的内容是否符合自己设置的目标, 它所面对的是动态、 持续、 不断呈现的学习过程 和 学习者的进步 . 通过解题后的反思学习者可 以更好地根据自己的需要和不断变化的情况修 改、 提炼学习策略, 朝着专家的方向获得持续的 发展.
3  解题后反思的方法 3. 1  深思求异, 探索解法

反思在西方哲学中通常指精神的自我活动 和内省的方法 . 弗赖登塔尔认为反思就是反省, 反思自己曾经做过的、 想象过的、 思考过的以及 正在做的、 正在想象的、 正在思考的, 是一种观 点的转变, 这种转变不受时间、 空间的限制. 洛 克认为反思是内部经验. 杜威指出反思是 “对任 何 信念或假定的知识形式, 根据其支持理论和 倾 向得出进一步理论而进行积极主动的、 坚持 不 懈的细致缜密的思考” . 我们认为, 反思就是 建 立在逻辑和证据上, 拒绝以表面价值接受任 何事物, 从多层次、 多角度对问题及解决问题的 思 维过程进行全面考察与分析, 深化对问题的 理解, 优化思维过程, 揭示问题本质, 沟通知识 联系, 进而产生新发现的过程. 成功解题后的反思是指在解决了数学问题 之后, 通过对题目特征、 解题思路、 解题途径、 题 目结论等的思考来进一步暴露数学解题的思

成功地解决一道数学问题后, 应考虑提醒 学生全面分析问题, 引导他们多方位、 多角度联 想, 获取多种启发, 引出多种方法或技巧来解决 问题. 如该题本身有什么特点、 差异和隐含关 系: 解题中应用了哪些知识和方法等. 通过深思 求异, 沟通新旧知识联系, 从而认知新知识的内 在联系, 达到对知识的理解和掌握, 开阔了解题 的视野. 例 1  求三个实数 a , b, c , 使得它们同时满 足方程,
a + b + c = 18   ( 1) a + b + c = 108  ( 2)
2 2 2

分析: 该题目相当于解方程组, 所以首先联

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想解方程组的一般方法, 即消元法求解 . 将 ( 1) 式移项得 c = 18 - a - b
2

据 是否充分; 或者看解题过程走了哪些思维回
( 3) ( 4)

路, 哪些过程可以转换、 合并、 删除等.
1 + 5- x = 5 的解 . 1 + 5x 分析: 依据分式方程的一般解法, 即去分母

将 ( 3) 代入 ( 2) 化简得 a + ( 18 - b) a +
108 - 18b + b2 = 0

例 2  求方程 可得 1 + 5即5
(5 0, 故 5
x

要使 ( 4) 有解, 必须有 ? = ( 18 - b) 2 - 4 ( 108 - 18b + b2 ) ≥ 0, 解得 ( 6 - b) 2 ≤ 0, 即 b = 6, 同理可得 a = 6, c = 6. 反思: 本题涉及到 3 个变量, 2 个方程, 且又 有 一个方程具有 2 次平方, 所以还有其它解题 方法. 如均值换元、 三角换元、 数形结合等方法. 探索 1: 从 ( 1) 式联想均值换元, 令 a = 6 + t1 , b = 6 + t2 , c = 6 + t3 且 t1
+ t2 + t3 = 0.

= 5+ 5
x x

5x , = 0,

5 x + 4 - 5-

两边乘以 5 后分解得
5x - 1) ( 5x + 1) = 0, 由于 5x + 1 ≠ 5x - 1 = 0, 即 x = - 1.

反思: 上述求解过程中, 最有实效的方法是 两边同乘以 5x 处理负指数, 其它的均属于转换 与整理的过程, 而两边同乘以 5x 对是否去分母 都可以实施的, 抓住这一实质, 则直接对原式实 施去分母, 可得较优解法 . 简化 1: 两边同乘以 5x , 有
( 1 + 5- x ) 5x = 5 1 + 5x 5x ,

将上述换元代入 ( 2) 式得 ( 6 + t1 ) 2 + ( 6 +
2 2 2 2 2 t2 ) + ( 6 + t3 ) = 108, 即 t1 + t2 + t3 = 0,

所以得到 t1 = 0, t2 = 0, t3 = 0, 从而 a = 6,
b = 6, c = 6.

探索 2: 从 ( 2) 式化简得 a 2 + b2 = 108 c ≥ 0 联想三角换元法,
2

即 5x + 1 = 1, 得 x = - 1. 简化 2: 原方程变形为 所以 5x

令a=  b=
sin ( Η+

108 - c sin Η ,
2

( 1 + 5x ) 51 + 5x

x

= 5,

= 5, 得 x = - 1. 1 + n- x = n , (n ∈ 1 + nx

108 - c co sΗ , 代入 ( 1) 得
2

Π) = 4

18 - c , 216 - 2c2

简化 3: 原方程变形求
Z+ , n ≥ 2) 的解,

由 sin ( Η+
= 6, b = 6.

Π ≤ 1, 得 c = 6, 同理可得 a 4

同理可求 n -

x

= n , 得 x = - 1.

313  深思求新, 转换命题

探索 3: 从数形结合观点看, ( 1) 、( 2) 有解 等价于直线 a + b = 18 - c 与圆 a + b = 108 - c2 有公共点, 故转化为圆心 ( 0, 0) 到直线 a +
b = 18 c 的距离不大于圆的半径,
2 2

成功解题后, 改变原题的结构或其它方面, 往往可使一题变一串题, 有利于开阔视野, 拓展 思路, 提高应变能力, 防止定势思维的负面影 响 . 如能否减弱命题中的已知条件而得到同样 的 结论, 命题条件不变或变化是否可以变换出 新的结论, 命题条件再加强能否引出新的结论, 探索命题的背景, 能否对结论特殊化、 一般化 等 . 例 3  过抛物线 y 2 = 2p x ( p > 0) 焦点的 一条直线和此抛物线两交点的纵坐标分别为
y 1 , y 2 , 求证: y 1 y 2 = p.
2



18 - c ≤ 2

108 - c2.

312  深思求质, 审视过程

成功解题后, 如果我们能深思其解题过程 或程序, 有时可能会发现, 这种解决问题的思维 模 式体现了一种重要的思维方法, 可以用于解 决一些类似的问题; 或者认真检查解题过程, 能 推 敲出对概念的把握是否准确, 所作判断的依

反思: 学生通过命题的条件或结论的转换,

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《数学教学通讯》 2005 年 8 月 ( 上半月) ( 总第 225 期)              重庆 ?21?

此题可形成如下子题: 子题 1: 过抛物线 y 2 = 2p x ( p > 0) 焦点作 弦 P 1P 2 , 设 P 1 (x 1 , y 1 ) , P 2 (x 2 , y 2 ) , 则 x 1x 2 = ? 子题 2: 若抛物线 y = 2p x ( p > 0) 的弦的 两 个 端 点 P 1 (x 1 , y 1 ) , P 2 (x 2 , y 2 ) 的 坐 标 适 合
y 1y 2 = p , 则弦 P 1 P 2 必过其焦点 .
2 2

数, 故 z 2005 = ( z 2 ) 1002 z 为纯虚数, 从而 a - z 2005 =
2005

a+ z

2005

,

所以

a- z 2005 = 1. a+ z

315  深思求真, 检验结论

解题后的反思是检验结果是否正确的重要 手段, 有助于用足隐含条件和纠正错误. 解数学 题 往往会有这样一种现象, 对有一些含有附加 条件的问题简单易解, 但结果却是错误的. 原因 是什么呢? 笔者认为, 大多数人是没有认真审 题, 没有充分考虑条件中隐含的深层含义, 挖掘 所有的内容. 所以, 解题后要引导思考解答中易 错的地方, 找出导致错误的原因, 扫除或纠正思 维中的盲点和错误. 例 5  已知 a ≤ 1, b ≤ 1, 求证: ab +
( 1 - a 2 ) ( 1 - b2 ) ≤ 1.

子题 3: 过定点 A ( a , 0) ( a > 0) 作直线交 抛物线 y 2 = 2p x ( p > 0) 于 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P ( x 2 ,
y 2 ) , 则 x 1x 2 = ?

子题 4: 若抛物线 y 2 = 2p x ( p > 0) 的任意 弦 P 1 P 2 交 x 轴于 A ( x 3 , 0) , 则 x 1 , x 2 , x 3 的关系 如何? 子题 5: 若将抛物线改为 “椭圆”或 “双曲 线” , 则结论又会如何呢?
314  深思求广, 运用结论

从一些题目本身看, 其实很简单, 但它们的 结论却有广泛的应用. 成功解题后, 应重新观察 结论的结构和特点, 加强对它们应用的探讨, 有 助于改善认知结构, 强化解题模式 . 例 4  设 a 非零实数, z 为非零复数, 证明:
z a = z + a Ζ z 为纯虚数 .

证明: 由 a ≤ 1, b ≤ 1, 可设 sin Α= a ,
co sΑ= b, 于是有
ab +

( 1 - a 2 ) ( 1 - b2 ) = (1 ) ( 1 - co s2 Α ) = sin 2 Α 1 sin2Α ≤ sin2Α ≤ 1. 2

sin Α co sΑ+ 1 sin2Α+ 2

反思: 该题证明相当容易, 但若考虑这个命 题结论的应用, 则能在证明、 求解、 图形的描绘 等方面有较好的作用. 应用 1: 设 z 为虚数且满足 z + a = 数 . 分析: z + a =
z + z + a+ b z + b Ζ b b az+ b , 其中 a , b ∈ R, a ≠ b, 则 2z + a + b 为纯虚

反 思: 观察原题中 a , b 两个变量与换元后 的 a , b 是否一致, 其实, 题中 a , b 是两个独立的 变量, 但所作的变换却增加了一个条件, 即 a 2
+ b2 = 1, 所以解题者没有充分理解题意, 导致

知识性错误, 即换元不等价 .
参考文献
1  ( 美) 波利亚著 . 闫育苏译 . 怎样解题 [M ]. 北京: 科

2
a+ b

+ -

2
a-

= , 则由上述结论得 z

学出版社, 1982
2  罗增儒著 . 数学解题学引论 [M ]. 西安: 陕西师范大

2

2

+

a+ b

学出版社, 1997
3  陈昭亮. 解题后的反思是培养思维品质的生长点 [J ]. 中学数学教学参考, 2000 ( 6) 4  张建良 . 解题后反思在教学的作用 [J ]. 中学数学月

2

为纯虚数, 所以 2z + a + b 为纯虚数.
z -

应用 2: 已知 2004z + 2005 z
= 0, a ∈ R , a ≠ 0, 求
a- z 2005 . a+ z 2006 i
2005

2006 i

刊, 2003 ( 9)

分析: 由已知 z =

2004 + 2005 z

为纯虚

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