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《二元一次不等式(组)与平面区域》课件


简单的线性规划
二元一次不等式(组)与平面区域
提出问题—引入新课 解决问题—猜想证明 典型例题分析与练习 课堂小结与课外作业


Y 1

想 一 问题1:点的集合{(x,y)│x + y 想 -1=0}表示什么图形?

O

1

X

集合表示的图形是一 条直线。该直线在Y 轴和在x轴上的截距 都是1。

问题2:点的集合A={(x,y)|x+y-1>0}在 平面直角坐标系中表示什么图形?

分析:在平面直角坐标系中,所有的点被直线x + y1= 0(如图所示)分成三类: 1、在直线上。 (1,2) Y 2、在直线的左下方的平面区域内(Ⅰ)。


1
O
(-1,-1)
(0,0)

(1,1)

3、在直线的右上方的平面区域内(Ⅱ) 。
(2,2)

1

X



取右上方的平面区域内的点 (1,1),(1,2),(2,2),我们发现这些点这些 点都满足x+y-1>10。若我们取左下 方平面区域内的点(0,0),(-1,-1),我们 发现这些点都满足x+y-1<0。

(1)猜想: (1)对直线L右上方的点(x,y),x+y-1>0
(2)证明:在直线 x ? y ? 1 ? 0上任取一点P(x 0 , y 0 ), Y 过点P作平行于X轴的直线y ? y0 , 在直线上点P右侧的任意一点(x, y), 都有 x ? x 0 , y ? y 0 , y=y
所以,x ? y ? x 0 ? y 0 , x ? y ? 1 ? x 0 ? y 0 ? 1 ? 0, 即 x ? y ? 1 ? 0.
0

成立。

(2)对直线L左下方的点(x,y),x+y-1<0 成立。

1

P( x0 , y0 )

( x, y )
O 1 X

因为点 P(x 0 , y0 )是直线 x ? y ? 1 ? 0上的任意点 , 所以, 对于直线 x ? y ? 1 ? 0右上方任意点 (x, y), x ? y ? 1 ? 0都成立。
同理, 对于直线 x ? y ?1 ? 0左下方任意点 (x, y), x ? y ?1 ? 0都成立。

问题2:点的集合 A={(x,y)|x+y-1>0} 在平面直角坐标系中是 直线x+y-1=0右上方的 平面区域

Y

1
O 1 X

x+y-1=0

(3)结论:二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直
线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。这时直线上的点不 包含在区域内,要把直线Ax+By+C=0画成虚线,而画Ax+By+C≥0 表示的区域时,此区域包括直线,要把直线Ax+By+C=0画成实线.
Y

我们可以通过以下方法来判断A+By+C>0 到底是哪个区域的: 在确定区域时,由于在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它代入 Ax+By+C,所得的实数符号都相同,在直线的 某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ,从 Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0 表示哪一侧的区域。一般当C≠0时,取原点 作为特殊点。当C=0时,取(0,1)或 (1,0)点作 为特殊点

X
O

Y

1
O

X

例1:画出不等式2x+y-6<0 表示的平面区域。
(1)先画出直线 2x ? y ? 6 ? 0(画成虚线 )

(2)选一个特殊点 (x 0 , y0 ),判断2x ? y ? 6的符号, 确定不等式表示的平面 区域。 取(0 , 0),代入2 x ? y ? 6,
因为2 ? 0 ? 0 ? 6 ? ?6 ? 0 所以,原点在2 x ? y - 6 ? 0 表示的区域内 (3)用阴影部分表示不等式 的区域。

y

6

o
2x+y-6<0

3

x

说明:画二元一次不等式 的平面区域常用的方法是 “直线定界,特殊点定域”

2x ? y ? 6 ? 0

练习1: 画出下列不等式表示的平面区域: (1)x-y+1<0
画出直线x-y+1=0, 取(0,0)点代入不等式, 得 0- 0+ 1= 1> 0 x-y+1=0

(2)2x+5y-10≥0
画出直线2x+5y-10=0, 取(0,0)点代入不等式, 得:2×0+5×0-10=-10 <0
Y X

Y

1

2
O

X

-1

O

5
2x+5y-10=0

(1)

(2)

例2:画出不等式组

?x ? y ? 5 ? 0 ? ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ? x?3 ?
x+y=0

y

取(0,0)代入x-y+5; 得:0-0+5=5>0; 取(0,1)代入x +y; 得:0 + 1 = 1 >0; 5

不等式化为x-3≤0;取(0,0)代入x-3; 得0-3 = -3 ≤0;

注意:不等式组表示的平面 区域是各个不等式所表示 的平面点集的交集,因而是 x-y+5=0 各个不等式所表示的平面 区域的公共部分

-5

o

3

x

x=3

练习2:.画出下列不等式组表示的平面区域

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ( 1) ? y ? ?2 ?

不等式化为y-x<0,取(0.1)代入y-x,得1-0=1>0 不等式化为x+2y-4 ≤0,取(0.0)代入x+2y-4, 得0+0 - 4= -4<0 不等式化为y+2≥0,取(0.0)代入y+2,得0+2=2>0
Y

y-x=0 x
4

x+2y-4 =0

o

-2

y+2=0

课堂小结:
1、二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示什么图形 2、若不等式中不含0( Ax+By+C>0) ,则 边界应画成虚线,否则应画成实线。

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的 内涵。

1.画出(x ? 2 y ?1 ) ( x ? y ? 3) ? 0表示的区域。

2.点(3,1)位于两平行线: x ? 3 y ? m ? 0与 ? x ? 3 y ? n ? 0之间,则______
A.mn ? 0 B.mn ? 0

C. m ? n ? 2

D.m ? 3, n ? ?3


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