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8.3 实际问题与二元一次方程组(第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题)


第八章 二元一次方程组 8.3 实际问题与二元一次方程组
第 1 课时 利用二元一次方程组解决实际问题
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教学目标

1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生 活的联系和作用. 2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的 优越性. 3.体会列方程组比列一元一次方程容易,进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问 题,解决问题的能力. ?

重点难点

重点、难点:能根据具体问题的数量关系,会列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、 盈亏、行程等实际问题。 ?

教学设计

1.教学课时 1 课时 2.教学过程 【创设情景 导入新课】 古算题: “我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.问有几客几 房中?”题目大意:一些客人到李三公的店中住宿,若每间房住 7 人,就会有 7 人没地方住;若每间 房住 9 人,就会空一间房.问有多少间房?多少客人?你能解答这个问题吗? ? 利用二元一次方程组解决实际问题 1.和差倍分问题 例:某船的载重量为 300 吨,容积为 1200 立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每 吨体积为 6 立方米,乙种货物每吨体积为 2 立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两种货 物应各装多少吨? 解析:已知量:(1)甲种货物每吨体积为 6 立方米;(2)乙种货物每吨体积为 2 立方米;(3)船的 载重量为 300 吨;(4)船的容积为 1200 立方米. 未知量:甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨.若以 x、y 表示它们的吨数,则甲种货物的体 积为 6x 立方米,乙种货物的体积为 2y 立方米. 相等关系: “充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货 物的体积等于船的容积” .即 甲种货物质量,↓,x))+,)乙种货物质量,↓,y))=,)船的总载重量,↓,300)) 甲种货物体积,↓,6x))+,)乙种货物体积,↓,2y))=,)船的总容积,↓,1200))

?x+y=300, ?x=150, 解:设甲种货物装 x 吨,乙种货物装 y 吨.由题意,得? 解得? ?6x+2y=1200, ?y=150.
答:甲、乙两种货物各装 150 吨. 方法总结:列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤,其关键在 于审清题意,找相等关系.设未知数时,一般是求什么,设什么,并且所列方程的个数与未知数的个 数相等. 2.变化率问题
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第八章 二元一次方程组
例:为了解决民工子女入学难的问题,我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制,其中一项 就是免交“借读费” .据统计,去年秋季有 5000 名民工子女进入主城区中小学学习,预测今年秋季进 入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加,其中小学增加 20%,中学增加 30%,这样今年秋 季将新增 1160 名民工子女在主城区中小学学习. (1)如果按小学每年收“借读费”500 元、中学每年收“借读费”1000 元计算,求今年秋季新增 的 1160 名中小学生共免收多少“借读费” ; (2)如果小学每 40 名学生配备 2 名教师,中学每 40 名学生配备 3 名教师,按今年秋季入学后, 民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算,一共需配备多少名中小学教师? 解析:解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中,小学和初中各有民工子女多少人.欲求解 这个问题,先要求出去年秋季入学的学生中,小学和初中各有民工子女多少人. 解: (1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有 x 人, 在主城区中学学习的民工子女有 y 人. 则

?x+y=5000, ?x=3400, 解得? 20%x = 680 , 30%y =480 , 500 ×680 + 1000 ×480 = 820000( 元 ) ? ?20%x+30%y=1160, ?y=1600.
=82(万元). 答:今年秋季新增的 1160 名中小学生共免收 82 万元“借读费” ; (2)今年秋季入学后,在小学就读的民工子女有 3400×(1+20%)=4080(人),在中学就读的民工 子女有 1600 × (1 + 30%) = 2080( 人 ) ,需要配备的中小学教师 (4080 ÷ 40) × 2 + (2080 ÷ 40) × 3 = 360(名). 答:一共需配备 360 名中小学教师. 方法总结:在解决增长相关的问题中,应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系:增长率= (增长后的量-原量)÷原量. 3.行程问题 例:A、B 两码头相距 140km,一艘轮船在其间航行,顺水航行用了 7h,逆水航行用了 10h,求这 艘轮船在静水中的速度和水流速度. 解析:设这艘轮船在静水中的速度为 xkm/h,水流速度为 ykm/h,列表如下: 路程 速度 时间 顺流 140km (x+y)km/h 7h 逆流 140km (x-y)km/h 10h

?7(x+y)=140, 解: 设这艘轮船在静水中的速度为 xkm/h, 水流速度为 ykm/h.由题意, 得? ?10(x-y)=140.
解得?

?x=17, ?y=3.

答:这艘轮船在静水中的速度为 17km/h,水流速度为 3km/h. 方法总结:本题关键是找到各速度之间的关系,顺速=静速+水速,逆速=静速-水速;再结合 公式“路程=速度×时间”列方程组. ? 利用二元一次方程组解决几何问题 例:小敏做拼图游戏时发现:8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形,如图①所 示.小颖看见了,也来试一试,结果拼成了如图②所示的正方形,不过中间留下一个边长恰好为 2cm 的小正方形空白,你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗?

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第八章 二元一次方程组

解析:在图①中大长方形的长有两种表现形式,一种是 5 个小长方形的宽的和,另一种是 3 个小 长方形的长的和;在图②中,大正方形的边长也有两种表现形式,一种是 1 个小长方形的长和 2 个小 长方形的宽的和,另一种从中间看为 2 个小长方形的长与小正方形的边长的和,由此可设未知数列出 方程组求解.

?3x=5y, ?x=10, 解:设小长方形的长为 xcm,宽为 ycm.由题意,得? 解得? ?2x+2=x+2y. ?y=6.
答:每个小长方形的长为 10cm,宽为 6cm. 方法总结:本题考查了同学们的观察能力,通过观察图形找等量关系,建立方程组求解,渗透了 数形结合的思想. ?

课堂小结
一般步骤:审、设、列、解、验、答 列二元一次方程组,解决实际问题 关键:找等量关系

?

作业布置
课本 P101 习题 8.3

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教学反思

通过“古算题” ,把同学们带入实际生活中的数学问题情景,学生体会到数学中的“趣” .进一步 强调课堂与生活的联系,突出显示数学教学的实际价值,培养学生的人文精神,使学生形成积极参与 数学活动、主动与他人合作交流的意识。

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