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江苏省盐城市2012-2013学年高一下学期期末数学试题 Word版含答案(苏教版)


2012/2013 学年度第二学期期终调研考试 高一数学试题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答 题卡上. 4.第 19、20 题,请四星级高中学生选做(A) ,三星级高中与普通高中学生选做(B) , 否则不给分.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.已知集合 P ? ?1,2,3? , Q ? ?a, 4? ,若 P 2.函数 y ? 3sin( x ?

Q ? ?1? ,则 a =
▲ . ▲ . .





1 2

?
3

) 的最小正周期为

3.在等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? 1, a5 ? 8 ,则 a3 = 4.直线 3x ? y ? 6 ? 0 的倾斜角的大小为 ▲

5.在 ?ABC 中,若 AB ? 3, ?B ? 45?, ?C ? 60? ,则 AC =



. ▲ ▲ ▲ . . C .

6.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? 7.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,则该正四棱锥的侧面积为 8.如图,在 ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 3 , AC ? 4 ,则 CA ? CB = 9.设 f ( x) ? log2 x ,则 f (4 ) =
10



. A 第8题 B

10.已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面. ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ②若 ? ? ? , ?

? ? n , m ? ? ,则

m?n;

? ③若 ? // ? ,m ? ? ,n ? ? , 则 m // n ; ④若 m // ? ,m ? ? ,
上述命题中为真命题的是 ▲ (填写所有真命题的序号) . ▲

? ?n, 则 m // n .

11.若方程 ln x ? 3 ? x 的解在区间 (a ? 1, a)(a ? Z ) 内,则 a =



12.若函数 f ( x) ? x? | x ? a | 的最小值为 3a ? 2 ,则实数 a 的值为 13.已知数列 ?an ? 为等差数列,若



. ▲ 项.

a9 ? 1 ? 0 ,则数列 ?| an |? 的最小项是第 a8

14.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 x ? 离为 1,则 b 的取值范围是 ▲ .

4 ? y 2 上恰好有三个点到直线 y ? x ? b 的距

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? 底面 ABC , AC 在斜三棱柱 ABC ? A ? C1C , E , F 分 1B 1C 1 中,已知侧面 ACC1 A 1 1
别是 AC 1 1 A 1B 1 的中点. (1)求证: EF // 平面 BB1C1C ; (2)求证:平面 ECF ? 平面 ABC . A1 F E B1 C1

A B 第 15 题

C

16. (本小题满分14分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,设 m ? ( 3,1) , n ? (1 ? cos A,sin A) . (1)当 A ? 时,求 | n | 的值; 3 (2) 若 a ? 1, c ? 3 ,当 m ? n 取最大值时,求 b .

?

17. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(2,? 2), B(1,1) 两点,且圆心在直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 上.

(1)求圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 P, Q 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积为

1 ,且 ?POQ 的 5
y B ·

2 ,求直线 l 的方程. 5
O

x ·A

第 17 题

18. (本小题满分16分) 根据国际公法,外国船只不得进入离我国海岸线 12 海里以内的区域(此为我国领海, 含分界线). 若外国船只进入我国领海,我方将向其发出警告令其退出 . 如图,已知直 线 AB 为海岸线,A, B 是相距 12 海里的两个观测站, 现发现一外国船只航行于点 P 处, 此时我方测得 ?BAP ? ? , ?ABP ? ? ( 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ). (1)试问当 ? ? 30 , ? ? 120 时,我方是否应向该外国船只发出警告?
? ?

(2)若 tan ? ?

1 ,则当 ? 在什么范围内时,我方应向该外国船只发出警告? 2

P

?
A

?
B
第 18 题

19. (本小题满分16分) (A) (四星级高中学生做)

已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列;数列 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列,且

?bn ? 的前 4 项的和为 2 .

15

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式;

(2)若 d ? 3 ,求数列 ?an ? 中满足 b8 ? ai ? b9 (i ? N * ) 的所有项 ai 的和; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,若 c5 是数列 ?cn ? 中的最大项,求公差 d 的取值范围. (B) (三星级高中及普通高中学生做) 15

已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列;数列 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列,且

?bn ? 的前 4 项的和为 2 .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 d ? 3 ,求数列 ?an ? 中满足 b8 ? ai ? b9 (i ? N * ) 的所有项 ai 的和; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn 的最大值为 T5 ,求 公差 d 的取值范围.

20. (本小题满分16分) (A) (四星级高中学生做) (1)求证:函数 f ( x) ? 2 ? 2 在 [0, ??) 上是单调递增函数;
x ?x

(2)求函数 f ( x) ? 2 ? 2 ( x ? R) 的值域;
x

?x

4x ? 2x?k ? 1 ( 3 ) 设 函 数 g ( x) ? x , 若 对 任 意 的 实 数 x1 , x , , 都 有 2x 3 4 ? 2 x ?1 ? 1 k 的取值范围. ,求实数 g( 1 x) ? g( 2 x ? ) g( x) 3
(B) (三星级高中及普通高中学生做) (1)求证:函数 f ( x) ? 2 ? 2 在 [0, ??) 上是单调递增函数;
x ?x

(2)求函数 f ( x) ? 2 ? 2 ( x ? R) 的值域;
x

?x

(3)设函数 h( x) ? 4 ? 4
x

?x

? a(2x ? 2? x )(a ? R) ,求 h( x) 的最小值 ? (a) .

2012/2013 学年度第二学期期终调研考试

高一数学参考答案
一、填空题:每小题 5 分,共计 70 分. 1. 1

4? 2.

2 3.

4. 120°(

2? ) 3

5. 2

6.

2 3

7. 48

8 . 16

9 . 20

10 . ① ④

11 . 3

12 . - 1

13 . 8

14. (? 2, 2 ? 2] 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. 证明: (1) 在 ?ABC 因为 E , F 分别是 AC 所以 EF // B1C1 , …… 1 1 1 中, 1 1, A 1B 1 的中点, 4分 又

EF ?



BB1C1C



B1C1 ? 面 BB1C1C , 所 以

EF //

平 面

BB1C1C .

…………7 分

(2)因为 AC ? C1C ,且 E 是 A1C1 的中点,所以 EC ? A1C1 ,故 EC ? AC , 1 又 侧 面 ACC1 A1 ? 底 面 ABC , 且 EC ? 侧 面 ACC1 A1 , 所 以 EC ? 底 面

ABC . …………11 分 EC ? 又 面 ABC .
16. 解: (1) 当A? 3分 所

ECF

, 所 以 …………14 分



ECF ?



?
3

时,n ? ( ,

3 3 ), 2 2

………… 以 …………6 分

3 3 | n |? ( )2 ? ( )2 ? 3 . 2 2
(2)因为 m ? n ? 3(1 ? cos A) ? sin A ? 2sin( A ? 所 以 .
2

?
3

)? 3 ,
大 值 时 ,



m?n





A?

?
6

…………10 分

又 a ? 1, c ? 3 ,则由余弦定理得 1 ? b ? 3 ? 2b ? 3 ? cos 解 b ? 1. 之 得

?

? b 2 ? 3 ? 3b , 6 b?2



…………14 分

17.解:(1)因为 A(2, ?2) , B(1,1) ,所以 k AB ? ?3 ,AB 的中点为 ( , ? ) , 故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 由

3 2

1 2

1 1 3 ? ( x ? ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 2 3 2
得 圆 心 坐 标 为

( ? 0.


? x ? 3y ? 3 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 , 1 )

2





…………4 分 半 径
2

r 准 方 …………7 分

满 程

足 为

r ?1
2

?(.
C

?1


?1


) ?…………6 分 5


2 2



x ? ( y ? 1) ? 5 .
(2)因为 S ?OPQ ?

1 1 2 ? PQ ? ? ,所以 PQ ? 4 . 2 5 5

①当直线 l 与 x 轴垂直时, 由坐标原点 O 到直线 l 的距离为 或x?? , 经验证, 此时 PQ ? 4 , 不适合题意;

1 1 知, 直线 l 的方程为 x ? 5 5
…………

1 5

9分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , 由坐标原点到直线 l 的距离为 d1 ? 11 分 又圆心到直线 l 的距离为 d 2 ? 即 (**) , …………13 分

|b| k ?1
2

?

1 2 2 , 得 k ? 1 ? 25b 5

(*) ,

…………

|1 ? b | k 2 ?1

,所以 PQ ? 2 5 ? d2 2 ? 2 5 ?

(1 ? b)2 ?4, k 2 ?1

(1 ? b)2 ? k 2 ? 1

3 ? k ? ? ? ? 4 由(*) , (**)解得 ? . 1 ? b? ? ? 4
综 上 所 述 , 直 线

l









3x ? 4 y ? 1 ? 0



3x ? 4 y ? 1 ? 0 .
?

…………14 分 …………4 分 …………7 分

18.解: (1)如图:过 P 作 PH 垂直 AB 于 H,因为 ? ? 30? , ? ? 120? , 所以 ?APB ? 30 ,所以 AB=PB=12, 所以 PH=AB sin 60 ? 6 3 ? 12 , 所以应向该外国船只发出警告.
?

P

(2)在 ?ABP 中,由正弦定理得:

AB PB ? , sin ?? ? ? ? ? ? sin ?

12sin ? 所以 PB ? , sin ?? ? ? ? ? ?


?
A

?
B


H

PH ? PB ? sin ?? ? ? ? ?

12sin ? sin ? 12s ? s ? ? , …………10 分 sin ?? ? ? ? ? ? s ?? ? ? ? 12sin ? sin ? ? 12 ,即 sin ? sin ? ? sin?? ? ? ? , 令 PH ? 12 ,得 sin ?? ? ? ?


s ?

?

?



以 i 12 分? …………

1 ,所以 ? 为锐角,且 sin ? ? 2 5 s ?? i 所 以 5 s ? ?? i ? , n c 14 分 …………
又因为 tan ? ?

5 2 5 , cos ? ? , 5 5 5 ? n ? 5 o s ? 3? 故 sin ? ? cos ? ? 0 ,即 2 sin( ? ? ) ? 0 ,解得 0 ? ? ? , 4 4

2

,c

5

?

o 即

5

s

所 以 当

0?? ?

3? 4

时 , 我 方 应 向 该 外 国 船 只 发 出 警

告. …………16 分 19. (A) (四星级高中学生做) 15 解:(1)因为 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列,且其前 4 项的和为 , 2 所 以

b1 (1 ? 2 ? 4 ? 8) ?

15 2







b1 ?

1 , 2


…………2 分 以

1 bn ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2 . …………4 分 2 (2)因为数列 ?an ? 是首项为 1,公差 d ? 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 ,
由 b8 ? ai ? b9 , 得 2 ? 3i ? 2 ? 2 , 解得 22 ? i ? 43 ,
6 7

…………

6分 所以满足 b8 ? ai ? b9 的所有项 ai 为 a22 , a23 , ???, a43 ,这是首项为 a22 ? 64 ,公差为 3 的 等差数列, 共 43 - 22+1=22 项 , 故 其 和 为

22 ? 21 ? 3 ? 2101 . …………9 分 2 (3)由题意,得 cn ? an ? bn ? [1 ? (n ?1)d ]? 2n?2 , 64 ? 22 ?
因为 c5 是 ?cn ? 的最大项,所以首先有 c5 ? c4 且 c5 ? c6 ,
3 2 3

即 (1 ? 4d ) ? 2 ? (1 ? 3d ) ? 2 且 (1 ? 4d ) ? 2 ? (1 ? 5d ) ? 2 ,
4



得 …………12 分

1 1 ? ?d ?? . 5 6 1 1 ? d ? ? 的条件下, c5 ? [1 ? 4d ]? 23 ? 0 , 5 6 但 n ? 7 时,cn ? [1 ? (n ?1)d ] ? 2n?2 ? 0 ,所以此时 c5 是最大的;
① 当 n ? 4 时,在 ? 14 分

…………

15 ? d ?? ? 1 ? 64 ? 2 ? 8(1 ? 4d ), ? c1 ? c5 , ? ? 7 ? ? ②当 n ? 3 时,由 ? c2 ? c5 , ,得 ? 1 ? d ? 8(1 ? 4d ), ,解得 ? d ? ? . 31 ? ?c ? c ?2(1 ? 2d ) ? 8(1 ? 4d ) 5 ? 3 3 ? ? ? ? d ? ? 14 ? 1 1 综合①②,所求的公差 d 的取值范围是 ? ? d ? ? . 5 6
16 分 (B) (三星级高中及普通高中学生做) 解: (1) (2)同(A)

…………

(3)因为 bn ? 2n?1 ? 0 ,若 d ? 0 ,则 an ? 0 ,所以 cn ? an ? bn ? 0 ,此时 Tn 无最大项, 所

d ? 0,

以 …………12 分 ………

此时 ?an ? 单调递减,欲 Tn 的最大项为 T5 ,则必有 c5 ? 0, c6 ? 0 ,即 a5 ? 0, a6 ? 0 ,

…14 分 又 an ? 1 ? (n ? 1)d , 所以 ?

?1 ? 4d ? 0, 1 1 , 解得 ? ? d ? ? . 4 5 ? 1 ? 5d ? 0

…………

16 分 20. (A) (四星级高中学生做) 解: (1)证明:设 x1 , x2 ?[0, ??) ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 1 ? 2
x ? x1

) ? (2 x2 ? 2? x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? (

1 1 ? x2 ) x1 2 2
……

? (2 x1 ? 2 x2 ) ?
……3分 因为 2 1 所
x ? x2

2 x2 ? 2 x1 (2 x1 ? 2 x2 )(2 x1 ? x2 ? 1) ? , 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2

? 0, 2x1 ? 2x2 ? 0, 2x1 ? x2 ?1 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
x f ( x ? ) x ? ?2



在 2 [0, ??)















数. …………5分 [2 , ?? ) , (2) 由 (1) 知, 当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? [ f (0), ??) , 即 f ( x) ? 7分 又因为 f (? x) ? 2? x ? 2x ? f ( x) ,所以 f ( x ) 是偶函数, 所 以 当

…………

x?R





f ( x)









[ ?? 2.

,

)

…………9分 ………

(3) 因为对任意的实数 x1 , x2 , x3 , 都有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x3 ) , 所以 [2 g ( x)]min ? [ g ( x)]max , …11分

4 x ? 2 x ? k ? 1 2 x ? 2 ? x ? 2k x ?x ? x ,令 2 ? 2 ? t , x x ?1 ?x 4 ? 2 ?1 2 ? 2 ? 2 t ? 2k 2k ? 2 ? 1? (t≥2) , 则 g ( x) ? r (t ) ? t?2 t?2 ①当 k ? 1 时,r (t ) ? 1 , 适合题意;
由于 g ( x) ? 12分

…………

2k ? 2 2k ? 2 ≤r (t ) ? 1 , ≥1 , ②当 k ? 1 时, 由 2? 得k ?1; 4 4
14 分

…………

2k ? 2 2k ? 2 ≥ ,由 2 ?1 ,得 1 ? k≤log2 6 . 4 4 综上, 实数 k 的取值范围为 (??,log 2 6] .
③当 k ? 1 时, 1 ? r (t )≤ 16 分 (B) (三星级高中及普通高中学生做) 解: (1) (2)同(A) ;

…………

(3)因为 h( x) ? (2x ? 2? x )2 ? a(2x ? 2? x ) ? 2 ,令 2 ? 2
x

?x

?t ,
…………11



h( x) ? m(t ) ? t 2 ? at ? 2, t ?[2, ??) ,


a ,所以 2 a a a2 ? ( a ) ? m( ? ) ? ? ? 2 , ①当 ? ? 2 , 即 a ? ?4 时, 2 2 4
因为函数 m(t ) 的对称轴方程为 t ? ? 13分 ②当 ? 15分 综
2

…………

a ?2, 即 a ? ?4 时, ? (a) ? m(2) ? 2a ? 2 , 2
上 所 述

………… ,

? a ?? ? 2, a ? ?4 . ? (a) ? ? 4 ? 2a ? 2, a ? ?4 ?

…………16分


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