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高考数学三轮增分练 高考大题纵横练(二)理


高考大题纵横练(二)
1.(2016·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin 2B= 3bsin

A.
(1)求 B; 1 (2)若 cos A= ,求 sin C 的值. 3 解 (1)在△ABC 中,由 = , sin A sin B 可得 asin B=bsin A. 又由 asin 2B= 3bsin A, 得 2asin Bcos B= 3bsin A= 3asin B, 所以 cos B= 3 π ,所以 B= . 2 6

a

b

1 2 2 (2)由 cos A= ,可得 sin A= ,则 3 3

? π? sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B)=sin?A+ ? 6? ?
= 3 1 2 6+1 sin A+ cos A= . 2 2 6

2.为了了解某校今年高三男生的身体状况,随机抽查了部分男生,将测得的他们的体重(单 位:千克)数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前 3 个小组的频 率之比为 1∶2∶3,其中第 2 小组的频数为 12.

(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据, 若从全市高三男生中任选 3 人, 设 X 表示 体重超过 55 千克的学生人数,求 X 的均值. 解 (1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为 n,前 3 个小组的频率分别为 P1、P2、P3,则

P2=2P1, ? ? ?P3=3P1, ? ?P1+P2+P3+



=1,
1

P1=0.125, ? ? 解得?P2=0.25, ? ?P3=0.375.
12 因为 P2=0.25= ,所以 n=48.

n

故该校随机抽查的部分男生的总人数为 48. (2)由(1)可得,一个男生体重超过 55 千克的概率为

P=P3+(0.037 5+0.012 5)×5= .
5 所以 X~B(3, ), 8
k 5 k 3 3-k 所以 P(X=k)=C3( ) ( ) ,k=0,1,2,3. 8 8

5 8

随机变量 X 的分布列为

X P

0 27 512

1 135 512

2 225 512

3 125 512

27 135 225 125 15 5 15 则 E(X)=0× +1× +2× +3× = .(或 E(X)=3× = ) 512 512 512 512 8 8 8 3.(2016·四川)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC 1 =CD= AD. 2

(1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (2)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为所求的一个点,理由如下:

1 因为 AD∥BC,BC= AD. 2 所以 BC∥AM,且 BC=AM.
2

所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CM∥AB. 又 AB? 平面 PAB,CM?平面 PAB. 所以 CM∥平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 1 因为 AD∥BC,BC= AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 2 所以 PA⊥平面 ABCD, 从而 PA⊥BD. 1 连接 BM,因为 AD∥BC,BC= AD,M 为 AD 的中点, 2

所以 BC∥MD,且 BC=MD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形, 1 所以 BM=CD= AD,所以 BD⊥AB. 2 又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD? 平面 PBD,所以平面 PAB⊥平面 PBD. 4.(2016·山东)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n +8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令 cn=
2

an+ bn+

n+1 n

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

解 (1)由题意知,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当 n=1 时,a1=S1=11,符合上式. 所以 an=6n+5. 设数列{bn}的公差为 d, 由?
?a1=b1+b2, ? ? ?a2=b2+b3, ? ?b1=4, ?d=3. ? ?11=2b1+d, ? 即? ? ?17=2b1+3d,

解得?

所以 bn=3n+1.

(2)由(1)知 cn=

n+ n+

n+1 n

=3(n+1)·2

n+1.

.

3

又 Tn=c1+c2+…+cn, 得 Tn=3×[2×2 +3×2 +…+(n+1)×2 2Tn=3×[2×2 +3×2 +…+(n+1)×2 两式作差,得 -Tn=3×[2×2 +2 +2 +…+2
2 3 4 3 4 2 3

n+1

],

n+2

],

n+1

-(n+1)×2

n+2

]

? 4 1-2 =3×?4+ 1-2 ?
所以 Tn=3n·2
n+2

n



n+1 ×2n+2? ?=-3n·2n+2.

?

.

5.(2015·陕西)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0), 1 (0,b)的直线的距离为 c. 2 (1)求椭圆 E 的离心率; 5 2 2 (2)如图,AB 是圆 M:(x+2) +(y-1) = 的一条直径,若椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭圆 E 2 的方程.

x2 y2 a b

解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0, 则原点 O 到该直线的距离 d=

bc bc = , 2 2 b +c a

1 c 3 2 2 由 d= c,得 a=2b=2 a -c ,解得离心率 = . 2 a 2 (2)方法一 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b .① 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k )x +8k(2k+1)x+ 4(2k+1) -4b =0, 8k 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-
2 2 2 2 2 2 2

k+ 2 1+4k



x1x2=

k+
1+4k

2 2

-4b

2



8k 由 x1+x2=-4,得- 从而 x1x2=8-2b .
2

k+ 2 1+4k

1 =-4,解得 k= , 2

4

于是|AB|= = 5 2

?1?2 1+? ? |x1-x2| ?2?
2

x1+x2

-4x1x2=

b2-


2

由|AB|= 10,得

b2- x2 y2

= 10,解得 b =3,

故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 方法二 由(1)知,椭圆 E 的方程为 x +4y =4b ,② 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+ 4y1=4b ,x2+4y2=4b , 两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, 所以 AB 的斜率 kAB=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y1-y2 1 = , x1-x2 2

1 因此直线 AB 的方程为 y= (x+2)+1, 2 代入②得 x +4x+8-2b =0, 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b , 于是|AB|= = 5 2
2 2 2

?1?2 1+? ? |x1-x2| ?2?
2

x1+x2

-4x1x2=

b2-

.
2

由|AB|= 10,得

b2- x2 y2

= 10,解得 b =3,

故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 1 2 6.已知函数 f(x)=aln x+ bx -(a+b)x. 2 (1)当 a=1,b=0 时,求 f(x)的最大值; (2)当 b=1 时,设 α ,β 是 f(x)的两个极值点,且 α <β ,β ∈(1,e](其中 e 为自然对数 的底数).求证:对任意的 x1,x2∈[α ,β ],|f(x1)-f(x2)|<1. (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞). 当 a=1,b=0 时,f(x)=ln x-x, 1 求导数,得 f′(x)= -1,令 f′(x)=0,解得 x=1.

x

当 0<x<1 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)上是增函数; 当 x>1 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.

5

故 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=-1. 1 2 (2)证明 当 b=1 时,f(x)=aln x+ x -(a+1)x, 2 求导数,得 f′(x)= +x-(a+1)

a x

x2- a+ = x

x+a



x- x

x-a



令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=a. ∵α ,β 是 f(x)的两个极值点,且 α <β ,β ∈(1,e], ∴α =1,β =a∈(1,e], ∴当 x∈[α ,β ]时,f′(x)≤0, ∴f(x)在[α ,β ]上单调递减, ∴f(x)max=f(1),f(x)min=f(a), ∴对任意的 x1,x2∈[α ,β ], |f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(a) 1 1 2 =[ -(a+1)]-[ a +aln a-a(a+1)] 2 2 1 2 1 = a -aln a- . 2 2 1 2 1 令 g(a)= a -aln a- ,则 g′(a)=a-1-ln a, 2 2 由(1)知 ln x-x≤-1,即 ln x≤x-1, ∴g′(a)≥0,∴g(a)在(1,e]上单调递增, 1 2 1 1 1 3 1 ∴g(a)≤g(e)= e -e- =e( e-1)- <3( -1)- =1. 2 2 2 2 2 2 故对任意的 x1,x2∈[α ,β ],|f(x1)-f(x2)|<1.

6


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