当前位置:首页 >> 数学 >>

均值不等式高三复习课

均值不等式 考点梳理:
1.均值不等式: ab≤

a+b

2 (1)均值不等式成立的条件:_______________. (2)等号成立的条件:当且仅当____________时取等号. 2.几个重要的不等式 2 2 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R). (2) + ≥2(a,b 同号).

b a a b

?a+b?2(a,b∈R). ? ? 2 ? 2 2 a +b ?a+b?2 (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ?
(3)ab≤? 注意:使用均值不等式求最值,前提是“一正、二定、三相等” 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,均值不等式可叙述 2 为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用均值不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当________时, __________有最_____值是_____(简 记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 s, 那么当且仅当_____时, ____有最______值是_______.(简记: 和定积最大)

双基自测
1 1.函数 y=x+ (x>0)的值域为(

x

).

A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞)

B.(0,+∞) D.(2,+∞) a+b 1 2 2 2.下列不等式:①a +1>2a;② ≤2;③x + 2 ≥1.其中正确的个数是( x +1 ab A.0 B.1 C.2 D.3

).

1 a 3. “ a ? ”是“对任意的正数 x , 2 x ? ≥ 1 ”的( ) 8 x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( 1 1 A. + 有最大值 4 ).

a b

1 B.ab 有最小值 4 D.a +b 有最小值
1
2 2

C. a+ b有最大值 2

2 2

典型例题 类型一 利用均值不等式求最值
1.若函数 f(x)=x+ 1

x-2

(x>2)的最小值为____________.

t2-4t+1 的最小值为________. t 2x 3. 当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大值为________. x +1
2.已知 t>0,则函数 y= 1 1 4. 已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值为________;

x y

5. 若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. 2 2 6. 已知 0<x< ,则 y=2x-5x 的最大值为________. 5 7. 已知

5 3 ? ? 2, ( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是_____________ x y


8.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 9.设 a>b>0 ,则 a ?
2

x y

1 1 的最小值是 ? ab a ? a ? b ?

类型二. 证明题
a b c 2. 正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
1. 1 1 1 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 求证: + + ≥9.

类型三. 恒成立问题
1. (2010·山东)若对任意 x>0,

x ≤ a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x2+3x+1

1 a 2.已知不等式 ( x ? y )( ? ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y
巩固练习 1.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 的最小值是 A.0 B.1 C.2 D.4 ).
( a ? b) 2 cd

2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( A. 1 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3

3.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的 最小值为( ).
2

A.4

B.8

C.16

D.32
x y
) .

1 4 4. 设 x、y 为正数,则有(x+y)( + )的最小值为( A.15 B.12
?

C.9

D.6

5. 已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为

5 1 ,则函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值为 4 4x ? 5 1 2 7. 已知 x、y 为正实数,且 + = 1 ,求 x+y 的最小值。 x y 8. 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? 2 y ? xy ? 30 ,求 xy 的最大值. 5 2 9. 已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 ? 的最小值是 . x y 1 2 1 10.若 x,y 是正数,则 ( x ? ) ? ( y ? ) 2 的最小值是 2y 2x
6. 已知 x ? 11. 函 数 y?a
1? x

( a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
1 1 ? 的最小值为 m n
a b
. .

mx ? ny ? 1 ? 0( mn ? 0) 上,则

1 2 12. 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 + 的最小值

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 13.(1)求 y ? x ?1

(2)求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

14.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.

x 2 ? 3x ? 1 (1) y ? , ( x ? 0) x

(2) y ? 2 x ?

1 , ( x ? 3) x?3

(3) y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x
1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

15. 已知 x ? 0, y ? 0 且

16.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,

求:(1)xy 的最小值;

(2)x+y 的最小值.
3


相关文章:
均值不等式高三复习课.doc
均值不等式高三复习课 - 均值不等式 考点梳理: 1.均值不等式: ab≤ a+
均值不等式复习课教案.doc
均值不等式复习课教案_数学_高中教育_教育专区。高三数学教案课题:均值不等式的应用(1 课时) 授课时间:2005 年 11 月 17 号 授课班级:北京市陈经纶中学高三(5)...
均值不等式复习课.ppt
均值不等式复习课 - 均值不等式复习课 主讲:王毅 1.基础练习题: (1)若正
均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题).doc
均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题) - 均值不等式高考一轮复习
高三复习:均值不等式的应用(第一课时).doc
高三复习:均值不等式的应用(第一课时) - 校际交流公开课 省姜堰中学、泰州市二中、民兴实验中学校际交流活动 开课人:申天渠 课题:均值不等式的应用(1 课时) ...
案例均值不等式复习课设计.doc
案例: “均值不等式复习课的设计 教学要求:系统复习均值不等式及其等价式、...1、有利于激活学生学习的内驱力 教学设计注重了克服高三学生普遍存在的零星记忆...
均值不等式复习课件_图文.ppt
均值不等式复习课件 - 均值不等式复习课件,高中数学均值不等式,高中四个均值不等式,高中均值不等式,三元均值不等式公式,均值不等式6个基本题型,对数均值不等式的...
《均值不等式复习课》新1_图文.ppt
均值不等式复习课》新1 - 第七章 不等式 考纲要求 1.了解基本不等式 的证
高三数学总复习课件第7篇第2节均值不等式及其应用_图文.ppt
高三数学总复习课件第7篇第2节均值不等式及其应用 - 第2节 均值不等式及其应用
高三数学一论复习基本不等式公开课.doc
高三数学一论复习基本不等式公开课 - 授课内容:基本不等式 授课教师: 教学三维目标: 1.知识与能力目标: 授课班级:高三七班 授课时间:第 17 周(周三上午第 1 ...
均值不等式复习课件.ppt
均值不等式复习课件 - 必考部分 第六章 不等式、推理与证明 第二节 均值不等式 考纲 1.了解均值不等式的证明过程. 点 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)...
高三数学一轮复习课件基本不等式_图文.ppt
高三数学一轮复习课件基本不等式 - 屈屈一中 周应军 基本不等式 复习 基本不等式和均值不等式 1、基本不等式: a 2 ? b2 ? 2ab (a, b ? R) a...
高三基本不等式复习教案.doc
高三基本不等式复习教案 - 教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 姓名 学科 课题名称 李鸿铭 数学 学生姓名 年级 吴美芳 高三 课时计划 填写时间 教...
高三理科数学一轮复习基本不等式复习课件_图文.ppt
高三理科数学一轮复习基本不等式复习课件 - 习题课 不等式定理及其重要变形: (定理)重要不等式 a2 ? b2 ? 2ab(a,b ? R) (推论)基本不等式(又叫均值不...
高三数学一轮复习 专题均值不等式课件 新人教版_图文.ppt
高三数学一轮复习 专题均值不等式课件 新人教版 - 课前小测: ? 2x ?1
2016届高三数学理科一轮复习学案第6篇均值不等式.doc
2016届高三数学理科一轮复习学案第6篇均值不等式 - 第八课时 均值不等式 课前预习案 考纲要求 1.利用均值不等式证明其他不等式 2.利用均值不等式求最值 基础...
新编(新课标)高三数学一轮复习 第6篇 均值不等式学案 理.doc
新编(新课标)高三数学一轮复习 第6篇 均值不等式学案 理_数学_高中教育_教育...第八课时 均值不等式 课前预习案 基础知识梳理 1.几个重要不等式:① a 2 ...
2012届高考一轮复习理科课件(均值不等式及其应用).ppt_....ppt
2012届高考一轮复习理科课件(均值不等式及其应用).ppt - 考点串串讲 1
高中数学一轮复习课件均值不等式的应用_图文.ppt
高中数学一轮复习课件均值不等式的应用 - 考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大( 小)值问题. 1.基本不等式是高考热点之一,...
高中数学一轮复习课件均值不等式的应用_图文.ppt
高中数学一轮复习课件均值不等式的应用 - 考 1.了解基本不等式的证明过程. 纲 2.会用基本不等式解决简单的最大( 要小 ) 值问题. 求 1.基本不等式是高考...