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vns4446com:2019年高一数学242《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件新人教A版必修4.ppt_图文

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2.4.2《平面向量数量积
的坐标表示、模、夹角》

教学目标
? ? ? ? ? ? ? ? 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.向量的模的坐标公式和两点间的距离公式 3.掌握两个向量夹角的坐标公式 4.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明 两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 教学重点: 平面向量数量积的坐标表示及有关性质. 教学难点: 平面向量数量积的坐标表达式的推导

一、复习引入
向量的坐标表示: a ? ( x1 , y1 )b ? ( x2 , y 2 )
a+b=(x1+x2,y1+y2); a-b=(x1-x2,y1-y2); λa=(λx1,λy1).

(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a ?b .

a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

二、新课学习 1、平面向量数量积的坐标表示

如图,i是x轴上的单位向量, j 是y轴 上的单位向量,
因为 a ? b ? a ? b cos?
i ? i ?1 . j ? j ? 1 .
i ? j ? j ?i ? 0 .
b

y A(x ,y ) 1 1
B(x2,y2)
j

a

o i

x

下面研究怎样用 a和b 的坐标表示a ? b.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则

a ? x1 i ? y1 j
2

b ? x2 i ? y2 j ,
2

a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

例 1:已知 a=(1,√3 ), b =(– 2,2√3 ),

b 求a·

b =1×(–2)+√3×2√3=4; 解:a ·

? ? ? 练习:a ? (1,2),b ? (3,?1), c ? (?3,4),


? ? ? ?13, ?26) a(b ? c ) ? (____

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

2

a ? a;

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

例 1:已知 a=(1,√3 ), b =(– 2,2√3 ),

求| a |,| b |
| a ?b |

a=

√1 +(√3 ) =2, b =√(– 2) +(2√3 ) =4,
2 2

2

2

a ? b ? (3, ? 3)
?| a ? b |? 32 ? (? 3) 2 ? 12 ? 2 3

4、两向量夹角公式的坐标运算
则 cos ? ? a ?b a b

设非零a与b 的夹角为( ? 0 ? ? ? 180 ),

设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ? 2 1 2 1 2 2

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.

例 2:已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ),

求a与b的夹角θ. cos θ =
a· b a b 1 4 = = , 2 2×4

∴ θ =60?

3、两向量垂直和平行的坐标表示 ( 1) a ? b ? a ? b ? 0(a, b ? 0)

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), (a, b ? 0)则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

例1:已知 a ? ?1,2?, b ? ?? 3,2? ,当k取何值时, 1). k a ? b 与 a ? 3b 垂直? 2). k a ? b 与 a ? 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向?

解:1) k a ? b ? k ?1,2? ? ?? 3,2? ? ?k ? 3,2k ? 2?

a ? 3b ? ?1,2? ? 3?? 3,2? ? ?10,?4?

当 k a ? b ? a ? 3b ? 0时 这两个向量垂直
由?k ? 3??10 ? ?2k ? 2?? ?? 4? ? 0
解得k=19

?

??

?

?, 使k a ? b ? ? a ? 3b 2) 当k a ? b与a ? 3b平行时, 存在唯一实数
k ?? 得 ? ? ?1 ? ?3?

?

?

?

k ?? ??

1 3

1 因此 k ? ? 时, k a ? b与a ? 3b平行 , 3

此时它们方向相反。

巩固练习: 已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b) ( ? a ? b) ? .
法一: a ? b ? (0,7), a ? b ? (4,?1) ? (a ? b) ( ? a ? b) ? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7. 法二:(a ? b) ( ? a ? b) ? a ?b
2 2 2 2

? a ? b ? 13 ? 20 ? ?7

例3 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.
证明 :?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)
AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)
?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

C(-2,5)

y

B(2,3) A(1,2) 0

? AB ? AC

?三角形 ABC是直角三角形 .

x

练习:以原点和A(5,2)为两个顶点 作等腰直角三角形OAB,?B=90?,求 点B的坐标.
y 3 7 B 答案:B的坐标为( , ) 2 2 7 3 或( , ? ) 2 2 O

A x

四、逆向及综合运用
例4 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是 垂直于 a 的单位向量,求 b .
(2)已知a ? 10, b ? (1,2),且a // b,求a的坐标.

3? (3)已知a ? (3,0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值.
3 4 3 4 答案:( 1 ) b ? ( ,? )或b ? (? , ). 5 5 5 5 (2)( 2, 2 2)或( ? 2, ? 2 2);(3)k ? ?5.

提高练习
1、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB, BC ? AB ,则点C的坐标为
29 C (?3, ) 3

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩形 .

b = (-3,2), a = (1,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k = - 1 .
3、已知

小结

1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐 标运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式,形成转化技能。

作业课本P108A组10,11


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