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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末综合检测(人教A版必修1)


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 章末综合检测
(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1 1.[(- 2)2]2等于( A.- 2 2 C.- 2 ) B. 2 2 D. 2

1 1 【解析】 [(- 2)2]2=[( 2)2]2= 2. 【答案】 B 1 2. (2014· 济宁高一检测)已知 f(x)=x2, 若 0<a<b<1, 则下列各式中正确的是(
?1? ?1? A.f(a)<f(b)<f?a?<f?b? ? ? ? ? ?1? ?1? C.f(a)<f(b)<f?b?<f?a? ? ? ? ? ?1? ?1? B.f?a?<f?b?<f(b)<f(a) ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? D.f?a?<f(a)<f?b?<f(b) ? ?

)

1 1 1 1 【解析】 ∵0<a<b<1∴1<b<a,∴0<a<b<b<a
?1? ?1? 1 又∵f(x)=x2在(0,+∞)单调递增,∴f(a)<f(b)<f?b?<f?a? ? ? ? ?

【答案】 C 3.(2014· 昆明高一检测)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( A.loga5.1<loga5.9 C.1.70.3>0.93.1 B.a0.8<a0.9 D.log32.9<log0.52.2 )

【解析】 选项 A、B 均与 0<a<1 还是 a>1 有关,排除;选项 C 既不同底数又不 同指数, 故取“1”比较, 1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1, 所以 1.70.3>0.93.1 正确. 选项 D 中, log32.9>0,log0.52.2<0.D 不正确. 【答案】 C

4.函数 f(x)=loga(4x-3)过定点( A.(1,0) C.(1,1)
?

)
?

?3 ? B.?4,0? ?3 ? D.?4,1? ? ?

【解析】 令 4x-3=1 可得 x=1,故函数 f(x)=loga?4x-3)过定点(1,0). 【答案】 A 5.函数 f(x)=|log2x|的图象是( )

【解析】 结合 y=log2x 可知,f(x)=|log2x|的图象可由函数 y=log2x 的图象上不 动下翻得到,故 A 正确. 【答案】 A 6.已知 f(x6)=log2x,那么 f(8)等于( 4 A.3 C.18 ) B.8 1 D.2

【解析】 令 x6=8 可知 x=± 2.又∵x>0,∴x= 2, 1 1 ∴f(8)=log2 2=log222=2. 【答案】 D x 7.函数 y= 的定义域是( lg?2-x? A.[0,2) C.(1,2) 【解析】 由题意可知,要使函数有意义,只需
? ?x≥0 ? 解得 0≤x<2 且 x≠1. ?2-x>0且2-x≠1, ?

) B.[0,1)∪(1,2) D.[0,1)

∴函数 y=

x 的定义域为[0,1)∪(1,2). lg?2-x?

【答案】 B 8.(2013· 湖南高考)函数 f(x)=lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个 数为( A.0 ) B.1 C.2 D.3

【解析】 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2, 在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)=lnx 与 g(x)=(x-2)2 的图象(如图).由图可得两个函数的图象有 2 个交点. 【答案】 C
? 5 ? 9.函数 y=ax-2(a>0 且 a≠1,-1≤x≤1)的值域是?-3,1?,则实数 a=( ? ?

)

1 A.3 B.3 1 C.3 或3 2 3 D.3或2

【解析】 当 a>1 时,y=ax-2 在[-1,1]上为增函数,

?a-2=1 ∴?1 5 - 2 =- ?a 3,

解得 a=3.

当 0<a<1 时,y=ax-2 在[-1,1]上为减函数, 5 ? a - 2 =- ? 3 ∴? 1 ? ?a-2=1, 1 解得 a=3.

1 综上可知 a=3 或3. 【答案】 C 10. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(- 1)=( ) B.-1 D.3

A.-3 C.1

【解析】 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1. ∴当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3. ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3. 【答案】 A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分,将答案填在题中的横线上) 11.若 xlog23=1,则 3x=________. 【解析】 ∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2. 【答案】 2 12.若点(2, 2)在幂函数 y=f(x)的图象上,则 f(x)=________. 【解析】 设 f(x)=xα(α 为常数),由题意可知 f(2)=2α= 2, 1 1 ∴α=2,∴f(x)=x2. 1 【答案】 x2 1 1 13.若 2a=5b=10,则a+b的值为________. 【解析】 ∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510, 1 1 1 1 ∴a+b=log 10+log 10=lg2+lg5=lg10=1.
2 5

【答案】 1 14.下列说法中,正确的是________.(填序号) ①任取 x>0,均有 3x>2x; ②当 a>0,且 a≠1 时,有 a3>a2; ③y=( 3)-x 是增函数; ④y=2|x|的最小值为 1; ⑤在同一坐标系中,y=2x 与 y=2-x 的图象关于 y 轴对称. 【解析】 对于①,可知任取 x>0,3x>2x 一定成立. 对于②,当 0<a<1 时,a3<a2,故②不一定正确. 对于③,y=( 3)-x=?
? 3?x 3 ? ,因为 0< <1,故 y=( 3)-x 是减函数,故③不正确. 3 ?3 ?

对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为 1,正确. 对于⑤,y=2x 与 y=2-x 的图象关于 y 轴对称是正确的. 【答案】 ①④⑤ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 15.(2014· 苏州高一检测)(本小题满分 12 分)已知 a>0,且 a≠1,若函数 f(x)=2ax -5 在区间[-1,2]的最大值为 10,求 a 的值. 【解】 当 0<a<1 时,f(x)在[-1,2]上是减函数, 2 当 x=-1 时,函数 f(x)取得最大值,则由 2a-1-5=10,得 a=15, 当 a>1 时,f(x)在[-1,2]上是增函数, 30 30 当 x=2 时,函数取得最大值,则由 2a2-5=10,得 a= 2 或 a=- 2 (舍), 2 30 综上所述,a=15或 2 3 16.(本小题满分 12 分)(1)计算: xy2 xy-1· xy· (xy)-1. (2)已知 14a=7,14b=5,用 a,b 表示 log3528. 1 2 1 1 1 1 -1 -1 【解】 (1)原式=x3· y3· x6· y-6· x2· y2· x · y 1 1 1 2 1 1 =x3+6+2-1· y3-6+2-1=x0y0=1. (2)∵14a=7,14b=5,∴log147=a,log145=b. log1428 log147+log144 故 log3528=log 35= log147+log145 14 14 a+2log14 7 a+2log142 a+2?1-a? 2-a = = = = . a+b a+b a+b a+b 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=m- (1)求 m 的值; (2)先判断 f(x)的单调性,再证明之. 2 是 R 上的奇函数, 2 +1
x

【解】 (1)据题意有 f(0)=0,则 m=1. (2)f(x)在 R 上单调递增,以下证明之: 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 2?2x2-2x1? 2 2 f(x2)-f(x1)=- + = . 2x2+1 2x1+1 ?2x2+1??2x1+1? ∵x2>x1,∴2x2>2x1,∴f(x2)-f(x1)>0?f(x2)>f(x1), 故 f(x)在 R 上单调递增. 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=loga(x-1), g(x)=loga(3-x)(a>0 且 a≠1). (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的定义域; (2)利用对数函数的单调性,讨论不等式 f(x)≥g(x)中 x 的取值范围. 【解】
? ?x-1>0 (1)由? 得 1<x<3.∴函数 h(x)的定义域为(1,3). ? ?3-x>0,

(2)不等式 f(x)≥g(x),即为 loga(x-1)≥loga(3-x).(*)
?1<x<3 ? ①当 0<a<1 时,不等式(*)等价于? 解得 1<x≤2. ?x-1≤3-x, ? ? ?1<x<3 ②当 a>1 时,不等式(*)等价于? 解得 2≤x<3. ?x-1≥3-x, ?

综上,当 0<a<1 时,原不等式解集为(1,2]; 当 a>1 时,原不等式解集为[2,3).


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