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四川省古蔺县中学高中数学 1.1.2 集合间的基本关系课件 新人教A版必修1_图文

1.1.2

集合间的基本关系

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的 子集; 2.理解子集、真子集的概念; 3.能利用韦恩图表达集合间的关系,体会直观图示对理 解抽象概念的作用; 4.了解空集的含义.

实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3等, 类比实数之间的关系,你会想到集合之间的什么关系?

探究点1 子集
观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗?

①A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
②A={x|x是三条边相等的三角形}, B={x|x是三个内角相等的三角形}; ③ A ? x x 2 ? 1 ? 0 , B ? ? x x ? 2? . ①、②中集合A中的每一个元素都是集合B的元素; ③中A为空集.

?

?

一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个 元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关 系,称集合A为集合B的子集.

记作: A ? B (或B ? A )
读作:“A含于B” (或“B包含A”)

,有x ? B, 则 A ? B. 符号语言: 任意x ? A

图示法(Venn图)
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种 图称为Venn图. 如集合{1,2,3,4,5} 可用图表示: 集合A与集合B的 包含关系如图表示 1,2,3,4, 5

B

A

探究点2 集合相等
比较(1)(2)两个集合有何不同?

(1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
(2)A={x|x是三条边相等的三角形},

B={x|x是三个内角相等的三角形}.
(1)中集合A中的元素是集合B中元素的一部分.

(2)中集合A中的元素和集合B中的元素相同.

如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A 的子集(?),此时,集合A与集合B中的元素是一样的, 因此,集合A与集合B相等,记作 A=B.

符号语言:若A ? B, B ? A,则A ? B.

探究点3

真子集
A并且A≠B, ?

如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x 称集合A是集合B的真子集.

读作:“A真含于B(或“B真包含A”).

B A

空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? 规定: 空集是任何集合的子集.即对任何集合A,都有

? ? A, ? ? ?.
1.任何集合都是它本身的子集, 注意:

? ? A( A ? ?)

即 A ? A 恒成立. 2.若 A ? B, B ? C ,那么 A ? C . 思考: A ? x x 2 ? 1 ? 0 , B ? ? x x ? 2?
集合A是集合B的子集吗?

?

?

A? B

练习:
判断集合A是否为集合B的子集,若是则在(
若不是则在( )打×:

)打√,

① A ? ?1,3,5? , B ? ?1, 2,3, 4,5,? (√ ) ② A ? ?1,3,5?, B ? ?1,3,6,9? ③A={0}, B ? x x 2 ? 2 ? 0 ④A={a,b,c,d}, (×) (×) (√)

?

?

B={d,b,c,a}

例1

写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的

真子集. 解:集合{a,b}的所有子集为: ? ,{a},{b},{a,b}. 真子集为:? ,{a},{b}.

写集合子集的一般方法:先写空集,然后按照集合元素
从少到多的顺序写出来,一直到集合本身. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子

集.

写出集合 ?a, b, c? 的所有子集,并指出它的真子集. 解:集合的所有子集为

?a, c?,?b, c?,?a, b, c? . 所有真子集为 ?, ?a? , ?b? , ?c? , ?a, b? , ?a, c? ,?b, c?.
真子集共有2n-1个.

?,?a? ,?b? ,?c? , ?a, b? ,

一般地,集合A含有n个元素,则A的子集共有2n个,A的

例2

已知 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? , 0

B ? ? x ax ? 1 ? 0? ,若B ? A, 求实数a的值.
解:A ? ??1,3? (1)当 a (2)当 a

?

?

? 0 时, B ? ? 满足 B ? A .

?1 ? . 时, B?? ? ?0 ?a ? 若 B ? A ,则 1 ? ?1 或 1 ? 3 .

1 即 a ? ?1 或 a ? . 3

a

a

1 综上 a ? 0 或 ?1 或 . 3

设集合 A ? ?1, a, b? , B ? a, a 2 , ab ,
若 A ? B ,求实数 a , b 的值.

?

?

? a 2 ? 1, 解:由 ? 或 ? ab ? b.
得? ?
a ? ?1, ?b ? 0. ?b ? 1.

? a 2 ? b, ? ? ab ? 1.

a ? 1, 或 ? (舍去). ?

所以

a ? ?1, b ? 0.

1.教材P7第2,3题 2.在以下六个写法中 ①{0}∈{0,1} ④ {1,2} ? ?{1}, {2}{1,2} , ? ⑤? ?{?} ⑥{(0,0)}={0}. 错误个数为( A ) (A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个 ②? ?{0} ③{0,-1,1}?{-1,0,1}

深化概念
1.包含关系 ?a? ? A与属于关系

a ? A 有什么区别?

前者为集合之间关系,后者为元素与集合之间的关系. 2.集合 A

B与集合 A ? B有什么区别 ?

?

??

回顾本节课你有什么收获? 1.子集:A ? B ? 任意x∈A ? x∈B. 2.真子集: A ? B ? A ? B, 但存在 x0 ∈B且 x0 ?A. 3.集合相等:A=B? A?B且B?A. 4.性质: ①??A,若A非空, 则? ? A. ②A?A. ③A?B,B?C?A?C.


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