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几何概率


复习提问:
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2、计算古典概型的公式:
公 式 : P ( A) ? A包 含 基 本 事 件 的 个 数 基本事件的总数

那么对于有无限多个试验结果的情况相应 的概率应如果求呢?

创设情境: 例如一个人到单位的时间可能是 8:00至9:00之间的任何一个时刻; 往一个方格中投一个石子,石子可能 落在方格中的任何一点……这些试验 可能出现的结果都是无限多个。

问题1:下图是卧室和书房地板的示意图, 图中每一块方砖除颜色外完全相同,甲壳 虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞 去,并随意停留在某块方砖上,问 在哪个房间里,甲壳虫停留在黑砖上的概率大?

卧室 卧室

书房

问题:图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规 定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

(1)

(2)

问题: 甲获胜的概率与区域的位置有关吗?与图形的大 小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的?

(3) (1) (2)

⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关, 而与区域的位置无关。在转转盘时,指针指向圆 弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是相邻, 还是不相邻,甲获胜的概率是不变的。 ⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关, 与图形的大小无关。

几何概型:
? 定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型。
几何概型的公式:
P ( A) ? 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 )

几何概型的特点
a) 试验中所有可能出现 的基本事件有无限个 b) 每个基本事件出现的 可能性相等

古典概型的特点: a)试验中所有可能 出现的基本事件只 有有限个. b)每个基本事件出 现的可能性相等.

古典概型与几何概型的区别
相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型 要求基本事件有无限多个。

一、长度型 例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率。
分析:假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开 收音机是等可能的,但0~60之间有无穷个时刻, 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。 因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之间任 何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时 间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而 与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件。

一、长度型
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率。
解:设A={等待的时间不多于10分钟},事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内,因此由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6

练习1.取一根长为3米的绳子,拉直后在 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A,把绳子三等分,于 是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一,所以事件A发生的概率 P(A)=1/3。

2.公车5分钟一趟,求等待时间不超过3 3 分钟的概率
5

3.设有一个均匀的陀螺,在其圆周的一半 上均匀的刻上区间[0,1]上的诸数字,另 一半上均匀的刻上区间[1,3]的诸数字 (所有的数字均按大小排列,且0与3重 合)。旋转陀螺,求它停下时,其圆周上 触及桌面的刻度为于[0.5,1.5]上的概率

二、面积型:例2.假设你家订了一份报纸,送报人
可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在 离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
y ? x
8

父 亲 离 开 家 的 时 间)

7

0

6 .5

7 .5

x (送 报 人 到 达 的 时 间 )

y (父 亲 离 开 家 的 时 间 )

解:以横坐标x表示报纸送到 时间,以纵坐标y表示父亲离 家时间建立平面直角坐标系。

y ? x
8

7

(x,y)可以看成平面上的点, 试验的全部结果所构成区域 ? ? ?( x , y ) | 6 . 5 ? x ? 7 . 5 , 7

? y ? 8?

面积为 S ? ? 1 ? 1 ? 1 事件A:父亲在离开家前能拿 到报纸 0 所构成的区域 A ? ?( x , y ) | y ? x , 6 . 5 ? x ? 即图中的阴影部分,面积为: S A 这是个几何概型,所以
P ( A) ? S

6 .5

7 .5

x (送 报 人 到

7 . 5 , 7 ? y ? 8?
? 1? 1 2
A

?

1 2

?

1 2

?

7 8

?

7 8

S?

二、面积型 练习: 在区间[-2,2]上任意取两数a,b,求二次 方程 x 2 ? ax ? b 2 ? 0

有实数根的概率

试验的全部结果所构成的区域为
? ?? 2 ? a ? 2? ? ? ?(a, b) | ? ? ?? 2 ? b ? 2 ? ?

事件A表示二次方程x2-ax+b2=0有实数根 所构成的区域为
? ?? 2 ? a ? 2 ? ? ? ?? 2 ? a ? 2 ? ? ? ? ? ? A ? ?(a , b ) | ?? 2 ? b ? 2 ? ? ?(a, b) | ?? 2 ? b ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ( a ? 2 b )( a ? 2 b ) ? 0 ? 2 ? ? ?a ? 4b ? 0 ? ? ?

即图中阴影部分 所以P(A)=
a

SA S?

2? ?

1

?2?2 ?

2 4?4

1 4

0

b

三、体积型
例3 有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一 个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有 这个细菌的概率. 分析:细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的,取得0.1 升水可作为事件的区域。

解:取出0.1升中“含有这个细菌”这一事 件记为A,则
P?A? ? 取出水的体积 杯中所有水的体积 ? 0 .1 1 ? 0 .1

三、体积型

练习:1.在棱长为3的正方体体内任 意取一个点,求这个点到各面的 1 距离大于 棱长的概率
3

四、角度型: 例4、在直角坐标系内,射线OT 落在60°的终边上,任作一条 射线OA,则射线落在∠xOT内 1 的概率是____
y T 60 ° 0 x

6
A

练习: 1、在等腰直角△ABC中,在斜 边AB上任取一点M, 2 求AM的长小于AC的长的概率。 2 2、在等腰直角△ABC中, 过直角顶点C在∠ACB内部任作一 条射线CM,与线段AB交于点M, 求AM<AC的概率。

探究规律:
公式(1):
P?A? ? 构成事件 A 的区域面积 面积 全部结果所构成的区域

公式(2):

P?A? ?

构成事件

A 的区域长度 长度

全部结果所构成的区域

公式(3): P ? A ? ?
P ( A) ?

构成事件

A 的区域体积 体积

全部结果所构成的区域

构 成 事 件 A的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 )

练习1(口答)
一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒, 黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒。当 你到达路口时,看见下列三种情况的 概率 各是多少? (1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯。

练习2
1.在500ml的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察,则发现草履虫的概率是 ( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定

解题方法小结:
?

对于复杂的实际问题,解题的 关键是要建立概率模型,找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为 几何概型的问题,利用几何概 型公式求解。

课堂小结
? 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能 发生的概率类型。 ? 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题 目。
P ( A) ? 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

? 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 ? 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用 几何概型公式求解。 ? 作业:137页 A组1、2题


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