人教新课标A版高二数学《选修1-2》2.2.1综合法和分析法(二)---分析法_图文

2.2.1 综合法和分析法 引入 我们知道事物分成正面和方面.证明题目的方法很多，不管有多少，从正 面看从大宏观与大高度看只分成两类. 2.2.1综合法和分析法（二） ——分析法 一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法) 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出 所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是:“由因导果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: P ? Q1 Q1 ? Q 2 Q2 ? Q3 … Qn ? Q 综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难.会需要高超的技巧，深 刻的解题指导思想. 但开头难怎办？如何找到开头？ 综合法 分析法 思考：上述两种证法有什么异同？ 相同 不同 都是直接证明 证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推，直到 推出要证明的结论为止 综合法 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结 论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法 综合法和分析法的推证过程如下： 综合法 分析法 已知条件 结论 ????? 结论 ????? 已知条件 二、讲授新课——分析法（逆推证法或执果索因法） 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、 公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.其特点是：执果索因，即要证结果Q，只需 证条件P. Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3 … 得到一个明显成立的 结论 注意：证明最后面的明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等 例1. 证明：因为 3 ? 7和 2 5都是正数，所以要证 3? 只需证， （ 3? 7 ?2 5 2 2 7） ? （2 5） 只需证： 10 ? 2 21 ? 20 只需证：21 ? 5 3? 只需证： 21 ? 25 因为21 ? 25显然成立，所以 7 ? 2 5成立 反思 在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去， 就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25” 入手，所以用综合法比较困难. 练习 证法一：为了证明 因为 所以只需证明 展开得 即 2? 2? ( 2? 7 ? 3? 6 成立 7和 3 ? 6都是正数, 7 ) 2 ? ( 3 ? 6 ) 2 成立 9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 2 14 ? 2 18 14 ? 因为 2? 18 14 ? 18 14 ? 18 成立，所以 7 ? 3? 6 成立 证法二： ?14 ? 18 ? 14 ? 18 2 14 ? 2 18 9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 ( 2? ? 2? 7 )2 ? ( 3 ? 7 ? 3? 6 6 )2 例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E 作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC 证法一:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以 AF⊥SC成立 A S E F C B 【解析】本题条件较多，而 且垂直关系较多，我们不容 易发现如何使用这些垂直条 件，因此利用综合法比较困 难，我们采用分析法. 证法二:∵ SA⊥平面ABC ∴BC⊥SA 又∵AB⊥BC,且AB∩SA=A ∴ BC⊥平面SAB ∴ AE⊥BC 又∵AE⊥SB,且BC∩SB=B ∴ SC⊥平面AEF ∴ AF⊥SC ∴ AE⊥平面SBC ∴ AE⊥SC 又∵EF⊥SC,且AE∩EF=E 这是道经典题，年年有， 高考只会换个角度考. 同学们你会遇到云里雾 里剪不断理还乱的解题 现象.这里线面垂直转 化为线线垂直，线线垂 直转化为线面垂直，把 你头脑转晕掉. π 例 3 已知? , ? ? kπ ? ? k ? Z ? , 且 2 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? , ① sin ? ? cos ? ? sin 2 ? , ② 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 求证 : ? . 2 2 1 ? tan ? 2 ?1 ? tan ? ? 【解析】证明式中没有?,因此我们要将?消掉,如何消掉?？ 而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切, 因此我们要弦化切. 证明：方法一 即证 即证 即证 即证 由于上式与③相同，于是问题得证. ③ 方法二：综合法 ∵(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ＝1 ∴(2sin α)2-2sin2β＝1 ∴4sin2α-2sin2β＝1 （二倍角公式） 即： ∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β ∴ 1 ? tan 2? 1 ? tan 2 ? ? ＝ 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? ) 解题就是思维的发生发展且为 什么这样发生发展.世界上没有 无缘无故的恨也没有无缘无故 的爱，思维的发生几乎没有莫 名其妙.已知条件三个角，要证 结论两个角，所以消失一个， 消失后发现得到的是正弦式子， 但要证的结论正切，所以又要 化正切为正弦. 综合法和分析法的各自优劣 综合法是万事开头难，我们很难找到那个证明的起点即开头.我们一般用分析法 找到证明的起点即开头然后用综合法书写. 分析法像警察破案，一步步推理，最终找到犯罪的证据.整个案件清晰明朗. 综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的，就像一只狡猾的狐狸，一边前 进，一边抹去自己前进的足迹.这就是历史上后