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人教新课标A版高二数学《选修1-2》2.2.1综合法和分析法(二)---分析法_图文

2.2.1 综合法和分析法 引入 我们知道事物分成正面和方面.证明题目的方法很多,不管有多少,从正 面看从大宏观与大高度看只分成两类. 2.2.1综合法和分析法(二) ——分析法 一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法) 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出 所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是:“由因导果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: P ? Q1 Q1 ? Q 2 Q2 ? Q3 … Qn ? Q 综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难,虽然万事开头难,但有时候进展更难.会需要高超的技巧,深 刻的解题指导思想. 但开头难怎办?如何找到开头? 综合法 分析法 思考:上述两种证法有什么异同? 相同 不同 都是直接证明 证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到 推出要证明的结论为止 综合法 证法2 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结 论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法 综合法和分析法的推证过程如下: 综合法 分析法 已知条件 结论 ????? 结论 ????? 已知条件 二、讲授新课——分析法(逆推证法或执果索因法) 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件, 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.其特点是:执果索因,即要证结果Q,只需 证条件P. Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3 … 得到一个明显成立的 结论 注意:证明最后面的明显成立的条件可以是: 已知条件、定理、定义、公理等 例1. 证明:因为 3 ? 7和 2 5都是正数,所以要证 3? 只需证, ( 3? 7 ?2 5 2 2 7) ? (2 5) 只需证: 10 ? 2 21 ? 20 只需证:21 ? 5 3? 只需证: 21 ? 25 因为21 ? 25显然成立,所以 7 ? 2 5成立 反思 在本例中,如果我们从“21<25”出发,逐步倒推回去, 就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25” 入手,所以用综合法比较困难. 练习 证法一:为了证明 因为 所以只需证明 展开得 即 2? 2? ( 2? 7 ? 3? 6 成立 7和 3 ? 6都是正数, 7 ) 2 ? ( 3 ? 6 ) 2 成立 9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 2 14 ? 2 18 14 ? 因为 2? 18 14 ? 18 14 ? 18 成立,所以 7 ? 3? 6 成立 证法二: ?14 ? 18 ? 14 ? 18 2 14 ? 2 18 9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 ( 2? ? 2? 7 )2 ? ( 3 ? 7 ? 3? 6 6 )2 例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E 作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC 证法一:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以 AF⊥SC成立 A S E F C B 【解析】本题条件较多,而 且垂直关系较多,我们不容 易发现如何使用这些垂直条 件,因此利用综合法比较困 难,我们采用分析法. 证法二:∵ SA⊥平面ABC ∴BC⊥SA 又∵AB⊥BC,且AB∩SA=A ∴ BC⊥平面SAB ∴ AE⊥BC 又∵AE⊥SB,且BC∩SB=B ∴ SC⊥平面AEF ∴ AF⊥SC ∴ AE⊥平面SBC ∴ AE⊥SC 又∵EF⊥SC,且AE∩EF=E 这是道经典题,年年有, 高考只会换个角度考. 同学们你会遇到云里雾 里剪不断理还乱的解题 现象.这里线面垂直转 化为线线垂直,线线垂 直转化为线面垂直,把 你头脑转晕掉. π 例 3 已知? , ? ? kπ ? ? k ? Z ? , 且 2 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? , ① sin ? ? cos ? ? sin 2 ? , ② 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 求证 : ? . 2 2 1 ? tan ? 2 ?1 ? tan ? ? 【解析】证明式中没有?,因此我们要将?消掉,如何消掉?? 而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切, 因此我们要弦化切. 证明:方法一 即证 即证 即证 即证 由于上式与③相同,于是问题得证. ③ 方法二:综合法 ∵(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=1 ∴(2sin α)2-2sin2β=1 ∴4sin2α-2sin2β=1 (二倍角公式) 即: ∴2(cos2α-sin2α)=cos2β-sin2β ∴ 1 ? tan 2? 1 ? tan 2 ? ? = 2 1 ? tan ? 2(1 ? tan 2 ? ) 解题就是思维的发生发展且为 什么这样发生发展.世界上没有 无缘无故的恨也没有无缘无故 的爱,思维的发生几乎没有莫 名其妙.已知条件三个角,要证 结论两个角,所以消失一个, 消失后发现得到的是正弦式子, 但要证的结论正切,所以又要 化正切为正弦. 综合法和分析法的各自优劣 综合法是万事开头难,我们很难找到那个证明的起点即开头.我们一般用分析法 找到证明的起点即开头然后用综合法书写. 分析法像警察破案,一步步推理,最终找到犯罪的证据.整个案件清晰明朗. 综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的,就像一只狡猾的狐狸,一边前 进,一边抹去自己前进的足迹.这就是历史上后

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