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江苏省南京市大厂高级中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(文)试题

南京市大厂高级中学 2012-2013 学年第二学期期末调研
高二数学(文)
1. 记函数 f(x)=lg(4-x)的定义域为 A,则 A∩N*中有▲ 2.已知 2+3i i =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab=

2013.6
个元素.3 ▲ .-6

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上)

3. “?x∈R,x2-x+1≤0”的否定是 4. 曲线 y

? x∈R,x2-x+1>0


? x 3 ? x ? 1 在点(1,3)处的切线方程是

4x ? y ?1 ? 0

5. 函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为



?
1 5
▲ 2 1 ▲ ▲

6.已知角 ? 的终边过点 P(?3, 4) ,则 sin ? ? cos ? 的值为__ ▲ __

7. 已知非零向量 a,b 满足|a|=|a+b|=1,a 与 b 夹角为 120° ,则向量 b 的模为 8. 函数

f ( x) ? 2 ? x ? 7 的零点所在的区间是 (k , k ? 1), k ? Z ,则 k =
x

9. 设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则 a, b, c 的由大到小的排列顺序为 10.

a?b?c

sin50?(1 ? 3 tan10?) =



1

11. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, 解集用区间表示为 ▲

f ( x) ? x2 ? 4x ,则不等式 f ( x) ? x 的

? ??, ?5? ? (0,5)
??? ? ??? ?

12. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ? _______.2 13.给出下列四个命题: ①“k =1”是“函数 y ? cos2 kx ? sin 2 kx 的最小正周期为 π ”的充要条件; ② 函数 y ? sin 2 x ? π 的图像沿 x 轴向右平移 π 个单位所得的图像的函数表达式是

?

6

?

6

y ? cos 2 x ;
③ 函数 y ? lg ax 2 ? 2ax ? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是(0,1);

?

?

??? ? ??? ? ???? ④ 设 O 是△ ABC 内部一点,且 OA ? 2OB ? OC ? 0 ,则△AOB 和△AOC 的面积之比为
1:2; 其中真命题的序号是 . 14.已知定义在 R 上的可导函数 ▲ .(写出所有真命题的序号)【答案】④

y ? f ( x) 的导函数为 f / ( x) ,满足 f / ( x) ? f ( x) 且

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? ex 的解集为 ▲

(0, ??)
1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字 说明、求证过程或演算步骤 15.本小题满分 14 分) 已知平面向量 a=(1,2sinθ),b=(5cosθ,3). (1)若 a∥b,求 sin2θ 的值; π (2)若 a⊥b,求 tan(θ+ )的值. 4 15.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 a∥b,所以 1×3-2sinθ×5cosθ=0, 3 即 5sin2θ-3=0,所以 sin2θ= . 5 (2)因为 a⊥b,所以 1×5cosθ+2sinθ×3=0. 5 所以 tanθ=- . 6 π tanθ+tan 4 π 1 所以 tan(θ+ )= = . 4 π 11 1-tanθtan 4 ???????3 分 ???????6 分 ???????8 分 ???????10 分

???????14 分

16. 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 , x ? R .] 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若

sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.
错误!未找到引用源。 . 解:(1)

f ( x) ?

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ,????3 分 2 2 2 6
????5 分 ????7 分

则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T (2)

? 2C ? ? ? ? ,? C ? ? , 3 6 2

f (C ) ? sin(2C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? Q 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ?? ? 2C ? ? 11? , 6 6 6
????10 分 ????11 分

? 2? ? ? ; 2

Q sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 a ? 1 ,① b 2
由余弦定理,得 c
2

? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ,即 a 2 ? b2 ? ab ? 3 , ② 3
????14 分

由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

2

17.设 M ? x x ? 1 ? 4 , N ? x x ? (a ? 8) x ? 8a ? 0 ,命题 p : x ? M ,命题
2

?

?

?

?

q : x ? N (Ⅰ)当 a ? ?6 时,试判断命题 P 是命题 q 的什么条件;
(Ⅱ)求 a 的取值范围,使命题 p 是命题 q 的一个必要但不充分条件. 16、解:

M ? ?x x ? ?3或x ? 5?



N ? ?x ( x ? 8)(x ? a) ? 0?


.……….. 2 分

N (Ⅰ)当 a ? ?6 时,

? ?x 6 ? x ? 8?

? N ? M ,? 当 x ? N 时,有 x ? M ,但 x ? M 时不能得出 x ? N .
因此,命题

p 是命题 q 的必要但不充分条件.……….. 7 分

(Ⅱ )当 a ? ?8 时, 分条件.

N ? ?x 8 ? x ? ?a?

p q ,有 N ? M ,满足命题 是命题 的必要但不充
……….. 10 分

N 当 a ? ?8 时,

? ?x ? a ? x ? 8?

,要使 N ? M ,须 ? a ? 5 , ……….. 12 分

即 ? 8 ? a ? ?5 . 当 a ? ?8 时, N

? ?8? ,满足命题 p 是命题 q 的必要但不充分条件.……….14 分.
……….. 15 分

因此, a 的取值范围是 a ? ?5 .

kx-1 18.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0). x-1 (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值 范围. 1 x- k kx-1 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x-1)>0. k x-1 x-1
1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;?????2 分 k 1 ③当 k>1 时,x< 或 x>1. ?????6 分 k
[来源:学§科§网]

②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;??4 分

1 综上可得当 0<k<1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞); k
1 当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞).?????7 分 k 10k-1 1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0,∴k> .?????10 分 10 10-1

kx-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ), 故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), x-1 x-1 k-1 k-1 k-1 k-1 1 1 即 lg(k+ )<lg(k+ ),∴ < , ∴ (k- 1)·( - )<0, ??14 分 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 1 1 1 又∵ > ,∴ k-1<0,∴ k<1 综上可知 k∈ ( ,1).??????15 分 x1-1 x2-1 10
3

说明:用导数法也可以,根据情况自行制定标准. 19.如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排 l1 ,在路 南侧沿直线排 l2 ,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通.已知 AB = 60m,BC = 80m, 公路两侧排管费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成角为 ? .矩形区域内的排管费用为 W. (1)求 W 关于 ? 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角 ? .

l1

A

E

D

公路

公路 l2

解:(1)如图,过 E 作 EM ? BC , 垂足为 M,由题意得 ?MEF ? ? (0 ? tan ? ? 故有 MF ? 60 tan ? , EF ?

B

F

C

4 ), 3

60 , AE ? FC ? 80 ? 60 tan ? , cos ? 60 ?2 所以 W ? (80 ? 60 tan ? ) ? 1 ? cos ? sin ? 1 ? 80 ? 60 ? 120 cos ? cos ? sin ? ? 2 ? 80 ? 60 .………………………………..7 分 cos ? sin ? ? 2 π 4 , tan ? 0 ? ) , (2)设 f (? ) ? (其中 0 ≤? ≤? 0 ? cos ? 2 3 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? ? 则 f ?(? ) ? . cos 2 ? cos 2 ? ? 1 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ,得 ? ? . 6 2
列表

?

f ?(? ) + 0 f (? ) 单调递增 极大值 单调递减 ? 所以当 ? ? 时有 f (? )max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 60 3 .……….14 分 6 ? 答:排管的最小费用为 80 ? 60 3 万元,相应的角 ? ? .…………15 分 6 1 20. 已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ? ? 2ax( a ? 0) . x
(1)当 a ? 0 时,求

(0, ) 6

?

? 6

( ,?0 ) 6

?

f ? x ? 的极值;(2)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性;

4

(3)若对任意的 a ?

? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3?, 恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
1 2 1 2x ?1 , f ?? x? ? ? 2 ? ( x ? 0). … x x x x2
………………… 2分 1分

成立,求实数 m 的取值范围. 20.解:(1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 ln x ? 由 f ?? x? ?

1 2x ?1 ? 0 ,解得 x ? . 2 2 x



? 1? ?1 ? f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ?? ? 上是增函数. ? 2? ?2 ?

……………

4分



?1? f ? x ? 的极小值为 f ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值. ?2?

……………

5分

2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 (2) f ? ? x ? ? ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) .… x x x2 x2
①当 ?2 ? a ? 0 时, 数;………8 分 ②当 a ? ?2 时, ③当 a ? ?2 时,

7分

? 1? ? 1 ? ?1 1? f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ? , ?? ? 上是减函数,在 ? , ? ? 上是增函 ? 2? ? a ? ?2 a?

f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是减函数;

………………

9分

1? ?1 ? ? ? 1 1? f ? x ? 在 ? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数. 10 分 a? ?2 ? ? ? a 2?

(3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ?

f ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数,
…………… 10 分

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 . 3

由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 即 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 即 m ? ?4 ?

? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3? 恒成立,
12 分

max

……………

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3
14 分 ……… 16 分

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, … 3a 13 13 2 38 ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? . 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? 3 3 3a 9

5


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