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江苏省镇江市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)


2016-2017 学年江苏省镇江市高三(上)期末数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则集合 A∪B 中元素的个数为 2.复数 z=(1﹣2i)(3+i),其中 i 为虚数单位,则|z|是 3.若圆锥底面半径为 2,高为 ,则其侧面积为 . . .

4.袋中有形状、大小都相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黄球,从中一次随 机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 5.将函数 y=5sin(2x+ . )个单位后,所得函

)的图象向左平移 φ(0<φ< .

数图象关于 y 轴对称,则 φ=

6.数列{an}为等比数列,且 a1+1,a3+4.a5+7 成等差数列,则公差 d 等于



7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2﹣4x,则不等式 f (x)>x 的解集为 8.双曲线 为 . . 的焦点到相应准线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率

9.圆心在直线 y=﹣4x 上,并且与直线 l:x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2)的圆 的方程为 . 为常数,m>n>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, = . .

10.已知椭圆

P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,则 11.定义在(0,

)的函数 f(x)=8sinx﹣tanx 的最大值为

12.不等式 logax﹣ln2x<4(a>0,且 a≠1)对任意 x∈(1,100)恒成立,则 实数 a 的取值范围为 13.已知函数 y= . 与函数 y= 的图象共有 k(k∈N*)个公共点,A1(x1,

y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则

(xi+yi)=



14.已知不等式(m﹣n)2+(m﹣lnn+λ)2≥2 对任意 m∈R,n∈(0,+∞)恒 成立,则实数 λ 的取值范围为 .

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.(14 分)已知向量 m =(cosα,﹣1), n =(2,sinα),其中 且m ? n . (1)求 cos2α 的值; (2)若 sin(α﹣β)= ,且 ,求角 β. .求证:
? ? ? ?



16.(14 分)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=EC= (1)AC1∥平面 BDE; (2)A1E⊥平面 BDE.

17.(14 分)如图,某公园有三条观光大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中 直角边 BC=200m,斜边 AB=400m,现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB,BC, AC 大道上嬉戏,所在位置分别记为点 D,E,F. (1)若甲、乙都以每分钟 100m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大 道的另一端时即停,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲乙两人 之间的距离; (2)设∠CEF=θ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍,且∠DEF= 甲乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数,并求甲乙之间的最小距离. ,请将

18.(16 分)已知椭圆 C: )在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,且点(﹣



(2)直线 l 与椭圆 C 交于点 P,Q,线段 PQ 的中点为 H,O 为坐标原点且 OH=1, 求△POQ 面积的最大值. 19.(16 分)已知 n∈N*,数列{an}的各项为正数,前 n 项的和为 Sn,且 a1=1, a2=2,设 bn=a2n﹣1+a2n. (1)如果数列{bn}是公比为 3 的等比数列,求 S2n; (2)如果对任意 n∈N*,Sn= 恒成立,求数列{an}的通项公式;

(3)如果 S2n=3(2n﹣1),数列{anan+1}也为等比数列,求数列{an}的通项公式. 20.(16 分)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2﹣1)(λ 为常数) (1)已知函数 y=f(x)与 y=g(x)在 x=1 处有相同的切线,求实数 λ 的值; (2)如果 ,且 x≥1,证明 f(x)≤g(x);

(3)若对任意 x∈[1,+∞),不等式 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 λ 的取值 范围.

2016-2017 学年江苏省镇江市高三(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则集合 A∪B 中元素的个数为 【考点】并集及其运算. 【分析】求出 A∪B,再明确元素个数 【解答】解:集合 A={1,2,3},B={2,4,5},则 A∪B={1,2,3,4,5}; 所以 A∪B 中元素的个数为 5; 故答案为:5 【点评】题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属 于基础题 5 .

2.复数 z=(1﹣2i)(3+i),其中 i 为虚数单位,则|z|是 【考点】复数求模. 【分析】根据复数模长的定义直接求模即可. 【解答】解:复数 z=(1﹣2i)(3+i),i 为虚数单位, 则|z|=|(1﹣2i)|×|(3+i)| = =5 . . ×

5



故答案为:5

【点评】本题考查了复数求模长的应用问题,是基础题目.

3.若圆锥底面半径为 2,高为

,则其侧面积为

6π .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】 首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长,然后直接利用圆锥的 侧面积公式代入求出即可. 【解答】解:∵圆锥的底面半径为 2,高为 ,

∴母线长为:

=3,

∴圆锥的侧面积为:πrl=π×2×3=6π, 故答案为:6π. 【点评】 本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间 的关系是解决本题的关键.

4.袋中有形状、大小都相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黄球,从中一次随 机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 0.6 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】基本事件总数 n= m= =10 ,这 2 只球颜色不同包含的基本事件个数

,由此能求出这 2 只球颜色不同的概率.

【解答】解:袋中有形状、大小都相同的 5 只球,其中 3 只白球,2 只黄球, 从中一次随机摸出 2 只球, 基本事件总数 n= =10, , .

这 2 只球颜色不同包含的基本事件个数 m= ∴这 2 只球颜色不同的概率为 p= 故答案为:0.6.

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件 概率计算公式的合理运用.

5.将函数 y=5sin(2x+

)的图象向左平移 φ(0<φ< .

)个单位后,所得函

数图象关于 y 轴对称,则 φ=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】求得 y=5sin(2x+ )的图象向左平移 φ(0<φ< )个单位后的解析

式,利用正弦函数的对称性可得 φ 的值. 【解答】解:∵y=5sin(2x+ )的图象向左平移 φ(0<φ< )个单位后得:

g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ+ ∵g(x)=2sin(2x+2φ+ ∴g(x)=2sin(2x+2φ+ ∴2φ+ =kπ+ ,k∈Z,

),

)的图象关于 y 轴对称, )为偶函数,

∴φ= kπ+ ∵0<φ< ∴φ= .

,k∈Z. ,

故答案为:



【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,求得函数图象平移后的解 析式是关键,考查综合分析与运算能力,属于中档题.

6.数列{an}为等比数列,且 a1+1,a3+4.a5+7 成等差数列,则公差 d 等于 【考点】等比数列的通项公式.

3



【分析】设出等比数列的公比,由 a1+1,a3+4.a5+7 成等差数列求得公比,再由 等差数列的定义求公差. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, 则 ,

由 a1+1,a3+4.a5+7 成等差数列,得 ,即 q2=1. ∴d= 故答案为:3. 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算 题. .

7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2﹣4x,则不等式 f (x)>x 的解集为 (﹣5,0)∪(5,+∞) .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性的性质求出当 x<0 的解析式,解不等式即可. 【解答】解:若 x<0,则﹣x>0, ∵当 x>0 时,f(x)=x2﹣4x, ∴当﹣x>0 时,f(﹣x)=x2+4x, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=x2+4x=﹣f(x), 则 f(x)=﹣x2﹣4x,x<0, 当 x>0 时,不等式 f(x)>x 等价为 x2﹣4x>x 即 x2﹣5x>0, 得 x>5 或 x<0,此时 x>5, 当 x<0 时,不等式 f(x)>x 等价为﹣x2﹣4x>x 即 x2+5x<0, 得﹣5<x<0, 当 x=0 时,不等式 f(x)>x 等价为 0>0 不成立, 综上,不等式的解为 x>5 或﹣5<x<0, 故不等式的解集为(﹣5,0)∪(5,+∞), 故答案为:(﹣5,0)∪(5,+∞) 【点评】 本题主要考查不等式的解集的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的 解析式是解决本题的关键.

8.双曲线 为 1+ .

的焦点到相应准线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意可得 c﹣ 【解答】解:双曲线 轴长 2a, 可得 c﹣ =2a,即 c2﹣2ac﹣a2=0, )a 或 c=(1﹣ )a(舍去), =2a,化简整理,结合离心率公式,即可得到所求值. 的焦点(c,0)到相应准线 x= 的距离等于实

解得 c=(1+

即有离心率 e= =1+ 故答案为:1+ .



【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用,主要考查准线和离心率的求法,考 查运算能力,属于中档题.

9.圆心在直线 y=﹣4x 上,并且与直线 l:x+y﹣1=0 相切于点 P(3,﹣2)的圆 的方程为 (x﹣1)2+(y+4)2=8 【考点】圆的标准方程. 【分析】设出圆心坐标,利用直线与圆相切,求出 x 的值,然后求出半径,即可 得到圆的方程. 【解答】解:设圆心 O 为(x,﹣4x) kop= kL=﹣1 又相切∴kop?kL=﹣1∴x=1∴O(1,﹣4)r= 所以所求圆方程为(x﹣1)2+(y+4)2=8. 故答案为:(x﹣1)2+(y+4)2=8. 【点评】本题是基础题,考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系,考查计算 能力. = .

10.已知椭圆

为常数,m>n>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, = m .

P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,则 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】由题意画出图形,再由数量积的坐标运算可得答案. 【解答】解:如图,F1(﹣c,0),F2(c,0),

设 P(x0,y0),则 ∴

, =b2+c2=a2=m.

=(x0+c,y0)?(x0﹣c,y0)=

故答案为:m. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了平面向量在圆锥曲线问题中的应用, 是中档题.

11.定义在(0,

)的函数 f(x)=8sinx﹣tanx 的最大值为



【考点】三角函数的最值. 【分析】利用导函数研究其单调性,求其最大值. 【解答】解:函数 f(x)=8sinx﹣tanx, 那么:f′(x)=8cosx﹣ 令 f′(x)=0, 得:cosx= ∵x∈(0, ∴x= . )时,f′(x)>0,函数 f(x)在区间(0, )时,f′(x)<0,函数 f(x)在区间( )上是单调增函数. , )上是单调减 ), = ,

当 x∈(0, 当 x∈( 函数. ∴当 x= ,

时,函数 f(x)取得最大值为 .

故答案为:

【点评】 本题考查了利用导函数研究其单调性, 求其最大值的问题. 属于基础题.

12.不等式 logax﹣ln2x<4(a>0,且 a≠1)对任意 x∈(1,100)恒成立,则 实数 a 的取值范围为 (0,1)∪( ,+∞) .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】不等式转化为

<(lnx)2+4,令 t=lnx,得到

<t2+4 在 t∈(0,

ln100)恒成立,通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性求出 a 的范围即可. 【解答】解:∵不等式 logax﹣ln2x<4, ∴ <(lnx)2+4,

令 t=lnx, ∵x∈(1,100),∴t=lnx∈(0,ln100), ∴ <t2+4 在 t∈(0,ln100)恒成立,

0<a<1 时,lna<0,显然成立, a>1 时,lna>0, 故 lna> 令 g(t)= 则 g′(t)= , ,t∈(0,ln100), ,

令 g′(t)>0,解得:0<t<2, 令 g′(t)<0,解得:t>2, 故 g(t)在(0,2)递增,在(2,+∞)递减, 故 g(t)≤g(2)= , 故 lna> ,解得:a> 综上,a∈(0,1)∪( 故答案为:(0,1)∪( , ,+∞), ,+∞).

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思 想,是一道中档题.

13.已知函数 y=

与函数 y=

的图象共有 k(k∈N*)个公共点,A1(x1,

y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则

(xi+yi)=

2



【考点】函数的图象. 【分析】f(x)关于(0,1)对称,同理 g(x)= 所示,两个图象有且只有两个交点,即可得出结论. 【解答】解:由题意,函数 f(x)= =2﹣ , 关于(0,1) 关于(0,1)对称,如图

f(﹣x)+f(x)=2,∴f(x)关于(0,1)对称,同理 g(x)= 对称, 如图所示,两个图象有且只有两个交点, ∴ (xi+yi)=2,

故答案为 2.

【点评】本题考查函数图象的对称性,考查数形结合的数学思想,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题.

14.已知不等式(m﹣n)2+(m﹣lnn+λ)2≥2 对任意 m∈R,n∈(0,+∞)恒 成立,则实数 λ 的取值范围为 λ≥2 ﹣1 或 λ≤﹣2 ﹣1 .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】问题看作点(m,m+λ), (n,lnn)两点的距离的平方,即为直线 y=x+λ 0) 和直线 y=lnx 的距离的最小值, 当 y=lnx 的切线斜率为 1 时, 求出 y=lnx 在 (1,

处的切线与 y=x+λ 的最小值,解出即可. 【解答】解:不等式(m﹣n)2+(m﹣lnn+λ)2≥2 对任意 m∈R,n∈(0,+∞) 恒成立, 看作点(m,m+λ),(n,lnn)两点的距离的平方, 即为直线 y=x+λ 和直线 y=lnx 的距离的最小值, 当 y=lnx 的切线斜率为 1 时, y′= =1,点(1,0)处的切线与 y=x+λ 平行, 距离的最小值是 d= 解得:λ≥2 ≥2, ﹣1, ﹣1.

﹣1 或 λ≤﹣2

故答案为:λ≥2

﹣1 或 λ≤﹣2

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查平行线的距离,问题转化为直线 y=x+λ 和直线 y=lnx 的距离的最小值是解题的关键,本题是一道中档题.

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.(14 分)已知向量 m =(cosα,﹣1), n =(2,sinα),其中 且m ? n . (1)求 cos2α 的值; (2)若 sin(α﹣β)= ,且 ,求角 β.
? ? ? ?



【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】(1)由已知得 =2cosα﹣sinα=0,从而 sin2α+cos2α=5cos2α=1,进而

cos2α= ,由此能求出 cos2α. (2)由 cos2α= , ﹣β)= ,且 ,得 cosα= ,得 sinβ=2cos ,sinα= = ,由 sin(α

,由此能求出 β 的值. ,

【解答】解: (1)∵向量 =(cosα,﹣1), =(2,sinα),其中 且 ∴ . =2cosα﹣sinα=0,

∴sin2α+cos2α=5cos2α=1,∴cos2α= , ∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣ . (2)∵cos2α= , ∴cosα= ,sinα= ,且 = , , , , , ﹣ =0, (舍), .

∵sin(α﹣β)=

∴sinαcosβ﹣cosαsinβ= ∴2cosβ﹣sinβ= ,∴sinβ=2cos

∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2 解得 cosβ= ∵ 或 cosβ=﹣ ,∴β=

【点评】本题考查角的余弦值的求法,考查角的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意三角函数性质的合理运用.

16 . ( 14 分 ) ( 2016 秋 ? 镇 江 期 末 ) 在 长 方 体 ABCD ﹣ A1B1C1D1 中 , AB=BC=EC= .求证:

(1)AC1∥平面 BDE; (2)A1E⊥平面 BDE.

【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)证明线面平行,只需证明直线与平面内的一条直线平行即可.连 接 AC 与 DB 交于 O,连接 OE,AC1∥OE,即可证明 AC1∥平面 BDE. (2) 证明线面垂直, 只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可. 连接 OA1, 可证 OA1⊥DB,OE⊥DB,平面 A1OE⊥DB.可得 A1E⊥DB.利用勾股定理证明 A1E

⊥EB 即可得 A1E⊥平面 BDE. 【解答】解:(1)ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体,AB=BC=EC= 可得平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 是正方形,E 为 CC1 的中点. 连接 AC 与 DB 交于 O,连接 OE, 可得:AC1∥OE, OE? 平面 BDE. ∴AC1∥平面 BDE. (2)连接 OA1, 根据三垂线定理,可得 OA1⊥DB,OE⊥DB,OA1∩OE=O, ∴平面 A1OE⊥DB. 可得 A1E⊥DB. ∵E 为 CC1 的中点.设 AB=BC=EC= AA1=a ∴ ,A1E= ,A1B= .

∵A1B2=A1E2+BE2. ∴A1E⊥EB. ∵EB? 平面 BDE.BD? 平面 BDE.EB∩BD=B, ∴A1E⊥平面 BDE.

【点评】本题考查了线面平行,线面垂直的证明.考查学生对书本知识的掌握情 况以及空间想象,属于中档题.

17.(14 分)(2016 秋?镇江期末)如图,某公园有三条观光大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边 BC=200m,斜边 AB=400m,现有甲、乙、丙三位 小朋友分别在 AB,BC,AC 大道上嬉戏,所在位置分别记为点 D,E,F. (1)若甲、乙都以每分钟 100m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大 道的另一端时即停,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲乙两人

之间的距离; (2)设∠CEF=θ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 2 倍,且∠DEF= 甲乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数,并求甲乙之间的最小距离. ,请将

【考点】解三角形. 【分析】(1)由题意,BD=300,BE=400,△BDE 中,由余弦定理可得甲乙两人 之间的距离; (2)△BDE 中,由正弦定理可得 = ,可将甲乙之间的距离

y 表示为 θ 的函数,并求甲乙之间的最小距离. 【解答】解:(1)由题意,BD=300,BE=400, △ABC 中,cosB= ,B= , =100 m;

△BDE 中,由余弦定理可得 DE= (2)由题意,EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ. △CEF 中,CE=EFcos∠CEF=2ycosθ △BDE 中,由正弦定理可得 ∴y= ∴θ= ,ymin=50 = m. ,0 = , ,

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查正弦、余弦定理的运用,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

18.(16 分)(2016 秋?镇江期末)已知椭圆 C:

的离心率



,且点(﹣

, )在椭圆 C 上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 与椭圆 C 交于点 P,Q,线段 PQ 的中点为 H,O 为坐标原点且 OH=1, 求△POQ 面积的最大值. 【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】(1)由椭圆的离心率为 ,且点(﹣ , )在椭圆 C 上,列出方程

组求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程. 0) x=my+n, (2) 设 l 与 x 轴的交点为 D (n, , 直线 l: 联立 , 得 (4+m2)

x2+2mny+n2﹣4=0,由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理,结合已知条件能 求出△POQ 面积的最大值. 【解答】解: (1)∵椭圆 C: )在椭圆 C 上. 的离心率为 ,且点(﹣ ,



.解得 a2=4,b2=1,

∴椭圆 C 的方程为



(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(n,0),直线 l:x=my+n, 与椭圆交点为 P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 ,得(4+m2)x2+2mny+n2﹣4=0,

y1,2=











=

,即 H(

),

由 OH=1,得



则 S△POQ= ?OD?|y1﹣y2|= |n||y1﹣y2|, 令 T= = =12?16? ,

设 t=4+m2,则 t≥4, 当且仅当 t=

=

=



=



,即 t=12 时,(S△POQ)max=1,

∴△POQ 面积的最大值为 1. 【点评】 本题考查椭圆方程的求法, 考查三角形面积的最大值的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意韦达定理、 弦长公式、 均值定理、 椭圆性质的合理运用.

19.(16 分)(2016 秋?镇江期末)已知 n∈N*,数列{an}的各项为正数,前 n 项的和为 Sn,且 a1=1,a2=2,设 bn=a2n﹣1+a2n. (1)如果数列{bn}是公比为 3 的等比数列,求 S2n; (2)如果对任意 n∈N*,Sn= 恒成立,求数列{an}的通项公式;

(3)如果 S2n=3(2n﹣1),数列{anan+1}也为等比数列,求数列{an}的通项公式. 【考点】数列递推式. 【分析】(1)b1=a1+a2=3,可得 bn=3n=a2n﹣1+a2n.利用分组求和与等比数列的求 和公式即可得出 S2n. Sn= (2) 对任意 n∈N*, = an=Sn﹣Sn﹣1, 恒成立, 可得 n≥2 时, 化为:

,an>0.可得 an﹣an﹣1=1,利用等差数列的通项公式即可得出.

(3)由 S2n=3(2n﹣1),且 a1=1,a2=2,可得 a1+a2+a3+a4=9,可得 a3+a4=6.由 数列{anan+1}也为等比数列,设公比为 q= 分别成等比数列,公比为 q.即可得出. 【解答】解:(1)b1=a1+a2=3,∴bn=3n=a2n﹣1+a2n. ∴S2n=3+32+…+3n= = . ,可得数列{an}的奇数项与偶数项

(2)对任意 n∈N*,Sn=

恒成立,

∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=



,化为:

=

,an>0.

∴an﹣1=an﹣1,即 an﹣an﹣1=1, ∴an=1+(n﹣1)=n. (3)∵S2n=3(2n﹣1),且 a1=1,a2=2, ∴a1+a2+a3+a4=3×(22﹣1)=9=1+2+a3+a4, ∴a3+a4=6. ∵数列{anan+1}也为等比数列,设公比为 q= ,

∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为 q. ∴a3=q,a4=a2q=2q, ∴q+2q=3×2,解得 q=2. ∴ a2n= =2n. =2n﹣1,

可得 an=

(k∈N*).

【点评】 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式与求和 公式,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.

20.(16 分)(2016 秋?镇江期末)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2﹣1) (λ 为常数) (1)已知函数 y=f(x)与 y=g(x)在 x=1 处有相同的切线,求实数 λ 的值; (2)如果 ,且 x≥1,证明 f(x)≤g(x);

(3)若对任意 x∈[1,+∞),不等式 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 λ 的取值 范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方 程. 【分析】(1)先分别求导,再根据函数 y=f(x)与 y=g(x)在 x=1 处有相同的 切线,得到 f′(1)=g′(1),即可求出 λ 的值, (2)设 h(x)=g(x)﹣f(x)= (x2﹣1)﹣xlnx,利用导数求出函数的最小值 为 0,即可证明. (3)分离参数,构造函数 m(x)= ,多次利用导数和构造函数,判断出

m(x)在[1,+∞)为减函数,再根据极限的定义求出 m(x)的最大值,问题 即可解决. 【解答】解:(1)∵函数 f(x)=xlnx,g(x)=λ(x2﹣1), ∴f′(x)=1+lnx,g′(x)=2λx, ∵函数 y=f(x)与 y=g(x)在 x=1 处有相同的切线, ∴f′(1)=g′(1), ∴1+ln1=2λ, 解得 λ= , (2)当 ,且 x≥1 时,设 h(x)=g(x)﹣f(x)= (x2﹣1)﹣xlnx,

∴h′(x)=x﹣1﹣lnx, 令 φ(x)=x﹣1﹣lnx, ∴φ′(x)=1﹣ ≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴φ(x)min=φ(1)=1﹣1﹣ln1=0, ∴h′(x)=x﹣1﹣lnx≥0,在[1,+∞)上恒成立,

∴h(x)在[1,+∞)上递增, ∴h(x)min=h(1)=0, ∴当 ,且 x≥1,f(x)≤g(x)成立,

(3)对任意 x∈[1,+∞),不等式 f(x)≤g(x)恒成立, ∴xlnx≤λ(x2﹣1), ∴λ≥ ,

设 m(x)=



则 m′(x)= 令 n(x)=x2﹣1﹣(x2+1)lnx, 则 n′(x)=2x﹣2xlnx﹣(x+ )= 再令 p(x)=x2﹣2xlnx﹣1

=





则 p′(x)=2x﹣2(2xlnx+x)=﹣4xlnx<0 在[1,+∞)为恒成立, ∴p(x)在[1,+∞)为减函数, ∴p(x)≤p(1)=0, ∴n′(x)<0 在[1,+∞)为恒成立, ∴n(x)在[1,+∞)为减函数, ∴n(x)≤n(1)=0, ∴m′(x)<0 在[1,+∞)为恒成立, ∴m(x)在[1,+∞)为减函数, ∵ m(x)= = = ,

∴m(x)≤ , ∴λ≥ . 故 λ 的取值范围为(﹣∞, ].

【点评】 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值得关系,以 及证明不等式恒成立,和参数的取值范围,属于难题.


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