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2016新课标三维人教B版数学必修5 1.1 正弦定理和余弦定理


正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理

预习课本 P3~5,思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系?

(2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形?

(3)解三角形的含义是什么?

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[新知初探] 1.正弦定理 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即 [点睛] 正弦定理的特点 a b c = = . sin A sin B sin C

(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角 关系的互化. 2.解三角形 一般地,把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫做解三角形. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( ) ) )

(2)在△ABC 中,等式 bsin A=asin B 总能成立(

(3)在△ABC 中,已知 a,b,A,则此三角形有唯一解( 解析:(1)正确.正弦定理适用于任意三角形. a b (2)正确.由正弦定理知 = ,即 bsin A=asin sin A sin B B.

(3)错误. 在△ABC 中, 已知 a, b, A, 此三角形的解有可能是无解、 一解、 两解的情况, 具体情况由 a,b,A 的值来定. 答案:(1)√ (2)√ (3)× )

sin A 2.在△ABC 中,下列式子与 a 的值相等的是( b A.c sin C C. c 解析:选 C 由正弦定理得, 所以 sin A sin C = . a c a c = , sin A sin C

sin B B. sin A c D. sin C

3.在△ABC 中,已知 A=30°,B=60°,a=10,则 b 等于( A.5 2 10 3 C. 3 B.10 3 D.5 6

)

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解析:选 B 由正弦定理得,b=

asin B = sin A

10× 1 2

3 2

=10 3.

4.在△ABC 中,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有( A.一解 C.无解 B.两解 D.无法确定

)

解析:选 A ∵b<a,A=30°,∴B<30°,故三角形有一解.

已知两角及一边解三角形

[典例] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°,

b a asin B 8×sin 60° 由正弦定理 = ,得 b= = = 4 6, sin B sin A sin A sin 45° a c asin C 8×sin 75° 由 = ,得 c= = = sin A sin C sin A sin 45° 8× 2+ 6 4 =4( 3+1). 2 2

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. [注意] 若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并,即将非

特殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解.

[活学活用] 在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2 )

BC AC AC 3 2 3 2 2 解析:选 B 由正弦定理得, = ,即 = ,所以 AC= × sin A sin B 2 sin 60° sin 45° 3 2 =2 3,故选 B. 已知两边及其中一边的对角解三角形

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[典例] 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,求 A,C,c. [解] 3 2 3 由正弦定理及已知条件,有 = ,得 sin A= . sin A sin 45° 2

∵a>b,∴A>B=45°.∴A=60°或 120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c= 2sin 75° 6+ 2 bsin C = = ; sin B 2 sin 45° 2sin 15° 6- 2 bsin C = = . sin B 2 sin 45°

当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c= 综上可知:A=60°,C=75°,c=

6+ 2 6- 2 或 A=120°,C=15°,c= . 2 2

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论.

[活学活用] 在△ABC 中,c= 6,C=60°,a=2,求 A,B,b. 解:∵ a c asin C 2 = ,∴sin A= c = . sin A sin C 2

∴A=45°或 A=135°. 又∵c>a,∴C>A.∴A=45°. ∴B=75°,b= csin B 6· sin 75° = = 3+1. sin C sin 60° 三角形形状的判断 π π -A?=bcos? -B?,判断△ABC 的形状. [典例] 在△ABC 中,acos? 2 ? ? ?2 ? 解:[法一 化角为边]

π π -A?=bcos? -B?, ∵acos? ?2 ? ?2 ? a b ∴asin A=bsinB.由正弦定理可得:a· =b· , 2R 2R ∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC 为等腰三角形. [法二 化边为角] 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

π ? ?π ? ∵acos? ?2-A?=bcos?2-B?, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即 sin A=sin B, ∴A=B.(A+B=π 不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形. 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边. 将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知 ..... 识(分解因式、配方等)得到边的关系,如 a=b,a2+b2=c2 等,进而确定三角形的形状.利 用的公式为:sin A= a b c ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R

(2)化边为角. 将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关 ..... 知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.

[活学活用] 在△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,且 sin A=2sin B· cos C.试判断△ABC 的形状. 解:由正弦定理,得 a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R ∵sin2A=sin2B+sin2C, a ?2 ? b ?2 ? c ?2 ∴? ?2R? =?2R? +?2R? , 即 a2=b2+c2, 故 A=90°. ∴C=90°-B,cos C=sinB. ∴2sin B· cos C=2sin2B=sin A=1. ∴sin B= 2 . 2

∴B=45°或 B=135°(A+B=225°>180°,故舍去). ∴△ABC 是等腰直角三角形.

层级一

学业水平达标 )

1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sin A∶sin B 的值是( 5 A. 3 3 B. 5 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

3 C. 7 解析:选 A 根据正弦定理得 sin A a 5 = = . sin B b 3

5 D. 7

2.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 解析:选 B 由题意有

) B.直角三角形 D.等腰三角形

a b =b= ,则 sin B=1, sin A sin B

即角 B 为直角,故△ABC 是直角三角形. 3.在△ABC 中,若 A.30° C.60° 解析:选 B 由正弦定理得, sin A cos C = ,则 C 的值为( a c ) B.45° D.90° sin A sin C cos C = = , a c c

则 cos C=sin C,即 C=45°,故选 B. 1 4.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 A. 5 C. 5 3 5 B. 9 D.1 )

a b 解析:选 B 在△ABC 中,由正弦定理 = , sin A sin B 1 5× 3 5 bsin A 得 sin B= a = = . 3 9 5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且 a= 3bsin A, 则 sin B=( A. 3 C. 6 3 B. 3 3 6 3 )

D.-

解析:选 B 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 sin A= 3sin Bsin A,故 sin B= 3 . 3 6.下列条件判断三角形解的情况,正确的是______(填序号). ①a=8,b=16,A=30°,有两解; ②b=18,c=20,B=60°,有一解; ③a=15,b=2,A=90°,无解; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

④a=40,b=30,A=120°,有一解. 解析:①中 a=bsin A,有一解;②中 csin B<b<c,有两解;③中 A=90°且 a>b,有 一解;④中 a>b 且 A=120°,有一解.综上,④正确. 答案:④ 7. 在△ABC 中, 若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C, 则△ABC 的形状是________. a b 解析:由已知得 sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知 sin A= ,sin B= ,sin C 2R 2R c = , 2R a ?2 ? b ?2 ? c ?2 所以? 2 ? R? -?2R? =?2R? , 即 a2-b2=c2,故 b2+c2=a2.所以△ABC 是直角三角形. 答案:直角三角形 8.在△ABC 中,若 A=105°,C=30°,b=1,则 c=________. 解析: 由题意,知 B = 180° - 105° - 30° = 45°. 由正弦定理,得 c = 1×sin 30° 2 = . 2 sin 45° 答案: 2 2 bsin C = sin B

9. 已知一个三角形的两个内角分别是 45°, 60°, 它们所夹边的长是 1, 求最小边长. 解:设△ABC 中,A=45°,B=60°, 则 C=180°-(A+B)=75°. 因为 C>B>A,所以最小边为 a. 又因为 c=1,由正弦定理得, a= csin A 1×sin 45° = = 3-1, sin C sin 75°

所以最小边长为 3-1. 10.在△ABC 中,已知 a=2 2,A=30°,B=45°,解三角形. 解:∵ a b c = = , sin A sin B sin C 2 2× 1 2 2 2

asin B 2 2sin 45° ∴b= = = sin A sin 30°

=4.

∴C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°, ∴c= asin C 2 2sin 105° 2 2sin 75° = = sin A 1 sin 30° 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

=4 2sin(30°+45°)=2+2 3. 层级二 应试能力达标

1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果 c= 3a,B=30°,那 么角 C 等于( A.120° C.90° ) B.105° D.75°

解析:选 A ∵c= 3a,∴sin C= 3sin A= 3sin(180°-30°-C)= 3sin(30°+C) = 3

? 3sin C+1cos C?,即 sin C=- 3cos C,∴tan C=- 3.又 0°<C<180°, 2 ?2 ?

∴C=120°.故选 A. 2.已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 的对边,若△ABC 的周长为 4( 2+1), 且 sin B+sin C= 2sin A,则 a=( A. 2 C.4 ) B.2 D.2 2

解析:选 C 根据正弦定理,sin B+sin C= 2sin A 可化为 b+c= 2a, ∵△ABC 的周长为 4( 2+1),

?a+b+c=4? 2+1?, ∴? 解得 a=4.故选 C. ?b+c= 2a,
a+b+c 3.在△ABC 中,A=60°,a= 13,则 等于( sin A+sin B+sin C 8 3 A. 3 26 3 C. 3 2 39 B. 3 D.2 3 a+b+c a =2R= sin A sin A+sin B+sin C )

解析: 选 B 由 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C 得 13 2 39 = = . 3 sin 60°

4.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1, 连接 EC,ED,则 sin∠CED=( 3 10 A. 10 C. 5 10 ) B. 10 10 5 15

D.

解析: 选 B 由题意得 EB=EA+AB=2, 则在 Rt△EBC 中, EC= EB2+BC2= 4+1

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sin∠CED DC π π 3π = 5.在△EDC 中,∠EDC=∠EDA+∠ADC= + = ,由正弦定理得 = = 4 2 4 sin∠EDC EC 1 5 = , 5 5 所以 sin∠CED= = 5 · sin∠EDC 5

5 3π 10 · sin = . 5 4 10

5.在△ABC 中,A=60°,B=45°,a+b=12,则 a=________. a b a b 解析:因为 = ,所以 = , sin A sin B sin 60° sin 45° 所以 3 2 b= a, 2 2 ① ②

又因为 a+b=12, 由①②可知 a=12(3- 6). 答案:12(3- 6)

6.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B=_______. AB BC 解析:由正弦定理,得 = ,即 sin C sin A AB· sin A sin C= BC = 5sin 120° 5 3 = . 7 14 11 . 14

可知 C 为锐角,∴cos C= 1-sin2C=

∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C) =sin 60°· cos C-cos 60°· sin C= 答案: 3 3 14 3 3 . 14

7.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A-C=90°,a+c= 2 b,求 C. 解:由 A-C=90°,得 A 为钝角且 sin A=cos C,利用正弦定理,a+c= 2b 可变形 为 sin A+sin C= 2sin B, 又∵sin A=cos C, ∴sin A+sin C=cos C+sin C= 2sin(C+45°)= 2sin B, 又 A,B,C 是△ABC 的内角, 故 C+45°=B 或(C+45°)+B=180°(舍去), 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

所以 A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°. 所以 C=15°.

8.在△ABC 中,已知 c=10,

cos A b 4 = = ,求 a,b 及△ABC 的内切圆半径. cos B a 3

sin B b cos A sin B 解:由正弦定理知 = ,∴ = . sin A a cos B sin A 即 sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B. π 又∵a≠b,∴2A=π-2B,即 A+B= . 2 ∴△ABC 是直角三角形,且 C=90°, a +b =10 , ? ? 由?b 4 得 a=6,b=8. = ? ?a 3 故内切圆的半径为 r= a+b-c 6+8-10 = =2. 2 2 1.1.2 余弦定理
2 2 2

预习课本 P6~9,思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么?

(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形?

(3)已知三角形的三边如何解三角形?

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[新知初探] 1.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 余弦定理 公式表达 b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两 边与它们的夹角的余弦的积的两倍 cos A= 余弦定理 推论 cos B= b2+c2-a2 , 2bc a2+c2-b2 , 2ac a2+b2-c2 2ab

cos C=

[点睛] 余弦定理的特点 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它 含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. 2.三角形的面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示 a 边上的高). 2 a a 1 1 1 (2)S= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2 [点睛] 1 1 三角形的面积公式 S= absin C 与原来的面积公式 S= a· h(h 为 a 边上的高)的 2 2

关系为:h=bsin C,实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上的高. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三角形( (2)在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则△ABC 一定为钝角三角形( (3)在△ABC 中,已知两边和其夹角时,△ABC 不唯一( 1 (4)公式 S= absin C 适合求任意三角形的面积( 2 ) ) ) )

解析:(1)正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. b2+c2-a2 (2)正确.当 a2>b2+c2 时,cos A= <0. 2bc 因为 0<A<π,故 A 一定为钝角,△ABC 为钝角三角形. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(3)错误.当△ABC 已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此△ ABC 唯一确定. 1 (4)正确,S= absin C 适合求任意三角形的面积. 2 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ )

2.在△ABC 中,已知 a=9,b=2 3,C=150°,则 c 等于( A. 39 C.10 2 解析:选 D 由余弦定理得: c= 92+?2 3?2-2×9×2 3×cos 150° = 147 =7 3. 3 3.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c= 3,则 A 的大小为( 2 A.60°或 120° C.120° 1 解析:选 A 由 S△ABC= bcsin A 得 2 3 1 = ×2× 3×sin A, 2 2 所以 sin A= 3 , 2 B.60° D.30°或 150° B.8 3 D.7 3

)

故 A=60°或 120°,故选 A. 4.在△ABC 中,已知 A=30°,且 3a= 3b=12,则 c 的值为( A.4 C.4 或 8 B.8 D.无解 )

解析: 选 C 由 3a= 3b=12, 得 a=4, b=4 3, 利用余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,即 16=48+c2-12c,解得 c=4 或 c=8.

用余弦定理解三角形 [典例] 在△ABC 中,

(1)若 a=2 3,b=2 2,c= 6+ 2,求 A,B,C; (2)若 b=3,c=3 3,B=30°,求 A,C 和 a. [解] (1)由余弦定理得

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cos A=

b2+c2-a2 ?2 2?2+? 6+ 2?2-?2 3?2 1 = = , 2bc 2 2×2 2×? 6+ 2?

a2+c2-b2 ?2 3?2+? 6+ 2?2-?2 2?2 2 cos B= = = , 2ac 2 2×2 3×? 6+ 2? ∴A=60°,B=45°, ∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°. (2)法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°, ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30°, ∴C=120°. 当 a=6 时,由正弦定理得 asin B sin A= b = ∴A=90°, ∴C=60°. 1 3 3 法二:由 b<c,B=30°,b>csin 30°=3 3× = 知本题有两解. 2 2 csin B 由正弦定理得 sin C= = b ∴C=60°或 120°, 当 C=60°时,A=90°, 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3. 1 3 3× 2 3 = , 3 2 1 6× 2 =1. 3

利用余弦定理求解三角形的主要类型 (1)已知三边,求三角,一般利用余弦定理的推论先求出两角,再根据三角形内角和定 理求出第三个角. (2)已知两边及一角,求第三边和其他角,存在两种情况: ①已知两边及其中一边的对角,可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程, 运用方程的思想求得第三边,再求出其他角,可免去判断取舍的麻烦. ②已知两边及其夹角,直接利用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理求出另两角.

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[活学活用] 在△ABC 中, (1)a=1,b=1,C=120°,求 c; (2)a∶b∶c=1∶ 3∶2,求 A,B,C. 解:(1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C 1? =12+12-2×1×1×? ?-2?=3,∴c= 3. (2)由于 a∶b∶c=1∶ 3∶2, 可设 a=x,b= 3x,c=2x(x>0). 由余弦定理,得 cos A= ∴A=30°. 1 同理 cos B= ,cos C=0,∴B=60°,C=90°. 2 利用余弦定理判断三角形形状 [典例] 在△ABC 中,若 b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC 的形状. 解:[法一 化角为边] b2+c2-a2 3x2+4x2-x2 3 = = , 2bc 2 2· 3x· 2x

将已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理,得 a +b -c ?2 2?a +c -b ?2 b +c -b ? ? 2ab ? -c ? 2ac ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=2bc×

a2+c2-b2 a2+b2-c2 × , 2ac 2ab [?a2+b2-c2?+?a2+c2-b2?]2 4a4 = 2=a2. 4a2 4a

∴b2+c2=

∴A=90°.∴△ABC 是直角三角形. [法二 化边为角]

由正弦定理,已知条件可化为 sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C. 又 sin Bsin C≠0, ∴sin Bsin C=cos Bcos C,即 cos(B+C)=0. 又∵0°<B+C<180°,∴B+C=90°,∴A=90°. ∴△ABC 是直角三角形. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件判断. (2)化角的关系:将条件转化为角与角之间关系,通过三角变换得出关系进行判断.

[活学活用] 在△ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC 的形状. 解:由余弦定理知 cos A= 知条件得 b2+c2-a2 c2+a2-b2 c2-a2-b2 a· +b· +c· =0, 2bc 2ca 2ab 通分得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0, 展开整理得(a2-b2)2=c4.∴a2-b2=± c2,即 a2=b2+c2 或 b2=a2+c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形. 三角形面积的计算 [典例] 已知△ABC 中,B=30°,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的面积. [解] 由正弦定理,得 sin C= ABsin B 2 3sin 30° 3 = . AC = 2 2 b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 ,cos B= ,cos C= ,代入已 2bc 2ca 2ab

∵AB>AC, ∴C=60°或 C=120°. 1 当 C=60°时,A=90°,S△ABC= AB· AC=2 3; 2 1 当 C=120°时,A=30°,S△ABC= AB· ACsin A= 3. 2 故△ABC 的面积为 2 3或 3.

(1)求三角形面积时,应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法, 这样不仅能减少一些不必要的计算,还能使计算结果更加接近真实值. 1 1 1 (2)事实上,在众多公式中,最常用的公式是 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B,即 2 2 2 给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积,反过来,给出三角形的面积 利用上述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式. [活学活用] △ABC 中,若 a,b,c 的对角分别为 A,B,C,且 2A=B+C,a= 3,△ABC 的面

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积 S△ABC=

3 ,求边 b 的长和 B 的大小. 2

解:∵A+B+C=180°,又 2A=B+C,∴A=60°. 1 3 3 ∵S△ABC= bcsin A= ,sin A= , 2 2 2 ∴bc=2.① 1 又由余弦定理得 3=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2×2× , 2 即 b2+c2=5.② 解①②可得 b=1 或 2. a b bsin A b 由正弦定理知 = ,∴sin B= a = . sin A sin B 2 1 当 b=1 时,sin B= ,B=30°; 2 当 b=2 时,sin B=1,B=90°. 正、余弦定理的综合应用 题点一:利用正、余弦定理解三角形 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求角 B 的大小; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 解:(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 故 cos B= 2 ,因此 B=45°. 2

(2)sin A=sin (30°+45°) =sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= sin A 故由正弦定理得 a=b· =1+ 3. sin B 由已知得,C=180°-45°-75°=60°, sin 60° sin C c=b· =2× = 6. sin B sin 45° 题点二:利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2.在△ABC 中,求证 a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 证明:法一:(化为角的关系式) a2sin 2B+b2sin 2A=(2R· sin A)2· 2sin B· cos B+(2R· sin B)2· 2sin A· cos A=8R2sin A· sin B(sin A· cos B+cos Asin B)=8R2sin Asin Bsin C=2· 2Rsin A· 2Rsin B· sin C=2absin C. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 2+ 6 . 4

∴原式得证. 法二:(化为边的关系式)
2 2 2 2 2 2 2b a +c -b 2a b +c -a ab 2 左边=a2· 2sin Bcos B+b2· 2sin Acos A=a2· · +b2· · = (a + 2R 2ac 2R 2bc 2Rc

c2-b2+b2+c2-a2)= ∴原式得证.

ab c · 2c2=2ab· =2absin C=右边, 2Rc 2R

题点三:正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用 sin A 3cos C 3.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a = c . (1)求 C 的大小; (2)如果 a+b=6, CA · CB =4,求 c 的值. 解:(1)∵ a c sin A 3cos C = , a = , c sin A sin C

??? ? ??? ?

∴sin C= 3cos C.∴tan C= 3. π 又∵C∈(0,π),∴C= . 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (2)∵ CA · | CB |cos C= ab, CB =| CA |· 2
又∵ CA · CB =4,∴ab=8. 又∵a+b=6, 由余弦定理知 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12, ∴c=2 3.

??? ? ??? ?

正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等 变换,同时注意三角形中的一些重要性质,如内角和为 180°、大边对大角等.

层级一

学业水平达标 )

1.在△ABC 中,已知 a=2,b=3,C=120°,则 S△ABC=( A. 3 2 3 3 B. 2 D.3

C. 3

1 1 3 3 3 解析:选 B S△ABC= absin C= ×2×3× = . 2 2 2 2 2.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角 A 等于( A.30° B.60° 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

C.120°

D.150°

解析:选 B ∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, ∴b2+c2-a2=bc, ∴cos A= b2+c2-a2 1 = ,∴A=60°. 2bc 2 13 ,则最大角的余弦值是( 14 1 B.- 6 D.- 1 8 )

3.在△ABC 中,若 a=8,b=7,cos C= A.- C.- 1 5 1 7

解析:选 C 由余弦定理,得 13 c2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7× =9, 14 所以 c=3,故 a 最大, 所以最大角的余弦值为 cos A= b2+c2-a2 72+32-82 1 = =- . 2bc 7 2×7×3

4.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( 4 A. 3 C.1 ) B.8-4 3 2 D. 3

解析:选 A 由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得 a2+b2-c2= 4 2abcos C=2abcos 60°=ab,则 ab+2ab=4,∴ab= . 3 5.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两边之比为 8∶5,则这个三角 形的面积为( A.40 3 C.40 2 解析:选 A 设另两边长为 8x,5x, 则 cos 60°= 64x2+25x2-142 ,解得 x=2 或 x=-2(舍去). 80x2 ) B.20 3 D.20 2

故两边长分别为 16 与 10, 1 所以三角形的面积是 ×16×10×sin 60°=40 3. 2 1 6.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为________. 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1 2 2 解析:∵cos C= ,0<C<π,∴sin C= , 3 3 1 1 2 2 ∴S△ABC= absin C= ×3 2×2 3× =4 3. 2 2 3 答案:4 3 7.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= 解析:∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴( 3)2=a2+12-2a×1×cos 2π , 3 2π ,则 a=________. 3

∴a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0, ∴a=1,或 a=-2(舍去).∴a=1. 答案:1 1 8.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 解析:因为 b+c=7,所以 c=7-b. 由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B, 1? 即 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×? ?-4?, 解得 b=4. 答案:4 9.在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sin C. 解:∵a>c>b,∴A 为最大角. 由余弦定理的推论,得 b2+c2-a2 32+52-72 1 cos A= = =- . 2bc 2 2×3×5 又∵0°<A<180°, ∴A=120°, ∴sin A=sin 120°= 3 . 2 5× 7 3 2 5 3 . 14

csin A 由正弦定理,得 sin C= a = ∴最大角 A 为 120°,sin C=



5 3 . 14

10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C. (1)求 cos A; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解:(1)由 3cos(B-C)-1=6cos Bcos C, 得 3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1, 1 即 cos(B+C)=- , 3 1 从而 cos A=-cos(B+C)= . 3 1 2 2 (2)由于 0<A<π,cos A= ,所以 sin A= . 3 3 1 又 S△ABC=2 2,即 bcsin A=2 2,解得 bc=6. 2 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2=13,
? ? ? ?bc=6, ?b=2, ?b=3, 解方程组? 2 2 得? 或? ?b +c =13, ? ? ? ?c=3 ?c=2.

层级二

应试能力达标 )

1.△ABC 的周长为 20,面积为 10 3,A=60°,则 BC 的边长等于( A.5 C.7 解析: 选 C 如图,由题意得 a+b+c=20, ? ?1 ?2bcsin 60°=10 3, ?a =b +c -2bccos 60°, ?
2 2 2

B.6 D.8

则 bc=40, a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(20-a)2-3×40, ∴a=7. 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 C=120°,c= 2a,则 a, b 的大小关系为( A.a>b C.a=b ) B.a<b D.不能确定

解析:选 A 在△ABC 中,c2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab.∵c= 2a,∴2a2 =a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b. B a+c 3.在△ABC 中,cos2 = ,则△ABC 是( 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 cos B+1 a+c B a+c 解析:选 B ∵cos2 = ,∴ = , 2 2c 2 2c a2+c2-b2 a a ∴cos B=c ,∴ =c ,∴a2+c2-b2=2a2, 2ac 即 a2+b2=c2,∴△ABC 为直角三角形. 4.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB · BC 的值为( A.79 C.5 解析:选 D 由余弦定理得: AB2+BC2-AC2 52+72-82 1 cos∠ABC= = = . 2AB· BC 2×5×7 7 因为向量 AB 与 BC 的夹角为 180°-∠ABC, 所以 AB · | BC |cos(180°-∠ABC) BC =| AB |· 1? =5×7×? ?-7?=-5. 5.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 ________. BC2+AC2-AB2 2 2 解析:∵cos C= = ,∴sin C= , 2BC· AC 2 2 ∴AD=ACsin C= 3. 答案: 3 sin B 6.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为________. sin C 解析:由余弦定理可得 49=AC2+25-2×5×AC×cos 120°,整理得: AC2+5· AC-24=0, 解得 AC=3 或 AC=-8(舍去), sin B AC 3 再由正弦定理可得 = = . sin C AB 5 答案: 3 5 cos A-2cos C 2c-a = b . cos B B.69 D.-5

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7.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

a b c 解:(1)由正弦定理可设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B 所以 cos A-2cos C 2sin C-sin A = , cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A, 因此 sin C =2. sin A sin C =2,得 c=2a. sin A

(2)由

1 由余弦定理及 cos B= , 4 1 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2, 4 所以 b=2a. 又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2.

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S= 3 2 (a +b2-c2). 4 (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A+sin B 的最大值. 解:(1)由题意可知 1 3 absin C= ×2abcos C. 2 4 所以 tan C= 3. π 因为 0<C<π,所以 C= . 3 π? (2)由(1)知 sin A+sin B=sin A+sin? ?π-A-3? 2π ? =sin A+sin? ? 3 -A? =sin A+ 3 1 cos A+ sin A 2 2

π? 2π? ? = 3sin? ?A+6?≤ 3?0<A< 3 ?. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

π 当 A= 时,即△ABC 为等边三角形时取等号, 3 所以 sin A+sin B 的最大值为 3.

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