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高一数学ppt课件 直线的点斜式方程课件2_图文

3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程

【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材,并识记点斜式与斜截式方程的 特点,初步掌握它们的简单应用.

【知识链接】 1.在平面直角坐标中确定一条直线的几何要素: ①定点P0(x0,y0),②斜率k. 2.直线的方程与方程的直线,如果直线l上任意一点的坐标(x,y),都是 方程Ax+By+C=0的解,反之以方程Ax+By+C=0的解为坐标的点都在直线l 上那么方程Ax+By+C=0叫做直线l的方程,直线l叫做方程Ax+By+C=0的

直线.

主题一:直线方程的点斜式 【自主认知】

斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,

桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上
同一点的直线.据此考虑下列问题.

(1)已知某一斜拉索过桥塔上一点B,那么该斜拉索位置确定吗? 提示:不确定,从一点可引出多条斜拉索. (2)若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉索所在直线上的点 P(x,y)满足什么条件? 提示:满足

y?b (3)可以写出问题 ? (2) k. 中的直线方程吗? x?0
提示:可以,方程为y-b=k(x-0).

?根据以上探究过程,试着写出直线的点斜式方程: 1.已知直线过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线方程是____________. y-y0=k(x-x0) 2.过定点P(x0,y0),与x轴平行或重合的直线的方程为____;与y轴平行 y=y0 或重合的直线的方程为____. x=x0

【合作探究】 1.过点P(x0,y0)斜率为k的直线l的点斜式方程能否写成 y ? y0 =k的形式?
0 提示:不能,直线l上的点都满足y-y0=k(x-x0),而 y ? y =k不包含点 0

x?x

P0(x0,y0).

x ? x0

2.直线的点斜式方程能否表示直角坐标平面内的所有直线? 提示:不能.直线的点斜式方程的两要素为斜率 k与点P0(x0,y0),故只有

斜率存在的直线才能用点斜式表示.

【过关小练】 1.过点P(2,-1),斜率为 A.y-1= B.y-1= C.y+1= (x-2) 的直线的点斜式方程是 ( )

2

2

(x+2)

2 (x-2)

D.y+1= 2 (x+2)

【解析】选C.由点斜式方程的特点知此方程为y+1=

2

(x-2).

2

2.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则该直线的斜率为________. 【解析】由直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可知,直线l的斜率为k=3. 答案:3

主题二:直线方程的斜截式 【自主认知】 1.斜率为k,与y轴的交点为(0,b)的直线的点斜式方程是什么? 提示:由点斜式方程的特点知,斜率为k,过点(0,b)的直线点斜式方程 为y-b=k(x-0).

2.若把直线l与y轴交点的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距,那么直线l 的方程能否用该直线的斜率k与该直线在y轴上的截距b表示? 提示:可以,因为直线l过点(0,b)且斜率为k,故直线l的方程为y-b=k(x-0), 化简得y=kx+b,因此直线l的方程可以用k,b表示.

?根据以上探究过程,试着完成直线斜截式方程的有关定义及两直线
平行与垂直的条件.

1.直线的斜截式方程
(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则该直线的斜截式方 程为_______.

y=kx+b (2)直线 l在y轴上的截距是__.
b

2.两直线平行与垂直的条件
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,

(1)l1∥l2?k1=k2,且______. b1≠b2 (2)l1⊥l2?_______. k1k2=-1

【合作探究】 1.是否平面直角坐标系中任意一条直线都能用斜截式方程来表示? 提示:不一定,只有斜率存在的直线才能用斜截式方程来表示 . 2.直线的斜截式y=kx+b,k,b的几何意义是什么? 提示:k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.

【拓展延伸】直线方程的斜截式与一次函数的解析式的区别与联系 斜截式与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别,当 k≠0时,y=kx+b即为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,一次函数 y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程.

【过关小练】 1.直线y=-2x+3的斜率和在y轴上的截距分别是 A.-2,3 B.3,-2 C.-2,-2 ( )

D.3,3

【解析】选A.由斜截式方程y=kx+b的特点知k是斜率,b是在y轴上的 截距.

2.若直线l的倾斜角为45°,且在y轴上的截距为1,则直线l的斜截式方 程为____________. 【解析】因为k=tan45°=1,直线l在y轴上截距为1,故直线l的方程为 y=x+1. 答案:y=x+1

【归纳总结】 直线的点斜式与斜截式方程的关系 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b),它 们都不能表示斜率不存在的直线. (2)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟 一,而斜截式的形式是惟一的.

类型一:直线的点斜式方程

【典例1】求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点B(-1,4),倾斜角为135°.

(2)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
(3)经过点P(5,-2),且与y轴平行. (4)过P(-2,3)及(5,-4)两点.

1 3

x倾斜角的2倍.

【解题指南】求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率 ,所以,已知 直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标 ,均可求出直线的 方程.特别注意斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程 x=x0. 【解析】(1)直线的斜率为k=tan135°=-1. 由直线的点斜式方程得y-4=-(x+1).

即x+y-3=0.

(2)因为直线y= 1 x的斜率为 1 , 所以倾斜角为30°,

3

3
.

所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为
所以所求直线方程为y+3= (x-2),

3



x-y-2

-3=0.

3

3

3

(3)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5,故直线方程可记为x=5. (4)过点P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率kPQ=

又因为直线过点P(-2,3),

?4 ? 3 ?7 ? ? ?1. 5 ? ? ?2 ? 7

所以由直线的点斜式方程可得直线方程为 y-3=-(x+2),即x+y-1=0.

【规律总结】求直线点斜式方程的三个步骤 (1)找定点:确定直线要经过的定点(x0,y0). (2)定斜率:求出直线的斜率k. (3)写方程:由点斜式写出直线的方程.

【巩固训练】已知直线l过点A(2,-3). (1)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l′平行,求其点斜式方程. (2)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l′垂直,求其点斜式方程. 【解题指南】根据已知条件求出直线斜率,代入点斜式方程求解.

【解析】(1)由斜率公式得kl′= 因为l与l′平行,所以kl=-2.

2?4 ? ?2, ?3 ? ? ?4 ?

由直线的点斜式方程得y+3=-2(x-2).
(2)因为直线l′的斜率为k=-2,l与l′垂直,所以kl= ,由直线的点斜

式方程得y+3= (x-2).

1 2

1 2

【补偿训练】 1.(2015·嘉峪关高一检测)已知直线l1的倾斜角为30°,l1⊥l2且l2过点 P(-1,3),则直线l2的点斜式方程为________________. 2.直线l过点P(-2,3)且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的 中点,求直线l的点斜式方程.

【解题指南】1.先利用l1⊥l2求出l2的斜率k2,然后根据直线的点斜式 写出直线的方程. 2.先设出直线的斜率,再根据直线过定点写出直线的点斜式方程,根据 中点坐标公式求出直线的斜率,从而得出直线的方程.

【解析】1.因为直线l1的斜率为k1=tan 30°= 3 ,又因为l1⊥l2,所以 k1·k2=-1.所以k2=-

3

,

3
(x+1).

所以直线l2的点斜式方程为y-3=答案:y-3=(x+1)

3

3

2.设直线l的斜率为k,因为直线l过点(-2,3), 所以直线l的方程为y-3=k[x-(-2)],令x=0, 得y=2k+3;令y=0得x=- -2, 所以A,B两点的坐标分别为

3 k

B(0,2k+3).

3 A( ? ? 2,0), k 因为AB的中点为(-2,3),所以 ? 3 ?? k ? 2 ? 0 ? ?2, ? 2 ? 解得k= ,所以直线l的方程为? y-3= (x+2). 0 ? 2k ? 3 ? 3, ? ? 2 3 3 2 2

类型二:直线的斜截式方程 【典例2】已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1 平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的斜截式方程. 【解题指南】根据l∥l1确定l的斜率k,再由l与l2在y轴的截距相同确定

b,进而确定直线l的方程.
【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,

所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2.
所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.

【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变,试写出直线l的点斜式方程. 【解析】因为直线l1的斜率k1=-2且l∥l1,所以直线l的斜率为k=-2,由 题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,因此直线l过 点(0,-2),故直线l的点斜式方程为y+2=-2(x-0).

2.(变换条件)若把本例中的条件换为“l∥l2,且l与l1在y轴上的截距相 同”则结果又如何呢? 【解析】由斜截式方程知直线l2的斜率k2=4,又因为l∥l2,所以l的斜率 k=k2=4,由题意知l1在y轴上的截距为3,所以l在y轴上的截距b=3,由斜 截式可得直线l的方程为y=4x+3.

【规律总结】直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距, 代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出 直线的斜截式方程. 提醒:在利用直线的点斜式或斜截式求解直线方程时,注意直线的斜率

是否存在.

【补偿训练】直线l′的方程是y=

3

x+1,直线l的倾斜角比直线l′的

倾斜角小30°,且直线l过点(3,4),求直线l的斜截式方程. 【解析】已知直线y= x+1的斜率为kl′= ,

3 所以直线l′的倾斜角为60°,所以直线l的倾斜角为 30°,
设直线l的斜截式方程为y=kx+b,则k=tan30°= 又直线l过点(3,4),所以4= ,

3

3 ×3+b,所以b=4, 3 3
3

所以直线l的方程为y=

x- 3 +4.

3

3 3

类型三:两条直线的平行与垂直的应用 【典例3】当a为何值时, (1)两直线y=(a+1)x-2与y=(a-1)x+1互相垂直? (2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行? 【解题指南】(1)根据k1·k2=-1列出a的方程,然后解方程即可. (2)根据k1=k2,b1≠b2列出a的方程与不等式,然后求出a的值.

【解析】(1)因为两直线y=(a+1)x-2与y=(a-1)x+1互相垂直,

所以(a+1)(a-1)=-1,即a=0.
(2)因为两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行.

所以

?a 2 ? 2 ? ?1 ? ?4a ? 4

,即a=-1.

【规律总结】判断两条直线位置关系的依据 直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2. (1)若k1≠k2,则两直线相交. (2)若k1=k2,则两直线平行或重合, 当b1≠b2时,两直线平行;当b1=b2时,两直线重合. (3)若k1·k2=-1,则两直线垂直.

【巩固训练】已知直线l1:y=(2a-1)x-5,l2:y=4x+8. (1)若l1∥l2,求a的值. (2)若l1⊥l2,求a的值. 【解析】(1)由题意知k1=2a-1,k2=4, 因为l1∥l2,所以2a-1=4,所以a= .

5 (2)因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,所以a= . 2 3 8

【补偿训练】已知直线l:y= ? a x ? 2 与直线l′:y= 2 x ? 4 平行,且直线 l:y= a

2 与y轴的交点为(0,1),则a=________,b=________. ? x? b b 【解析】由直线y= a 2 与直线y= 2 4 平行,且直线l与y轴的交 x? ? x? 3 3 b b 点为(0,1),所以得 ? a 2 4 ? ? , ? ? ? b 3 ?a ? ? , 得? 3 ? 答案:2 ? 2 ? 1, ? b ? 2. ? ? ?b 4 3

b

b

3

3

拓展类型:平行直线系与垂直直线系 【典例】1.过点A(2,-3),且与直线y=-2x+5平行的直线l的方程为 ____________;与直线y=-2x+5垂直的直线l的方程为____________. 2.直线l:y=kx+b与直线l′:2x-y-4=0垂直,且直线l不过第三象限,试确 定k,b的值.

【解题指南】1.根据两直线的位置关系,可直接设出所求直线的方程, 再利用直线过点A,求出参数的值,进而求出直线的方程. 2.根据已知条件,l⊥l′,设出直线l的方程,再根据待定系数法求出k的 值,最后根据l不过第三象限,求出b的范围.

【解析】1.已知直线为y=-2x+5,由l与其平行,则可设直线l的方程为
y=-2x+b,又l过点A(2,-3),有-3=-2×2+b,所以b=1,所以直线l的方程

为y=-2x+1.由l与直线y=-2x+5垂直,则可设直线l的方程为y=

1 x+c, 2 y= x-4. 又l过点A(2,-3),有-3= ×2+c,所以c=-4,所以直线l的方程为 1 1 答案:y=-2x+1 y= x-4 2 2 1 2

2.由2x-y-4=0,得y=2x-4,因为l⊥l′,

所以直线l的方程可设为y=- 1 x+b,又直线l不过第三象限,所以b≥0.
所以k=-

1 2

,b≥0.

2

【规律总结】与已知直线平行或垂直的直线的设法技巧

若已知直线l:y=kx+b
①与直线l平行的直线系方程可设为:y=kx+b′;

②与直线l垂直的直线系方程可设为:y=若直线l的斜率不存在时

x+b′(k≠0).

1 k

①与直线l平行的直线系方程可设为:x=b′; ②与直线l垂直的直线系方程可设为:y=b′. 然后根据题中所给条件求出所设方程中的b′.


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