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新教师如何上好高中数学课课件


新教师如何搞好高中数学

教育教学工作

我讲三个方面
? 一.做一名好教师我觉得应具备两个条 件 ? 二.怎样做一名受学生欢迎的老师 ? 三.怎样做好教学:“六认真”

一。做一名好教师我觉得 应具备两个条件:
? A。把教师这个职业当成自己一生的事业, 用心去呵护。 ? B。具有丰富专业知识,良好的教学艺术。

二.怎样做一名受学生欢 迎的老师
? ? ? ? ? A、平等、尊重、热爱学生。 B、在学习上带给学生安全感的教师 (一)认真备课,常备常新。 (二)善于反思,勤于积累。 (三)研究教材,超越教材。

? ? ? ? ?

(四)研究教法,超越教法 (五)研究高考,超越高考 C、养成高效率、细致认真的工作作风。 D、人贵有自知之明,不断进取 E、塑造教师个人人格魅力

三.怎样做好教学:“六认真”
? ? ? ? ? A、怎样备课 (一)全面掌握教学内容 (二)深刻领会编者意图 (三)认真确定目的要求 (四)适当选择教学方法

B,怎样上好高中数学课:
(一)上课的基本要求是: ? 第一,充分体现素质教育的教学思想,面 向全体学生,使学生全面主动地发展。 ? 第二,要全面落实教学目标,做到突出重 点,突破难点,抓住关键。

? 第三,注意教学过程中进行学法指导。
? 第四,要充分发挥教师主导作用,激发 学生的学习兴趣,善于启发诱导学生, 要认真体现学生的主体地位,让学生有 更多的机会、有效地参与教学活动。

? 第五,要灵活恰当地选择运用教法,有 效地运用教具和演示实验,恰到好处地 采用现代化教学手段。

? 第三,注意教学过程中进行学法指导。
? 第四,要充分发挥教师主导作用,激发学 生的学习兴趣,善于启发诱导学生,要认 真体现学生的主体地位,让学生有更多的 机会、有效地参与教学活动。

? 第五,要灵活恰当地选择运用教法,有效 地运用教具和演示实验,恰到好处地采用 现代化教学手段。

? 第六,课堂教学结构合理、紧凑。要注重知 识的整体性和条理性;要使教学环节有机地 联系起来。 ? 第七,板书设计内容合理,条理清楚;形式 灵活,美观实用;书写规范,速度适宜。

? 第八,要使用广泛的教学语言,要使用普通 话和学科术语,严禁使用方言土语和非教学 语言。讲授语言要准确、清晰、通俗、生动, 具有条理性、启发性。

? 第九,要保证教学时间,按时上下课, 不迟到、不拖堂、不善离课堂,不做与 教学无关的事。未经学校同意,不得随 意增减课时,不得随意停课或串课。
? 第十,要衣着整齐,仪表端庄,举止大 方,教态亲切自然。 ? 第十一,要讲求效果。做到精讲多练, 短时高效,提高课堂教学效率,减轻学 生的课后作业负担。

(二)注重引入
? ? ? ? (1)问题引入的基本形式 1.复习提问式 案例1.如幂函数的引入 3 (1)请同学们思考,由算式8= 2 式。
8=23

可写成几种形

3=log28

2=

8

1 3

? (2)一般地,在等式N= a 中,如果固定a, x ? N随b的变化而变化,则建立了指数函数y= a ; 如果固定a,b随着N的变化而变化,则建立对数 函数y=logaX;请同学们思考,如果固定b,N随a 的变化而变化,那么建立了什么函数呢?

b

? 2.练习式 ? 案例2.如:直线的两点式方程 ? 安排一组习题让学生练习,通过对练习 题或解答结果的讨论引申、推广引入课 题。 ? 3.设疑式 ? 提出问题,让学生思考,使之百思不得 其解之后而产生迫切了解结果的强烈欲 望,在此基础上引入。

? 4.类比、对比式 ? 当新知识与已有知识具有某种相似性或联系时, 可通过类比或对比的方式引入课题。 ? 案例3.如在掌握等差数列有关知识的基础上可以 很方便地引出等比数列的相应内容。 ? 5.归纳式 ? 归纳式,是通过列举一些实例让学生观察、思考, 从中捕捉共性,从而形成概念,发现性质、定理、 公式的一种引入课题的方法。 ? 6.发现式 ? 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知识 和规律引入课题的方式。

? 4.类比、对比式 ? 当新知识与已有知识具有某种相似性或联系时, 可通过类比或对比的方式引入课题。 ? 案例3.如在掌握等差数列有关知识的基础上可 以很方便地引出等比数列的相应内容。 ? 5.归纳式 ? 归纳式,是通过列举一些实例让学生观察、思 考,从中捕捉共性,从而形成概念,发现性质、 定理、公式的一种引入课题的方法。 ? 6.发现式 ? 通过引导学生观察、操作、探究、发现数学知 识和规律引入课题的方式。

(2)问题引入的基本方法与途径
? 1.列举生活实例,提供生活原型。 ? 中学数学知识来源于现实世界,对这些知 识,要由学生所熟悉的日常生活或生产实 际中常见的事例引入。 ? 案例4.:提供日常生活中各种对应关系, 引入“映射”的概念;列举蝴蝶、人脸、 花朵,镜面反射,提供对称图形的原型。 这种方式有助于将各种现实材料和数学知 识溶为一体,实现“概念性的数学化”。

2.在已有概念的基础上引入问题
? 。 ? 案例5:在数列的基础上引入等差数列。 ? 这种当新概念是已知旧概念的一种概念时, 常给出一组反映已知概念的事例,让学生观察、 对比、辨析、发现这部分事例所具有的与其他 事例不同的共性,从而引入新概念。

? 3.另一种引入方法是在概括程度较高的 旧概念基础上,加入新的属性,通过逻 辑推演,直接引入新概念。 ? 4.如果在相对具体的概念基础上形成较 高层次的概念,那么常见的方式是提供 一些具体的、特殊的、直观的观察材料, 让学生分析其共性,抽象概括出新的概 念。 ? 案例6,通过观察一些函数的图象特征, 从而形成单调递增函数的概念。

(二)新课引入需要问题情境 的创设,让学生亲近数学
? 1 创设问题情境应遵循的原则 ? 1.1“问题”的有效性: ? (1)有效果;(2)有效率;(3)有效 益。

? 案例7:在比的意义这一课的导入中,有些 教师应用足球比赛进行新课的导入,有些教 师应用讲故事的行式进行新课的导入,这样 的导入当授课者真正提出这一节课来学习比, 恐怕学生还沉入热烈的足球比赛中,有趣的 故事中。如果授课者没有很好的教学功底很 难将学生的注意力引到课堂教学中来。其实 我们大可不必这么大费周折,而舍近求远。 你们认识比吗,你能写出一组比吗?看到比 你想到了什么?这难道不是一种既提出数学 问题同时高效的导入方法吗?

1.2针对性
? 问题情境应根据教学内容,抓住基本概 念和基本原理,紧扣教材的中心及重点、 难点设疑。

? 案例8,“平面的基本性质”一节的教学, 向学生提问:你能用数学的眼光来分析 下列问题吗? ? (1)怎么检验教室的地面铺得平不平? (2)为什么用来作支撑的架子大多数是 三角架? ? (3)为什么只要装一把锁门就能固定? 通过这一系列的问题的作答、体悟,把 这节课的重点、难点逐步引入,从而调 动了学生探究的主动性。

1.3启发性
? 案例9,高中教材不等式证明的例题时, 由于是阴雨天,教室内的光线较暗,于 是笔者用以下问题作引入:大家知道, 建筑学上规定:民用建筑的采光度等于 窗户面积与房间地面的面积之比,但窗 户面积必须小于地面面积,采光度越大 说明采光条件越好。试问增加同样的窗 户面积与地面面积后,采光条件是变好 了还是变坏了?为什么

? 学生很快进入了探索状态,并找到了问 题所隐含的数学模型:若窗户面积为a, 地面面积为b,则a<b,设共同增加的 面积为m,问题即转化为比较 与 的大小问题。由于有了实际问题背景, 同学们的探究热情异常高涨,比较法、 分析法、综合法、构造函数法、定比分 点法,数形结合法等十几种方法竟相出 现。在解题回顾中,师生还共同对问题 进行了引申、推广及相应证明,从而增 强了学生探究的信息和勇气,领略了成 功的喜悦和创造的快乐。

1.4挑战性。
? 提出的问题难度要适中。问题太易,学 生会产生厌倦和轻视心理;太难,学生 会望而生畏。即教师提出的问题应接近 学生的“最近发展区”,使学生能够 “跳一跳,摘果子”。

? 案例10,在教学“无穷等比数列各项和” 时,把教材上等比数列的一道习题作改 造,让学生解答:一个球从10米高处自 由落下,每次着地后又跳回到原来高度 的一半再落下。到它停止时,共经过了 多少米?当学生求得n次着地时,共经过
? 了

? (米)。

? 球着地多少次后,球才会停止呢?学生 的探究受到了挫折,但大家又能猜出小 球停止时,共经过了30米。通过多媒体 的动画设计,学生能更生动真切地感悟 到有限与无限、精确与误差、运动与静 止的极限过程,从而对无穷等比数列各 项和有了深刻的领悟。

1.5明确性
? 设计的问题要小而具体,避免空洞抽象。 可把有一定难度的问题分解成几个有内 在联系的小问题,步步深人,使学生加 深对知识的理解。

? 案例11,在教学“直线与方程”这节课 时,分别向学生提出以下问题:(1)集 合 ? 表示什么?(从数形两个方 面去理解)(2)集合 是否表 示一、三象限角平分线上点的集合?集 合 呢?(感悟直线方程 定义中的纯粹性与完备性两者缺一不可) (3)集合A、B分别表示什么意义?随 着这几个具体问题的思考、讨论、比较 和总结,学生的思维逐步逼近直线与方 程概念的本质特征。

1.6趣味性
? 新颖、奇特而有趣的问题容易吸引学生 的注意,调动学生的情绪,学生学起来 兴趣盎然。

怎样创设有趣的问题情境: a、联系生活实际
? 联系学生的生活实际,创设问题情境, 学生可以利用自己的生活经验,进行自 主探索。

? 案例12.“球面距离”概念教学 ? 就球面距离定义的合理性来说,其存在性和唯 一性是显而易见的,但关键是最小性的讨论, 即球面上任意两点,经过它们怎样的一段弧最 短呢?为什么是一段大圆弧呢?笔者在教学中 发现不少学生有疑问的。为此在教学中引用生 活中的实例导入球面距离这一概念,挂出一幅 世界地图,并介绍这样一个事例:1993年4月, 上海东方航空的一架班机在从上海飞往洛杉矶 的途中遇强气流,使飞机上下颠簸造成部分乘 客受伤,飞机被迫在阿拉斯加紧急降落。请一 位同学到黑板前将飞机的飞行路线以及阿拉斯 加的位置在黑板上画出来,并请同学们观察一 下飞行的路线。

? 案例13、打折问题 在“均值不等式”一节的教学中,有如 下一个“问题情境”: 有甲、乙两个超市同时进行降价活动, 分别采用两种降价方案:甲超市第一次打 m折销售,第二次打n折销售;乙超市两次 都打(m+n)/2折销售。请问:哪个超市的 价格更优惠? 。

b、生动的故事:
? 学生喜欢听故事,生动有趣的故事,能 激发学生的学习兴趣

? 案例14.在讲黄金分割时先向学生介绍实 际知识,科学家发现当外界环境温度为 人体温度的0.618倍时,人的感觉得舒适; 意大利著名画家达.芬奇创作了许多稀世 珍宝,他称他的作品在涉及比例关系时, 经常用到0.618(如人体身高与肚脐以下 的长度比),正是他把0.618誉为“黄金 分割”。德国天文学家数学家凯普勒把 黄金分割视为几何学中的宝藏之一,那 么到底什么是黄金分割呢?这就激发了 学生的学习兴趣。

案例15. “等比数列前n项和”公式教学
? 可设计这样一个趣味问题 ? 从前有这么一个故事:有人卖了一匹马得300元 钱,但是买主买了以后又翻悔了,退还给卖主说: “这价钱买你这匹马不合算。这马根本不值这么多 钱。”于是卖主提出新的条件:“如果你嫌这马价 钱贵,那你就只买它的马蹄铁上的钉子好了,马可 以白送。每一个马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子 只要给我1分钱,第二个钉子2分钱,第三个钉子4 分钱,这样类推下去。” ? 买主被这廉价打动了,心想白得一匹马,就接受 了卖主的条件,心里估计着钉子总共花不了10 元 钱。

案例16.“函数”概念教学
? 从一个有趣的“绕圈子”问题谈起(投影显示): 在世界著名水都威尼斯,有一个马尔克广场,广 场的一端有一座宽 82米的雄伟教堂,教堂的前 面是一方开阔地,这片开阔地经常吸引着四方游 人到这里来做一种奇特的游戏,先把眼睛蒙上, 然后从广场的一端走向另一端去看谁能到教堂的 正前面,你猜怎么着?尽管这段距离只有175米, 竟没有一名游客能幸运地做到这一点,他们都走 了弧线或左右偏斜到了另一边。

? 案例17.在教学独立事件同时发生的概率时,
? 三个臭皮匠顶一个诸葛亮(独立事件同时发 生的概率) ? 俗话说:三个臭皮匠顶一个诸葛亮,能顶上 吗? ? 三个臭皮匠能答对题目的概率分别为50%, 45%,40%,诸葛亮能答对题目的概率为 80%,如果将三个臭皮匠组成一组与诸葛亮 比赛,各位选手独立解题,不得商量,团队 中只要有一人解出即为获胜,答对题目快者 为胜,问哪方胜。

c、有趣的游戏
? 学生喜欢做游戏,简短有趣的游戏也能 激发学生的学习兴趣 ? 案例18:汉诺塔问题

? 起源传说:相传在盘古开天辟地创造世界之初,便 在印度贝纳雷斯的一座寺庙的一块红木板上插了三 根钻石棒,并在其中的一根棒上安放了64枚纯金 圆盘。有一个婆罗门门徒不休不眠地赶到庙里来, 然后又费尽了千心万苦把这64个金灿灿的圆盘移 到另一根钻石棒上。等到七七四十九天后,婆罗门 门徒终于完成了这项工作,刚要松口气,但只听 “轰咙”一声巨响,寺庙、门徒以及世界全都崩溃 了!(说得够玄的吧!其实,解开此游戏后,你有 的是成功的喜悦和无限的得意) 规则: ①一次只能移一个盘子; ②盘子只能在三 个柱子上存放; ③任何时候大盘不能放在小盘上面。 (移动圆片的次数)

不管这个传说的可信度有多大,如果考虑一下把64片金 片,由一根针上移到另一根针上,并且始终保持上小下大 的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假 设有n片,移动次数是f(n).显然f⑴=1,f⑵=3,f⑶=7,且 f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时, f(64)= 2^64-1=18446744073709551615 假如每秒钟一次,共需多长时间呢?一个平年365天 有 31536000 秒,闰年366天有31622400秒,平均每年 31556952秒,计算一下, 18446744073709551615/31556952=584554049253. 855年这表明移完这些金片需要5845亿年以上

d、动手实际操作
? 创设让学生动手操作的情景,引导学生探索新 知识案例 ? 19.在上“锥体体积”的习题课时,向学生提 出了这样一个问题:在米仓量米处,有一个V 形漏斗,你可以采用两种方案来量米,一种是 一次性把漏斗装满,另一种是把米装到漏斗高 度的一半,但可以量七次。你准备采用哪种方 案? ? 学生对此感到新奇有趣,急欲找到答案,思维 一时活跃起来,从开始的猜想和争论,到动手 计算和探究(锥体平行于底面的截面的性质), 学生既运用了知识,又发展了解决问题的能力。

e.根据学生认识规律,创设阶梯型 问题情境
? ? ? ? ? ? ? ? 案例20:探究性问题 观察下表: 1 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … … 求第n行各个数之和。

2 创设问题情境的常用形式
? 2.1 创设类比情境 ? 案例21.以“复数的有关概念”为例,设计了以下问题 与实数作类比,供同学们探究:
? 问题一:对于任意一个实数,它是由一个量来表示的,两个实数相等, 即表示两实数的量相等。对于任意一个向量,它是由大小和方向两个量 来表示的,两个向量相等,即表示向量的这两个量都相同。那么,对于 两个复数,你认为满足什么条件,可以说它们相等? 问题二:对于实数,我们找到了一个几何模型------数轴(一条规定了正 方向、原点和单位长度的直线)------用数轴上的点来表示实数,并且使 它们一一对应。你能否找到一个几何模型,用它来表示复数? 问题三:实数绝对值的几何意义是指实数a在数轴上所对应的点A到原点 O的距离。能否把绝对值概念推广到复数范围呢?

? ?

? 问题四:两个实数如果不等,则它们一定有大小之分,如果两个 复数不等,它们可以比较大小吗?认为可以者,请拿出进行比较 的方法;认为不可以者,请说明理由。

2.2 创设直观情境。创设直观 性问题情境,加深概念理解深度
? 案例20.以“函数周期性”的教学为例, 我们列出了以下背景材料供学生探究时 思考:什么叫周而复始?地球自转的周 期是多少?地球公转的周期是多少?物 理中是怎样定义周期的?正弦函数的图 象是怎样形成的?

案例23.“充要条件”概念教学
? 充要条件是高中数学中的一个重要概念,并且也是 教与学的一个难点。新教材又将此概念由原来的高 二《解析几何》中的内容移至高一《集合与简易逻 辑》之中,对于高一学生来说,要正确而又深刻地 理解这一概念还是有很大的困难。在教学此概念的 过程中,笔者采用了如下四个电路图(如图3),视 “开关A的闭合”为条件A,“灯泡B亮”为结论B, 给充分不必要条件、C。充分必要条件、D。必要不 充分条件、既不充分也不必要条件以十分贴切、直 观的诠释,学生兴趣盎然,从而对“充要条件”的 概念理解得入木三分。

2.3 创设猜测情境
? 案例24,在讲反正弦与反余弦函数之间 的关系时,我并没有直接给出教材上例 题的结论,而是让学生大胆猜想。

? 案例25.在讲例题“现有5件不同的奖品分给4名先进工作 者,每人至少一件,问共有多少种不同的分配方案?”时 ? 一位学生的分析具有代表性:由于每人至少一样,故先从 5件奖品中选出4件分别分给4人,剩下1件奖品分给4人中 任何1人,故共有 (种)。这种思路类似于“排列问题”中 的位置分析法,因而得到几乎所有同学的认可,说明错误 具有隐蔽性和普遍性。没有直接指出错误与否,而是引导 学生从简单问题着手,即把奖品数改为3件、人改为2人, 学生利用列举法得出共有6种分法,但按上述解法应有 (种)。学生感觉到解法有问题,经过一番探究反思,终 于发现原来5件奖品中任意选4件分给4人,如4件奖品为 且剩下1件奖品为e和4件奖品为 且剩下1件奖品a,会产生 a与 分别分给4人的重复现象。如何修正答案?大家悟出 利用元素的相互对应关系,只要在原有基础上除以2即可, 这也为“概率”的学习埋下了伏笔。当然本题也可先从5 件奖品中任取2件“捆绑”成一个大元素与剩下3件奖品 分别给4人,故共有 (种)。这里创设故错情境不但诱发 了学生积极探究,而且提高了解题的“免疫力”。

2.4 创设故错情境

2.5 创设动态情境
? 案例26,在解决问题“就m的变化,讨论方程 所表示 的曲线的形状变化 ”时, ? 引导学生通过数轴来发现“变质点”,结合计算机屏 幕上显示的曲线形状与颜色的变化 ? 描述曲线的动态美:当m<0时,随m的增大,焦点在 Y轴上的双曲线开口渐渐张大,则突变为两条行线于x 轴的直线,把两直线慢慢弯成扁椭圆(0<m<1), 再把椭圆似皮球般充气,逐渐鼓起为圆(m=1),进 行裂变为两平行于Y轴的直线(1<m<2),最终变成 焦点在x轴上的双曲线(m>2)。 ? 学生陶醉于这一优美的动态情境之中,流连忘返,从 而在学生的记忆深处打下深深的烙印。从屏幕的变化 过程中,一位学生举手要求发言,原来他凭直觉大胆 作出猜测:该曲线族绕着四个定点在变动。通过探讨, 即把方程化为 ,即求得四个定点的坐标为 。这一意 外的发现再次把教学引向了高潮,而灵感的涌动与计 算机创设的动态情境密切相关。

3. 创设情境的注意点
? 3.1、贴近学生的认知水平。 ? 3.2情节材料要自然、真实。 ? 3.3、要让学生自己动手操作、实践、 开展思维、产生问题 ? 3.4利用学生好奇心理,创设悬念型问题 情境。案例27:椭圆“第二定义”的教 学片段

(三)、 重动手操作,让 学生体验数学。

? (四)、 重自主探索,让学生“再创造” 数学

? (五)、重生活应用,让学生实践数学。

C,如何批改数学作业
? ? ? ? 1、重点抽查: 2、集体订对: 3、学生自改、互改、组长检查: 4、信息小组及时做好信息交流。

? D,认真对待学生提出的问题

E,搞好期末复习
? (一) 紧扣教材,抓住数学基础知识, 基本技能和基本方法的复习。 ? (二)、加强数学知识的辨析比较和灵 活运用,做到理解 ? (三)、讲究数学复习的一般方法,引 导学生课前预习、课后复习、多做练习。

F,搞好数学课外活动…
? 案例29,分油问题,有一个装满油的8 公升容器,另有一个5公升及3公升的空 容器各一个,且三个容器都没有刻度, 试将此8公升油分成4公升。.

案例30.杯子翻转问题
? 原题目是:a只杯子杯口向上(称顺杯), 每次翻动其中b只(a≥b),能否通过若 干次操作,使全部杯口向下(称倒杯)。 研究的是最少几次操作?(a=bq+r,a >b>r≥0)首先a奇,b偶,r奇时无解, 不再阐述,只有b为奇时或a、b同为偶 时有解。

? 1.当r=0时,a=qb,显然最少q次操作 完成。 ? 2.当r≠0,b与r同偶且q=1时:a=b+r (a>b>r)最少3次操作完成。方法如 下:

? 3.当r≠0时,b与r同是奇数,且q=1时: (这种情况最复杂): ? 由a=b+r知:a是偶数,如能全部翻 成倒杯,则每只杯必须是翻奇数次,设每 只各翻动了:k1,k2,k3,……ka次,共 操作了n次,则有: ? k1+k2+k3+……+ka=n×b① ? 由于a是偶数,b是奇数,故n是偶数。 设n=2k,则有:k1+k2+k3+……+ ka=2k×b② ? 由此知道,共操作了2k次。

? 又每只必翻奇数次,且次数不超过操作 次数2k,设k1,k2,k3……ka中最大值 是2k-m(m是自然数),则有a×(2k -m)≥k1+k2+……+ka=2k×b ? 即a×(2k-m)≥2k×b

? 4.当r≠0,b+r为偶数,q≥2时,最少操作q+1 次才能完成。 ? 方法:①先翻q-1次,使(q-1)×b只 杯翻动一次,余b+r只。 ?

? 5.当b为奇,r为偶时(b偶,r奇,则a奇 无解) ? 最少q+2次操作完成。方法如下: a=qb+r讨论完毕,现就第三类举一实例 说明操作方法:当a=100,b=89时

? 奇数,使其和为890(用假设法求), 其中一个答案是:5个7、95个9,因 7×5+95×9=890。故得对应操作方 法是:将杯子从1—100编号。①先较均 匀地连翻动8次。这时翻了8次的杯子有 89×8-100×7=12(只),翻了7次的 杯有100-12=88只。假设1—12号杯各 翻了8次,其余都是7次。②留下96号— 100号5只只翻了7次的不动,将7-95 号翻动一次。③将1-6号和13-95号翻动 一次。

? 这样只有96-100号翻了7次,其余各杯 均翻了9次。由于篇幅有限,不再举例。 总之,照上面方法,对于确定的n的取值, 先用假设法求出一组符合条件的奇数, 根据这组奇数的取值,很容易找到一个 对应的操作方法。注意,奇数取法不同, 具体操作方法也不同,同一个题,奇数 的取法有多种,每种取法都对应着一种 不同的操作方法。

? 案例32,球垛问题,
? 1、百层球垛问题 ? 这个球垛第一层有一个球,第二层有三个,第三层 有6个,第4层有10个,求第N层有多少个 ? a1=1 a2=3=1+2 a3=6=3+3 a4=10=6+4 a5=15=10+5 an=a(n-1) + n a1=1 a2=a1+2 a3=a2+3 a4=a3+4 a5=a4+5 .. an=a(n-1) + n 等式 左右相加 ? a1+a2+a3+a4+...+an= a1+a2+...+a(n-1)+ 1+2+3+...+n ? an=(1+n)n/2

? 2、 正四面体球垛问题
?

? 自上而下各层的小球数依次为: 1 = 1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1+2+3+4 ... n(n+1)/2 = 1+2+3+...+n 垛中共有:

弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛, 使剩下的弹子尽可能少,那么剩余的弹子有( ) A、0颗 B、4颗 C、5颗 D、11颗

? S=∑(k=1,n)[n2/2 + n/2] = n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)/4 令 n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)4 ≤ 60 < (n+1)(n+2)(2n+3)/12 + (n+1)(n+2)4 解得 n ,再求余数。 直接排,简单哩: 1+3+6+10+15+21 = 56 < 60 1+3+6+10+15+21+28 = 84 > 60 所以,垒6层,余4颗

? 案例33,2160的所有正约数和,
小于根号2160的约数有 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,27,30,36,40,45, 所以共有20*2=40(个) ? 或者把2160分解质因数,有2160=24*33*51,根据分步 计数原理(乘法原理),2160的约数的个数是(4+1) *(3+1)*(1+1)=40. ? 和为:(20+21+22+23+24)*(30+31+32+33)*(50+51) =

? 案例35,n条直线最多将平面分成几部分。 ? 1条直线最多将平面分成2个部分;2条直线最多将平 面分成4个部分;3条直线最多将平面分成7个部分; 现在添上第4条直线.它与前面的3条直线最多有3个 交点,这3个交点将第4条直线分成4段,其中每一段 将原来所在平面部分一分为二,所以4条直线最多将 平面分成7+4=11个部分.
完全类似地,5条直线最多将平面分成11+5=16个部分; 6条直线最多将平面分成16+6=22个部分;7条直线最 多将平面分成22+7=29个部分;8条直线最多将平面 分成29+8=37个部分.

一般地,n条直线最多将平面分成2+2+3....+N=1/2 (N2+N+2 )

数学教学中,总结如下经验
? ? ? ? ? ? ? ? 复杂之中抓简化,平凡之中抓奇异。 简单之中抓深刻,零散之中抓联系。 特殊之中抓一般,抽象之中抓实例。 结论之中抓过程,枯燥之中抓情趣。 演绎之中抓归纳,猜测之中抓根据。 活跃之中抓落实,成功之中抓反思。 选择之中抓秀美,粗略之中抓精细。 推理之中抓动因,导入之中抓问题。


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