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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二6)


2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
1.

众数、中位数、平均数

2. 极 差、标准差、方 差

一 众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组数据 的集中趋势的特征数,只是描述的角度不同, 其中以平均数的应用最为广泛. 众数:在一组数据中,出现次数最多的数 据叫做这组数据的众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处 在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的 平均数)叫做这组数据的中位数. 平均数: 一组数据的算术平均数,即

x=

1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n

【练 习】
1、10名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15, 16, 14, 17, 15, 17, 17, 16, 14, 12, 求其平均数,中位数,众数。

解:将这组数据从小到大重新排列,得 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17 可知,中位数为b=15.5 ,众数为c=17 12 ? 14 ? 14 ? 15 ? 15 ? 16 ? 16 ? 17 ? 17 ? 17 平均数为 a ? =15.3 10

二 、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数的估计值在样本数据的频率分布直方图中, 就是最高的矩形的中点. 例如,在上一节调查的 频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0.5 0.44 0.3 0.16 0.08 0.28 0.12

100位居民的月均用水量 的问题中,从这些样本 数据的频率分布直方图 可以看出,月均用水量 的众数是 2.25t.
0.08 0.04

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t

2、在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50% 的个体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位 数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数 的估计值. 中位数左边立方图的小矩形面积为0.5 分析: 0~2的小矩形面积之和为: 0.5×(0.8+0.16+0.30+0.44)=0.49 频率/组距 0.5-0.49=0.01 0.01/0.5=0.02

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

0.5

0.44 0.3 0.16 0.08 0.28

如图在直线t=2.02之前所有小 矩形的面积为0.5,所以该样本的中位
数为2.02

0.12

0.08 0.04

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t

3、平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以底边中点的横坐标之和.

频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0.5 0.44 0.3 0.16 0.08 0.28

左图显示了居民月 均用水量的平均数:

x=2.02t
0.12 0.08 0.04

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量 /t

三、 众数、中位数、平均数的简单应用
例 某工厂人员及工资构成如下:
人员 周工资 人数 合计 经理 2200 1 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 100 1 100 合计 23 6900

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗?为什么?

解:众数为200,中位数为220,平均数为300。
因平均数为300,由表格中所列出的数据可见, 只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下, 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其 数学成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到 如图 15-1-3 所示的部分频率分布直方图. (1)估计本次考试的平均分

四、三种数字特征的优缺点 :
(1)众数体现了样本数据的最大集中点,但它显然对 其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。 (2)中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受 少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点, 但它对极端值不敏感有时也会成为缺点. (3)由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任 何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这 是众数、中位数都不具有的性质。但平均数受数据 中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可 靠性降低。

? 标准差

平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平 均有时也会使我们作出对总体的片面判断.因为这个 平均数掩盖了一些极端的情况,而这些极端情况显然 是不能忽的.因此,只有平均数还难以概括样本数据 的实际状态.
如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每 次命中的环数如下:
甲:7 乙:9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 7 4

如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 ? 7,x 乙 ? 7 两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什 么差异吗?
? ?

频率

频率 0.4

0.3 0.2 0.1

0.3 0.2
0.1 环数 4 5 6 7 (乙) 8 9 10

4

5

6 (甲)

7

8

9

10

环数

直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散, 乙成绩相对集中(如上图所示). 因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组 数据. 例如:在作统计图表时提到过的极差.

甲的环数极差=10-4=6

乙的环数极差=9-5=4.

它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度

考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差. 标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示.
? ? ? 1? 2 2 2? s? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x ? x ) . 1 2 n ? ? n? ?

用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差
s甲 ? 2,s
s甲 ? s乙


? 1? 095

由 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成 绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.

标准差
标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示.
? ? ? 1? 2 2 2? s? ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? ? ? ( x ? x ) . 1 2 n ? ? n? ?

反映了样本数据的分散程度.

【练 习】
1、计算数据5,7,7,8,10,11的标准差 5 ? 7 ? 7 ? 8 ? 10 ? 11 ?8 解: x ? 6
1 s? [(5 ? 8) 2 ? (7 ? 8) 2 ? (7 ? 8) 2 ? (8 ? 8) 2 ? (10 ? 8) 2 ? (11? 8) 2 ] 6 1 ? (9 ? 1 ? 1 ? 0 ? 4 ? 9) 6
? 4 ?2

2、

方差
从数学的角度考虑 , 人们有时用标准差的平 方s 2 ? ?方差来代替标准 作为测量样本数据分散 程度的工具:
? ? ? 1? ? 2 2 s ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) 2 ?. n? ? 2

在刻画样本数据的离散程度上,方差和标准差是一样的. 但是在解决实际问题时,一般采用标准差

【练 习】
3、某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装 传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其重量,分 别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99.

乙:110,115,90,85,75,115,110.
(1)这种抽样方法是那一种?

(2)估计甲、乙两个车间产品的平均数与方差,并 说明哪个车间产品

解:(1)系统抽样;
102 ? 101 ? 99 ? 98 ? 103 ? 98 ? 99 ? 100 (2) x甲 ? 7 110 ? 115 ? 90 ? 85 ? 75 ? 115 ? 110 x乙 ? ? 100 7 1 2 s甲 ? ? [(102? 100) 2 ? (101? 100) 2 ? (99 ? 100) 2 ? (98 ? 100) 2 ? 7 (103? 100) 2 ? (98 ? 100) 2 ? (99 ? 100) 2 ] 1 ? ? (4 ? 1 ? 1 ? 4 ? 9 ? 4 ? 1) ? 3.43 7 1 2 s乙 ? ? [(110? 100) 2 ? (115? 100) 2 ? (90 ? 100) 2 ? (85 ? 100) 2 ? 7 (75 ? 100) 2 ? (115? 100) 2 ? (110? 100) 2 ] 1 ? ? (100 ? 225 ? 100 ? 225 ? 625 ? 225 ? 100 ) ? 228 .57 7 2 2 ? s甲 ? s乙 ?甲车间产品较稳定 .

【例题精析】 例:农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的 两块稻田连续6年的年平均产量如下: 甲:900,920,900,850,910,920 乙:890,960,950,850,860,890 那种水稻的产量比较稳定?

[分析]采用求标准差的方法。

【例题精析】
对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了 6次测试,测的他们的最大速度的数据如下:

甲 乙

27 38 33 29

30 37 38 34

35 31 28 36

试判断选谁参加某项重大比赛更合适.

小结:
1. 众数、中位数、平均数的概念 2. 众数、中位数、平均数与频率分布直方图 的关系 3. 三种数字特征的优缺点

4. 什么是标准差?
5. 如何利用标准差刻画数据的离散程度?

作业:P79练习1、2、3


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