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柱锥台球的结构特征教案


1.1 空间几何体的结构
一、提出问题 (1)过 BC 的截面截去长方体的一角,截去的 几何体是不是棱柱,余下的几何体是不是棱柱? (2) 观察长方体,共有多少对平行平面? 能作为棱柱的底面的有几对?

(1) 观察右边的棱柱,共有多少对平行平面? 能作为棱柱的底面的有几对?

(4)棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗? (5)棱柱两个互相平行的面以外的面都是平行四边形吗?

(6)为什么定义中要说“其余各面都是四边形,并且相邻 两个四边形的公共边都互相平行, ”而不是简单的只说“其 余各是平行四边形呢”?

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例 1 下列命题中错误的是(



A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所有 过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角 形

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【解析】圆锥的母线长相长,设为 l,若圆锥截面三角形顶角为 ? ,圆锥轴截面三角形顶角为 ? ,则 0< ? ≤ ? . 当 ? ≤ 90°时,截面面积 S = 故选 B. 例 2 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等 的正六边形,其它各面都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180° 形成的封闭曲面所围成的图形.
1 2 1 1 1 l sin? ≤ l 2 sin? . 当 90°< ? <180°时.截面面积 S≤ l 2 ? sin 90? ? l 2 , 2 2 2 2

【分析】要判断几何体的类型,首先应熟练掌握各类几何体的结构特征. 【解析】 (1)如图 1,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使 每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱. (2)如图 2,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直 角梯形旋转 180° 形成半个圆台,故该几何体为圆台. 点评:对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据 圆柱、圆 锥、圆台的结构特征进行判断.
图1 图2

例 3 把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是 1:4,母线长是 10cm,求圆锥的母线长. 【分析】 画出圆锥的轴截面,转化为平面问题求解.

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【解析】 设圆锥的母线长为 ycm,圆台上、下底面半径分别是 xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面
1 如图. 在 Rt△ SOA 中,O′A′∥ OA,∴SA′∶SA= O′A′∶OA,即(y-10)∶y=x∶4x. ∴y=13 . 3 1 ∴圆锥的母线长为 13 cm 3

【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边 的腰所在的直线为旋转轴,其余 各边旋转而 成的曲面所围成的几何体,其轴截面分别是矩形、等腰三角形、 等腰梯形,这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素,处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.

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