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(全国通用)高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十一节导数在研究函数中的应用习题理【含答案】

第十一节 [基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 导数在研究函数中的应用 1. (2015·内江一模) 已知函数 f(x)= x3- x2+cx+d 有极值,则实数 c 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 1.A 【解析】由题意可知 f'(x)=x -x+c=0 有两个不同的实根,所以 Δ =1-4c>0,即 c< . 2 2. (2016·湖南师大附中月考) 函数 y= 的图象大致为 ( ) 2.D 【解析】由 y= 得 y'= ,因此可知函数 y= 在区间(0,1),(1,e)内单调递减, 在区间[e,+∞)上单调递增,故选项 D 正确. 3. (2015·北京海淀区期末考试) 已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≤0 时,f(x)=(x+1) e ,那么函数 f(x)的极值点的个数是 A.5 B.4 C.3 2 x+1 3 x+1 ( D.2 ) 3.C 【解析】当 x≤0 时,f'(x)=(x+1) e (x+4), 令 f'(x)=0 解得 x=-1 或 x=-4, 又当 x∈(-4,-1)∪(-1,0)时.f'(x)>0,故 x=-1 不是 f(x)的极值点;当 x∈(-∞,-4) 时,f'(x)<0,当 x∈(-4,0)时 f'(x)>0, 故 x=-4 是 f(x)的一个极值点. 又因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数. 所以当 x>0 时,x=4 为 f(x)的一个极值点, 1 所以 f(x)在 x=0 左右两侧函数的单调性不一致, 故 x=0 也为 f(x)的一个取值点, 综合可得 f(x)的极值点个数为 3 个. 4. (2016·福建大田一中月考) 已知函数 f(x)=ln x- -ax-b,若函数 f(x)在区间(0,+∞)上单 调递增,则实数 a 的取值范围为 A.(-∞,0) C. B.(-∞,0] D. ( ) 4.B 【解析】由 f(x)=ln x- -ax-b,得 f'(x)= -a,因为函数 f(x)在区间(0,+∞)上 单调递增,所以对? x∈(0,+∞),都有 f'(x)= -a≥0 恒成立,即对? x>0,都有 a≤ ,因为 >0,所以 a≤0,所以实数 a 的取值范围是(-∞,0]. tx x 5. (2016·湖北龙泉中学、宜昌一中联考) 已知函数 f(x)=xe -e +1,其中 t∈R,e 是自然对数 的底数.若方程 f(x)=1 无实数根,则实数 t 的取值范围为 A. B. ( ) C. D. 5.B 【解析】由 f(x)=1 得 xetx=ex,即 x=ex(1-t)>0,∴f(x)=1 无负实根,故有 =1-t.令 g(x)= ,则 g'(x)= ,由 g'(x)>0 得 0<x<e,由 g'(x)<0 得 x>e,∴g(x)在(0,e)内单调递 增,g(x)在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e)= ,∴g(x)的值域为 .要使得方程 f(x)=1 无实数根,则 1-t> ,即 t<1- . 2 6.若函数 f(x)=是 A.4 eax(a>0,b>0)的图象在 x=0 处的切线与圆 x2+y2=1 相切,则 a+b 的最大值 ( B.2 C.2 D. ) 6.D 【解析】由 f(x)=- eax(a>0,b>0)得 f'(x)=- eax,因为当 x=0 时,f(x)=- ,所以切点 为 ,k=- ,故切线方程为 y+ =- x,即 ax+by+1=0.由于切线与圆 x2+y2=1 相切,所以 d= =1 即 a2+b2=1,所以 ,即 a+b≤ (当且仅当 a=b 时等号成立). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a= . 7.3 【解析】f'(x)= ,由 f(x)在 x=1 处取得极值知 f'(1)=0,解得 a=3. 2 8. (广东汕头金山中学期中考试) 已知函数 f(x)=x -(a+2)x+aln x,则函数 f(x)在 a>2 时的单 调递增区间为 8.(0,1)和 . 【解析】由 f(x)=x -(a+2)x+aln x 可知,函数的定义域为{x|x>0}, 2 且 f'(x)=2x-(a+2)+ ,因为 a>2,所以当 0<x<1 或 <x 时,有 f'(x)>0,故 f(x)的单调递增区间为(0,1)和 . 9. (2015·西北师大附中三诊) 已知函数 f(x)= x3+ax2+2bx+c 有两个极值点 x1,x2,且 . -1<x1<1<x2<2,则直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率的取值范围是 3 9. 【解析】由题可知 f'(x)=x2+2ax+2b,故 x1,x2 为方程 x2+2ax+2b=0 的两根,且 -1<x1<1<x2<2,所以 而直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜 率为 k= ,其表示不等式组①②③构成的平面区域内的动点 P(a,b)到定点(1,0)的连线的 斜率,利用线性规划知识易求得 k= 三、解答题(共 10 分) . 10.(10 分) (2015·新课标全国卷Ⅱ) 已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 若 a≤0,则 f'(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调递增. 若 a>0,则当 x∈ 时,f'(x)>0;当 x∈ 时,f'(x)<0,所以 f(x)在 单调递 -a. 增,在 单调递减. (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)无最大值; 当 a>0 时,f(x)在 x= 取得最大值, 最大值为

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