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高一数学ppt课件 直线的点斜式方程课件3_图文

3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程

1.直线的点斜式方程的形式是什么?适用范围是什
问题 引航 么? 2.直线的斜截式方程的形式是什么?适用范围是什

么?截距的定义是什么?

直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式

适用范围
已知条件

斜率存在
点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b

图示

方程

____________

_______

截距

直线 l与 y 轴交点) (0,b)的________ y-y =k(x-x y=kx+b 0 0 叫做直线l在y轴上的截距 纵坐标b

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0°时,过(x0,y0)的直线l的方程为y=y0. ( (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一 概念. ( ) ) )

(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线.(

【解析】(1)正确.当直线的倾斜角为0°时,此时tan0°=0,即 k=0,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程就是y-y0=0即y=y0. (2)错误.距离和截距是两个不同的概念,距离非负,而截距是一 个数值,可正、可负、可为零. (3)正确.只能表示斜率存在的直线. 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过点P(-1,2),倾斜角为60°的直线的点斜式方程 为 . x,直线l的斜率是 ,在y轴上的截

(2)已知直线l:y=2距为 .

3
.

(3)斜率为2,过点A(0,3)的直线的斜截式方程为

【解析】(1)直线的倾斜角为60°,斜率k=tan60°= 的点斜式方程为y-2= 答案:y-2= (2)l:y=2(x+1) (x+1).

3

,直线

3
.

3

x,直线l的斜率为-

3 在y轴上的截距为2.3 当x=0时,y=2,
答案:2

(3)斜截式方程为y=2x+3.

3

答案:y=2x+3

【要点探究】 知识点1 直线的点斜式方程

1.使用直线的点斜式方程的前提条件 (1)已知一点P(x0,y0). (2)斜率必须存在. 只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.

2.直线的点斜式方程形式的关注点 方程y-y0=k(x-x0)与方程k= y ? y0 不是等价的,前者是整条

x) ?的一条直线 x0 直线,后者表示去掉点P(x0,y . 0

3.两类特殊情况下直线的方程 (1)斜率不存在时 如果直线过点P(x0,y0)且与x轴垂直,此时其方程不能用点斜式

表示,方程为x=x0.
(2)斜率为零时 如果直线过点P(x0,y0)且与x轴平行(或重合),其斜率为0,由点 斜式方程可得方程为y=y0.

【微思考】
(1)当k取任意实数时,方程y-1=k(x-1)表示的直线具有什么共 同特征? 提示:方程y-1=k(x-1)表示的是恒过定点(1,1)的无数条直线. (2)过点(x0,y0)的直线可以分哪两类?它们的方程分别是什么? 提示:①斜率存在时方程为y-y0=k(x-x0). ②斜率不存在时,方程为x=x0.

【即时练】 写出满足下列条件的直线的点斜式方程:

(1)经过点A(-3,1),斜率是(2)经过点B(

.

,-1),倾斜角是30°.

2

2 且与y轴垂直. (3)经过点C(0,5)
【解析】(1)方程为y-1=(2)倾斜角为30°,斜率为 (x+3).

2 ,直线的方程为y+1=

(x-

).

(3)直线斜率为0,直线的方程为 3 y=5.

3

3 3

2

知识点2

直线的斜截式方程

1.直线的点斜式与斜截式方程的关系

(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点
P(0,b),它们都不能表示斜率不存在的直线.

(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推
导其他形式的基础. (3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形 式不惟一,而斜截式的形式是惟一的.

2.直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系 (1)斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不 是一次函数. (2)一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方 程.

3.对直线l在y轴上的截距b的两点说明

(1)本质:直线l与y轴交点的纵坐标.
(2)四种情况:

①当直线l与y轴正半轴相交时,截距b>0;
②当直线l与y轴负半轴相交时,截距b<0; ③当直线l经过原点时,截距b=0; ④当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.

【知识拓展】截距的理解 (1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的 .直线与y轴的交 点(0,b)的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强调的是,截距是 坐标,它可能是正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解 为“距离”而恒为非负数. (2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距.并

不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没有纵截距,直
线y=2没有横截距.

【微思考】 (1)斜截式y=kx+b,可以改写为点斜式方程吗?若可以,如何改写? 提示:可以.y=kx+b可改写为y-b=k(x-0). (2)能否用斜截式方程表示直角坐标平面内的所有直线? 提示:不能.斜截式方程只能表示斜率存在的直线.

【即时练】 写出满足下列条件的直线的斜截式方程.

(1)斜率是

3 (2)倾斜角是 2135°,在y轴上的截距是3.
【解析】(1)斜截式方程为y= x-2.

,在y轴上的截距是-2.

3 (2)因为斜率k=tan135°=-1, 2
所以斜截式方程为y=-x+3.

【题型示范】
类型一 直线的点斜式方程的应用

【典例1】 (1)无论m为何实数值,直线y+1=m(x-2)总过一个定点,该定点坐 标为 ( ) B.(-1,2) C.(-2,-1) D.(2,-1)

A.(1,-2)

(2)(2014·南昌高一检测)已知在第一象限的△ABC中,

A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求①AB边所在直线方程;
②AC和BC所在直线的方程.

【解题探究】1.题(1)中,如何理解直线y+1=m(x-2)总过一个定
点? 2.题(2)中,如何求直线AB,AC,BC的斜率? 【探究提示】1.直线y+1=m(x-2)总过一个定点,可理解为将定 点坐标代入方程后始终成立,与m无关. 2.求直线AB的斜率可用经过两点的斜率公式,求直线AC和BC的 倾斜角,再求其斜率.

【自主解答】(1)选D.由题意可得:令y+1=0,并且x-2=0时,此方 程与m无关,所以当x=2,y=-1时与m无关.所以定点坐标为(2,-1). (2)①直线AB的斜率k=

1?1 斜式方程为y-1=0(x-1), 即 5? 1 y=1.

=0,且过点A(1,1),所以直线AB的点

②如图所示.由题意知 直线AC的斜率k1=tan60°=

3

;

直线BC的斜率k2=tan(180°-45°)=-1, 所以直线AC的点斜式方程为y-1= (x-1),

3 直线BC的点斜式方程为y-1=-(x-5).

【延伸探究】若题(2)中△ABC是等腰三角形,AC=BC且直线AC的 斜率为

3 ,其他条件不变,求AC和BC所在直线的方程. 3 【解析】由题意知直线 BC的倾斜角与直线AC的倾斜角互补,所
以直线BC的斜率为,所以直线AC所在直线的方程为y-1= (x-5).

3 3

3 (x-1),直线BC所在直线的方程为 y-1=3

3 3

【方法技巧】求直线的点斜式方程的方法步骤

【变式训练】已知△ABC三个顶点的坐标A(2,-1),B(2,2),
C(4,1),求三角形三条边所在直线的方程.

【解析】因为A(2,-1),B(2,2)两点横坐标相同,
所以直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2. 因为直线AC的斜率k1=

所以直线AC的点斜式方程为y+1=x-2.

1 ? ? ?1? 4?2

=1,

因为直线BC的斜率k2= 所以直线BC的点斜式方程为 1 ? 2 y-2=1

?? , 4?2 2

(x-2).

1 2

【补偿训练】直线l经过点P(-5,-4),其倾斜角是直线y= 3 x+

【解题指南】先求直线l的倾斜角,近而求出斜率,利用点斜式 方程求解.

3 的倾斜角的2倍,求直线l的方程. 3

3

【解析】直线y= 3 x+ 3 的斜率k′= 3 , 设该直线倾斜角为α,则tanα=

3, 3, 因为0°≤α<180°,所以α=30°
从而所求直线l的斜率 k=tan60°= .

3

3

3

因此,所求直线 3 l的方程为y+4=

(x+5).

3

类型二

直线的斜截式方程的应用

【典例2】
(1)(2014·厦门高一检测)在同一直角坐标系中,表示直线y=ax 与y=x+a正确的是 ( )

(2)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平 行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.

【解题探究】1.题(1)中,在两条直线方程中,字母a的含义分别 是什么? 2.题(2)中,如何确定直线l的斜率和在y轴上的截距? 【探究提示】1.直线y=ax中a是直线的斜率,直线y=x+a中,a是 直线在y轴上的截距. 2.根据l∥l1确定斜率,根据l与l2在y轴上的截距相等确定截距.

【自主解答】(1)选C.由y=x+a得斜率为1,与y轴交于点(0,a), 排除B,D,直线y=ax过原点.选项A中y=ax递增,故a>0,则y=x+a与 y轴的交点在y轴的正半轴上,与图不符.选项C中,若y=ax递减, 故a<0,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上,与图相符,故选C. (2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜 率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截 距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.

【方法技巧】直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同 时要特别注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是 直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直 线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过 把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.

【变式训练】求倾斜角为直线y=且分别满足下列条件的直线方程.

3

x+3的倾斜角的一半,

(1)经过点(-3,2).
(2)在y轴上的截距为-5.

【解析】因为直线y=-

3

x+3的斜率为-

3
.

,倾斜角为120°,

所以所求直线的倾斜角为60°,斜率为 (1)经过点(-3,2)时,直线方程为y-2=

3 3

(x+3). x-5.

(2)在y轴上的截距为-5时,直线方程为y=

3

【补偿训练】求倾斜角为150°,与y轴的交点到原点的距离为
3的直线方程.

【解析】直线的倾斜角为150°,所以斜率为-

3 y轴的交点到原点的距离为3,所以在y轴上的截距 3 b=3或b=-3,
故所求的直线方程为y=x+3或y=x-3.

,因为直线与

3 3

3 3

类型三

两条直线平行与垂直的判断

【典例3】 (1)已知直线l1:y=x,若直线l2⊥l1,则直线l2的倾斜角为( A.45° B.90° C.120° D.135° )

(2)(2014·漳州高一检测)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4 平行的直线的斜截式方程为 .

(3)(2014·舟山高一检测)①当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直 线l2:y=(a2-2)x+2平行? ②当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直?

【解题探究】1.题(1)中,直线l1的斜率是多少?直线l1与l2的斜 率有何关系? 2.题(2)中直线的斜率如何求?

3.题(3)中,如何根据两条直线平行、垂直列出关于a的方程?
【探究提示】1.直线l1的斜率是1,直线l1与l2斜率之积为-1.

2.所求直线的斜率与y=-3x-4的斜率相等,也是-3.
3.两条直线平行时斜率相等,两条直线垂直时斜率之积为-1,由 此可列出关于a的方程.

【自主解答】(1)选D.因为直线l1:y=x的斜率为1,且直线l2⊥l1, 所以直线l2的斜率为-1,倾斜角为135°. (2)因为所求直线与直线y=-3x-4平行,所以所求直线的斜率为 -3. 又因为所求直线在y轴上的截距为2,所以其斜截式方程为y= -3x+2. 答案:y=-3x+2

(3)①直线l1的斜率k1=-1,直线l2的斜率k2=a2-2,
因为l1∥l2,所以a2-2=-1且2a≠2,解得:a=-1.

所以当a=-1时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行.
②直线l1的斜率k1=2a-1,直线l2的斜率k2=4, 因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即4(2a-1)=-1,解得a= .

3 所以当a= 时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直. 8 3 8

【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定 已知l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(k1,k2都存在). l1∥l2?k1=k2且b1≠b2. l1⊥l2?k1·k2=-1.

【变式训练】已知在△ABC中,A(0,0),B(3,1),C(1,3). (1)求AB边上的高所在直线的方程. (2)求BC边上的高所在直线的方程. (3)求过A与BC平行的直线方程.

【解题指南】先求直线的斜率,再代入点斜式方程求解.
【解析】(1)直线AB的斜率k1= 1 ? 0

1 ,AB边上的高所在直线 ? 3?0 3 斜率为-3且过点C,所以AB边上的高所在直线方程为 y-3=-3(x-1).
(2)直线BC的斜率k2= =-1,BC边上的高所在直线的斜率为1

3 ?1 且过点A,所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y=x. 1? 3
(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为-1,其点斜式方程 为y=-x.

【补偿训练】已知直线l:y=(a2-2)x+2a+9与直线y=- 1 x+1垂直, 与直线y=3x+5在y轴上的截距相同,求a.

2

【解题指南】由两直线垂直,两直线的斜率之积等于-1,可求得 l的斜率,由斜截式方程得出在y轴上的截距,根据与直线y=3x+5 在y轴上的截距相同,求出a.

【解析】直线l与y=-

x+1垂直,所以直线l的斜率为2;直线l与

1 直线y=3x+5在y轴上的截距相同 ,所以直线l在y轴上的截距为5,
故 解得a=-2.

2

?a 2 ? 2 ? 2, ? ?2a ? 9 ? 5,

【易错误区】根据直线方程判断直线位置不当致误 【典例】(2014·盐城高一检测)已知直线y=(3a-1)x-1,为使这 条直线经过第一、三、四象限,则实数a的取值范围是 .

【解析】当x=0时,y=(3a-1)×0-1=-1与实数a无关,
所以直线y=(3a-1)x-1恒过定点A(0,-1)①(如图所示). 设直线y=(3a-1)x-1的倾斜角为α,为使这条 直线经过第一、三、四象限,α需满足 0°<α<90°②, 所以直线y=(3a-1)x-1的斜率3a-1需满足3a-1>0②, 解得a> 所以实数1 a的取值范围是 答案:

3

,

1 ( , ??). 3

1 ( , ?? ) 3

【常见误区】 错解 错因剖析 在①处未分析到虽然a的值在变化,但是直线

(0,+∞) y=(3a-1)x-1恒过定点(0,-1)导致无法分析直线位
置致误. 在②处未能正确分析直线y=(3a-1)x-1的倾斜角的

1 (??, ) 3

范围并推出斜率的范围,导致错误.

【防范措施】

1.注意在“变化”中寻找“不变”
当已知直线的方程含有待定字母时 ,要注意分析此直线的斜率, 所过定点等信息是否可以确定,如本例中,直线y=(3a-1)x-1无 论a为何值,恒过定点(0,-1). 2.注意倾斜角与斜率的关系 倾斜角为锐角时斜率随倾斜角增大而增大 ;倾斜角为钝角时斜 率随倾斜角增大而增大,如本例中由0°<α<90°知3a-1>0.

【类题试解】直线l不经过第三象限,l的斜率为k,在y轴上的截 距为b,则下列结论中可能成立的有 .

①k<0,b>0;②k<0,b<0;③k<0,b=0;④k>0,b>0;⑤k>0,b<0; ⑥k>0,b=0;⑦k=0,b=0;⑧k=0,b>0;⑨k=0,b<0.

【解析】①当k<0,b>0时,直线l过一、二、四象限; ②当k<0,b<0时,直线l过二、三、四象限; ③当k<0,b=0时,直线l过二、四象限; ④当k>0,b>0时,直线l过一、二、三象限;

⑤当k>0,b<0时,直线l过一、三、四象限;
⑥当k>0,b=0时,直线l过一、三象限:

⑦当k=0,b=0时,直线l为x轴,不过任何象限; ⑧当k=0,b>0时,直线l过一、二象限; ⑨当k=0,b<0时,直线l过三、四象限. 综上分析,可能成立的有①③⑦⑧. 答案:①③⑦⑧


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