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等比数列的前n项和ppt5 北师大版


北师大课标必修5·§1.3 等比数列的前n项和 复习回顾 1、等比数列的定义: an a2 a3 ? ? ? ? a1 a2 an?1 2、通项公式: n?1 ? q(q为非0常数) an ? a1q (a1 ? 0, q ? 0) 3、数列中通项与前n项和的关系: S1 (n ? 1) ? 1 ) .an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2) 2). 已知an , 求Sn 问题情景 一天,小林和小明做“贷款”游戏,它们签订了 一份合同.从签订合同之日起,在整整一个月(30天)中, 小明第一天贷给小林1万,第二天贷给小林2万……以 后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方 式还贷:小林第一天只需还1分钱,第二天还2分钱, 第3天还4分钱……以后每天还的前数是前一天的两倍. 合同开始生效了,第一天小林支出1分钱,收入1万 元;第2天小林支出2分钱,收入2万元;第3天支出4 分钱,收入3万元……到了第10天,他共得到55万元, 付出的总数只有10元2角3分. 问题情景 到第20天,小林共得210万元,而小明才得 1048575分,共1万元多一点.小林想:要是合 同订两个月,三个月该多好! 果真是这样吗? 设30天后,小林得到的钱数为T30(万元), 小明得到的钱数为S30(分),则根据合同 T30 ? 1 ? 2 ? 3 ? (1 ? 30) ? 30 ? 30 ? ? 465 (万元) 2 问题情景 S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?2 2 29 ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? S30 ? 2 29 ?2 28 ? ? S30 ? 2 ?1 30 这可不是个小数目!利用计算器,得到: S30 ? 1073741823 (分)= 1073.741823 (万元) 小林听到这个结果.肯定会吓出一身冷汗! 抽象概括 探求:等比数列求和的方法 问题:已知等比数列?an ? , 公比为q, 求:S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q 2 n?1 思考:如何用a1 , q , n, a n这些基本量 来表示S n 呢? 错位相减法 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q 2 n ?1 此式相邻两项 有何关系? 根据通项公式, S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 可 表 示 为 若将此式两端同乘以q, 所得式子与原式比较: S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q 2 n ?1 当q=1时, qSn Sn=? ? 两式相减,得 ( 1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n a1 (1 ? q ) 当q≠1时 S n ? 1? q 当q=1时 a1q ? a1q ? ?? a1q 2 n?1 ? a1q n n Sn ? na1 利用定义法 a3 an a2 等比数列定义: ? ??? ?q 与 S n什 a1 a2 a n ?1 么关系? 由等比定理,得 与 Sn 什 么关系? a1 ? qan 当1 ? q ? 0时, S n ? 1? q 当 1 ? q ? 0时, Sn ? na1 S n ? a1 即 ?q S n ? an ?(1 ? q) Sn ? a1 ? qan a2 ? a3 ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 (利用 an ? Sn

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