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【解析版】广东省揭阳市揭东县云路中学2012-2013学年高三(下)3月月考数学试卷(文科)

2012-2013 学年广东省揭阳市揭东县云路中学 高三(下)3 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 分) (5 (2013?潮州二模)设 i 为虚数单位,则复数 A. B. C. 等于( ) D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 2﹣i,然后整理成 a+bi(a,b∈R)的形式即可. 解答: 解: = . 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基 础题. 2. 分) (5 (2013?青岛一模)已知集合 A={0,1,2,3,4},集合 B={x|x=2n,n∈A},则 A∩B=( A.{0} B.{0,4} C.{2,4} D.{0,2,4} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由集合 B 中的元素的属性用列举法写出集合 B,直接取交集即可. 解答: 解:因为集合 A={0,1,2,3,4},所以集合 B={x|x=2n,n∈A}={0,2,4,6,8}, 所以 A∩B={0,1,2,3,4}∩{0,2,4,6,8}={0,2,4}. 故选 D. 点评: 本题考查了交集及其运算,属基础题,是会考常见题型. )

3. 分) (5 (2013?枣庄二模)已知函数 A.9 B.﹣9 C.

,则 D.

的值是(



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: ﹣2 ﹣2 因为 ,所以 f( )=log2 =log22 =﹣2≤0,f(﹣2)=3 = ,故本题得解. 解答: 解: =f(log2 )=f(log22 )=f(﹣2)=3 = ,
﹣2 ﹣2

故选 C. 点评: 本题的考点是分段函数求值,对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值,一定要注意自变量的值 所在的范围,然后代入相应的解析式求解. 4. 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值为( (5 ) A.56 B.42 C.28 D.14 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质易得 a4=4,而 S7= 解答: 解:由题意可得 a3+a4+a5=3a4=12,解得 a4=4, 故 S7= = =28 = ,代入可得答案.

故选 C 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 5. 分)已知函数 f(x)=|x|,x∈R,则 f(x)是( (5 ) A.偶函数且在(0,+∞)上单调递增 B. 奇函数且在(0,+∞)上单调递减 C. 奇函数且在(0,+∞)上单调递增 D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分析 f(﹣x)与 f(x)的关系,根据函数奇偶性的定义,可判断函数的奇偶性,根据定义域的定义 可得 x∈(0,+∞)时,数 f(x)=|x|=x,分析其单调性,可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=|x|, ∴函数 f(﹣x)=|﹣x|=|x|=f(x) , 故函数 f(x)为偶函数 当 x∈(0,+∞)时,数 f(x)=|x|=x 为增函数, 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的单调性,熟练掌握函数奇偶性的定义及初等基本函数的 单调性是解答的关键. 6. 分) (5 (2004?宝山区一模)设 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列四个命题 正确的是( ) A.若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n B. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 探究型. 分析: 本题是一个研究空间中线面之间位置关系的问题,A 选项由线面垂直与线面平行判断线线垂直,B 选项由线面平行判断面面平行,C 选项由线面平行判断线线平行,D 选项由面面垂直判断面面平行, 由相关的定理与性质对四个选项进行判断,得到正确选项 解答: 解:A 选项正确,因为由 m⊥α,n∥α,可得出 m⊥n;

B 选项不正确,因为在“m?α,n?α,m∥β,n∥β,”条件中缺少线线相交,故不满足面面平行的判 定定理,不能得 α∥β; C 选项不正确,因为当“m∥α,n∥α”时两线 m,n 的位置关系可以是相交,平行,异面故不正确; D 选项不正确,因为当“α⊥γ,β⊥γ”,两平面 α 与 β 的关系可以是平行或者相交. 综上知 A 选项正确 故选 A 点评: 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握理解空间中线与线,线与面,面与面的位置 关系及判定定理及较好的空间想像能力是准确解答本题的关键,本题是一个知识性较强的题,解题 的难点是对空间中线面位置关系的正确感知 7. 分)如图,程序结束输出 s 的值是( (5 )

A.30

B.55

C.91

D.140

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出 S=1 +2 +3 +4 +5 +6 的值,并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是 2 2 2 2 2 2 计算并输出 S=1 +2 +3 +4 +5 +6 的值 2 2 2 2 2 2 ∴S=1 +2 +3 +4 +5 +6 =91. 故选 C. 点评: 本题考查当型循环结构,考查对程序知识的综合运用,属于基础题. 8. 分)已知函数 f(x)=(1﹣cos2x)?cos x,x∈R,则 f(x)是( (5 ) A. B. 最小正周期为 π 的奇函数 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数
2 2 2 2 2 2 2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的奇偶性.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 小正周期. 解答:



,由此可得函数的奇偶性和最

解:∵函数 f(x)=(1﹣cos2x)?cos x=2sin x?cos x= sin 2x= 故函数为偶函数,且最小正周期为 = ,

2

2

2

2

= ﹣



故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,复合三角函数的奇偶性,三角函数的周期性和求法, 属于中档题.

9. 分)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为 a,b,则方程 (5

表示焦点在 x 轴上且离心率

小于 A.

的椭圆的概率为( B.

) C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆时, (a,b)点对应的平面图形的面积大小和区间[1,5] 和[2,4]分别各取一个数(a,b)点对应的平面图形的面积大小,并将他们一齐代入几何概型计算公 式进行求解. 解答: 解:∵ 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 ,

∴a>b>0,a<2b 它对应的平面区域如图中阴影部分所示: 则方程 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为

P=

=



故选 B.

点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量” 只与“大小”有关,而与形状和位置无关. 10. 分)在 R 上定义运算⊕:x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立,则实数 (5 a 的取值范围是( ) A.[﹣1,7] B.(﹣∞,3] C.(﹣∞,7] D.(﹣∞, ﹣1]∪[7, +∞) 考点: 其他不等式的解法. 专题: 压轴题;新定义;不等式的解法及应用. 分析: 由 x?y=x(1﹣y) ,把(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2,由任意 x>2,不等式(x﹣a) ?x≤a+2 都成立,知 a≤ .令 f(x)= ,x>2,则 a≤[f(x)]min,x<2.由此能求

出结果. 解答: 解:∵x?y=x(1﹣y) , ∴(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2, 2 ∴﹣x +x+ax﹣a≤a+2, 2 a(x﹣2)≤x ﹣x+2, ∵任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立, ∴a≤ .

令 f(x)=

,x>2,

则 a≤[f(x)]min,x<2 而 f(x)= =

=(x﹣2)+ ≥2

+3 +3=7,

当且仅当 x=4 时,取最小值. ∴a≤7. 故选 C.

点评: 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定 义来解题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.其中 14~15 题是选做题.) (一)必做题:第 11~ 13 题为必做题. 11. 分) (5 (2012?佛山一模)某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 粤曲社 书法社 45 30 a 高一 15 10 20 高二 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查, 按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人, 结果合唱社被 抽出 12 人,则这三个社团人数共有 150 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据每个个体被抽到的概率都相等可得 解答: 解:根据分层抽样的定义和方法可得 =

=

,属于基础题. ,

解得 a=30, 故这三个社团人数共有 45+15+30+10+30+20=150 人, 故答案为 150. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了每个个体被抽到的概率都相等,属于基础题.

12. 分) (5 在△ ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, 已知 C= 则 c= .

, b=3, 若△ ABC 的面积为



考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 S△ ABC= 解答: 解:∵S△ ABC= ∴ ∴a=2 由余弦定理可得,cosC= = = ,解得 c= 结合已知可求 a,然后利用余弦定理可得,cosC= = 可求 c

=

故答案为: 点评: 本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用,解题的关键是公式的熟练应 用

13. 分)如图,F1,F2 是双曲线 C: (5



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、 .

右分支分别交于 A,B 两点.若 AB:BF2:AF2=3:4:5,则双曲线的离心率为

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的定义可求得 a=1,∠ABF2=90°,再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|,从而可求得双曲线 的离心率. 解答: 解:∵|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,不妨令|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5, ∵|AB| +|BF2|2=|AF2|2,∴∠ABF2=90°, 又由双曲线的定义得:|BF1|﹣|BF2|=2a,|AF2|﹣|AF1|=2a, ∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|,∴|AF1|=3. ∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a,∴a=1. 2 2 2 2 2 在 Rt△ BF1F2 中,|F1F2| =|BF1| +|BF2| =6 +4 =52, 2 2 2 又|F1F2| =4c ,∴4c =52, ∴c= , ∴双曲线的离心率 e= = .
2

点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查转化思想与运算能力,求得 a 与 c 的值是关键,属于中档题. 14. 分) (5 (2013?崇明县二模)在极坐标系中,直线过点(1,0)且与直线 的极坐标方程为 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先将直线极坐标方程 且与直线 解答: . (ρ∈R)垂直,则直线

(ρ∈R)化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行求解过点(1,0)

(ρ∈R)垂直的直线方程,最后再化成极坐标方程即可. (ρ∈R)的直角坐标方程为: x﹣y=0 垂直的直线方程为:y=﹣ y﹣1=0, . x﹣y=0, (x﹣1) ,

解:由题意可知直线 过点(1,0)且与直线 即所求直线普通方程为 x+ 则其极坐标方程为

故答案为: . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 利用直角坐标与极坐标间的关系, 即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ =x +y ,进行代换即得. 15. 分) (5 (2013?佛山一模) (几何证明选讲)如图,M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过 点 M 分别交 AD,AC 于点 E,F.若 AD=3AE,则 AF:FC= 1:4 .
2 2 2

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 压轴题. 分析: 利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出. 解答: 解:如图所示,设直线 l 交 CD 的延长线于点 N. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD. ∵M 是边 AB 的中点,∴ ∴ ,∴ . .

故答案为 1:4.

点评: 熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)若 ,求 的值. .

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先对函数 f(x)根据诱导公式和二倍角公式化简为 y=Asin(wx+ρ)+b 的形式,然后结合正弦 函数的单调增区间求出结果; (2)首先根据 f(α﹣ 解答: 解: (1)f(x)=sin( )= 求出 sinα 的值,然后根据二倍角的余弦求出结果. sin(x+ )

﹣x)+sinx=cosx+sinx=

∵y=sinx 在[﹣ ∴﹣ ≤x+ ≤



]上单调递增,

整理得:﹣

≤x≤ ≤x≤2kπ+ (k∈Z)上单调递增. )

∴f(x)在 2kπ﹣

(2)由(1)知 f(x)= ∴f(α﹣ ∴sinα= f(2α+ )= sin(2α+ )= sinα=

sin(x+

)=

cos2α=

(1﹣sin α)=

2

×(1﹣ )=

点评: 本题主要考查三角函数单调性以及二倍角公式等知识,将函数化简为 y=Asin(wx+ρ)+b 的形式是 解题的关键,属于中档题. 17. (12 分) (2013?佛山一模) 组别 候车时间 人数 2 一 [0,5) 6 二 [5,10) 4 三 [10,15) 2 四 [15,20) 1 五 [20,25] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:min) : (1)求这 15 名乘客的平均候车时间; (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 考点: 频率分布表;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)累积各组组中与频数的积,可得这 15 名乘客的这 15 名乘客的总和,除以 15 可得这 15 名乘客 的平均候车时间; (2)根据 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟频数和为 8,可估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分 钟的人数; (3)将两组乘客编号,进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数,代 入古典概型概率公式可得答案. 解答: 解: (1) = min.﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)候车时间少于 10 分钟的概率为 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

所以候车时间少于 10 分钟的人数为

人.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(3)将第三组乘客编号为 a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为 b1,b2. 从 6 人中任选两人有包含以下 15 个基本事件: (a1,a2)(a1,a3)(a1,a4)(a1,b1)(a1,b2) , , , , , (a2,a3)(a2,a4)(a2,b1)(a2,b2)(a3,a4) , , , , , (a3,b1)(a3,b2)(a4,b1)(a4,b2)(b1,b2) , , , , , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方表,古典概型概率公式,是统计与概率的简单综合应用,难度不 大,属于基础题.

18. (14 分) (2013?佛山一模)如图,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为线段 AB 上一点,且 点 C 为圆 O 上一点,且 .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=BD. (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.



考点: 直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1) AB 是圆的直径, 由 得到 AC⊥CB, 结合 BC= AC 算出∠ABC=30°, 进而得到 . BCD △ 2 2 2 中用余弦定理算出 CD 长, 从而 CD +DB =BC , 可得 CD⊥AO. 再根据 PD⊥平面 ABC, 得到 PD⊥CD, 结合线面垂直的判定定理即可证出 CD⊥平面 PAB; (2)根据(1)中计算的结果,利用锥体体积公式算出 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d, 可得 的距离. 解答: 解: (1)∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥CB, ∵Rt△ ABC 中,由 ,∴tan∠ABC= = ,∠ABC=30°, ,而 VP﹣BDC=VD﹣PDC,由此

, 结合△ PBC 的面积可算出点 D 到平面 PBC

∵AB=4,3AD=DB,∴DB=3, , 2 2 2 由余弦定理,得△ BCD 中,CD =DB +BC ﹣2DB?BCcos30°=3, 2 2 2 ∴CD +DB =12=BC ,可得 CD⊥AO.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,即 PD⊥平面 ABC, 又∵CD?平面 ABC,∴PD⊥CD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) ∵PD∩AO=D 得,∴CD⊥平面 PAB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(2)由(1)可知,PD=DB=3,且 Rt△ BCD 中, ∴ 又∵ , ,

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) , .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴△PBC 为等腰三角形,可得 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d,由 VP﹣BDC=VD﹣PBC,得 ,解之得 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题给出底面△ ABC 在外接圆中的三棱锥,求证线面垂直并求点到平面的距离,着重考查了线面垂 直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识,属于中档题. 19. (14 分) (2013?东莞一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn+1}是公比为 2 的等比数列,a2 是 a1 和 a3 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. ﹣ 分析: (1)由数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn+1}是公比为 2 的等比数列,知 Sn+1=2n 1, 1+1)=2n (S (a1+1) n﹣1+1=2 (a1+1) ,S ,故 an=2 (a1+1) ,n≥2,由此能求出 an=2 . n﹣1 n﹣1 0 1 2 n﹣1 (2)由 an=2 ,知 nan=n×2 ,故 Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2 ,由此利用错位相减法能求出数 列{nan}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn+1}是公比为 2 的等比数列, n﹣1 n﹣1 ∴Sn+1=2 (S1+1)=2 (a1+1)① n﹣2 Sn﹣1+1=2 (a1+1)② ①﹣②得 an=2 (a1+1) ,n≥2 a2=a1+1, a3=2(a1+1) a2 是 a1 和 a3 的等比中项,故 2 a2 =a1a3, 2 (a1+1) =a1?2(a1+1) , 解得 a1=1, 1=﹣1 则 a2=0 不合题意舍去) (a n﹣1 故 an=2 . n﹣1 n﹣1 (2)由 an=2 ,知 nan=n×2 , 0 1 2 n﹣1 ∴Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2 ,① 1 2 3 n 2Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2 ,② ②﹣①得 Tn=n×2 ﹣(2 +2 +2 +2 +…+2 =n×2 ﹣ =n×2 ﹣2 +1. 点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意错位相减法 的合理运用.
n n n n 0 1 2 3 n﹣1 n﹣2
﹣1

n﹣2

n﹣2

n﹣1



20. (14 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) ,且 f(x)在点(1,f(1) )处 的切线与直线 6x+y+1=0 平行. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在 t∈N ,使得方程 的值;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据二次函数小于 0 的解集,设出解析式,利用导数求得 f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜 率,结合切线与直线 6x+y+1=0 平行时斜率相等,列出方程,解出待定系数. (2)将方程等价转化 h(x)=2x ﹣10x +37=0,利用 h(x)的导数判断其单调性,利用单调性判断 h(x)=0 的根的情况. 解答: 解: (1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5) , ∴可设 f(x)=ax(x﹣5)=ax ﹣5ax, (a>0) . ∴f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率是:f′(1)=﹣3a=﹣6. 2 ∴a=2,∴f(x)=2x(x﹣5)=2x ﹣10x(x∈R) . (2)方程
3 2 2 3 2 *

在区间(t,t+1)内有两个不等的实数根?若存在,求出 t

=0 等价于方程 2x ﹣10x +37=0.
2

3

2

设 h(x)=2x ﹣10x +37,则 h'(x)=6x ﹣20x=2x(3x﹣10) . 在区间 x∈(0, )时,h'(x)<0,h(x)是减函数; ,+∞)上,h'(x)>0,h(x)是增函数,故 h(0)是极大值,h( )

在区间(﹣∞,0) ,或( 是极小值. ∵h(3)=1>0,h(

)=﹣

<0,h(4)=5>0, )( , ,4)内分别有惟一实数根,故函数 h(x)在(3,4)内有

∴方程 h(x)=0 在区间(3,

2 个零点. 而在区间(0,3)(4,+∞)内没有零点,在(﹣∞,0)上有唯一的零点. , 画出函数 h(x)的单调性和零点情况的简图,如图所示. 所以存在惟一的正整数 t=3,使得方程 f(x)+ =0 在区间(t,t+1)内有且只有两个不同的实数根.

点评: 本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识,考查运用导数研究函数的性质的方法,考查函数 与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.

21. (14 分)已知椭圆 C: 三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率;

两个焦点为 F1、F2,上顶点 A(0,b) AF1F2 为正 ,△

(2)O 为坐标原点,直线 F1A 上有一动点 P,求|PF2|+|PO|的最小值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1) )由△ AF1F2 为正三角形可得 a=2c,周长为 6 可得 a+a+2c=6,再由 a =b +c ,联立即可求得 a, b. (2)直线 F1A 的方程为 ,利用中点垂直法可求得点 0 关于直线 F1A 对称的点为 M (x0,y0) ,由|PO|=|PM|,得|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|,|MF2|易求得. 解答: 解: (1)由题设得 ,

解得:a=2,b= 故 C 的方程为

c=1, ,离心率 e= . ,

(2)直线 F1A 的方程为

设点 0 关于直线 F1A 对称的点为 M(x0,y0) ,则



所以点 M 的坐标为



∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|,

|PF2|+|PO|的最小值为



点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查轴对称问题,考查学生分析问题解决 问题的能力.


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