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高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性自我小测新人教B版必修1

2.1.3 函数的单调性 自我小测 1. 下列函数 f(x)中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)” 的是( ) 2 A.f(x)=(x-1) B.f(x)= 1 x C.f(x)=2x 2 D.f(x)= 1 x?2 2.有下列说法: ①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x 在 R 上是增函数; ③函数 y=- 2 1 在定义域上是增函数. x ) 其中正确的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(2x)>f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-∞,1) B.(1,+∞) C. ? ) 1? ?1 ? ? , ?? ? D. ? ??, ? 2? ?2 ? ? 4.定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且在[0,+∞)上是增函数,则下 列关系成立的是( ) B.f(-π )<f(-4)<f(3) D.f(3)<f(-π )<f(-4) A.f(3)<f(-4)<f(-π ) C.f(-4)<f(-π )<f(3) 5.设函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈R,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则 f(- 3)与 f(-π )的大小关系是__________. 6 .函数 f(x) = ax - (3a - 1)x + a 在 [1 ,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是 __________. 7 .已知 f(x) = __________. 8.证明函数 y=x+ 2 2 ax ? 1 在区间 ( - 2 ,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 x?2 9 在区间(0,3]上是减函数. x 2 9.已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(a -1),求 a 的取值范 围. 分析:由于函数 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(a -1),所以由 单调函数的定义可知 1-a∈(-1,1),a -1∈(-1,1),且 1-a>a -1,解此关于 a 的不等 式组,即可求出 a 的取值范围. 1 2 2 2 10.(1)写出函数 y=x -2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察:函数在图象对称轴 两侧的单调性有什么特点? (2)写出函数 y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:函数在图象对称轴两侧的单 调性有什么特点? 2 (3)定义在[-4,8]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,y=f(x)的部分图象如图所 示,请补全函数 y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:函数在图象对称轴两侧的单调 性有什么特点? (4)由以上你发现了什么结论?(不需证明) 2 参考答案 1. 答案:B 2. 解析:①中没强调 x1,x2 是区间 I 上的任意两个数,故不正确;②y=x 在 x≥0 时 是增函数,在 x<0 时是减函数,从而 y=x 在整个定义域上不具有单调性,故不正确;③y =- 2 2 1 在整个定义域内不具有单调性,故不正确. x 1 . 2 答案:A 3. 解析:由已知得 2x<1,解得 x< 答案:D 4. 解析:由于 f(x)在 R 上的图象关于 y 轴对称, 因此 f(-4)=f(4),f(-π )=f(π ). ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴由 3<π <4,得 f(3)<f(π )<f(4), 即 f(3)<f(-π )<f(-4). 答案:D 5. 解析:由题意,知 f(x)是 R 上的增函数, 又∵-3>-π ,∴f(-3)>f(-π ). 答案:f(-3)>f(-π ) 6. 解析:当 a=0 时,f(x)=x,显然 f(x)在[1,+∞)上是增函数; ?a ? 0, ? 当 a≠0 时, ? ? ? 3a ? 1? 所以 0<a≤1. - ? 1 , ? 2a ? 综上所述,0≤a≤1. 答案:0≤a≤1 7. 解析:设 x1,x2 是(-2,+∞)上的任意两个不相等的实数,且-2<x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)= ax2 ? 1 ax1 ? 1 ( x2 ? x1 )(2a ? 1) - = . x2 ? 2 x1 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ∵-2<x1<x2,∴x2-x1>0,(x1+2)(x2+2)>0. ∴ x2 ? x1 >0. ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 . 2 3 又∵f(x)在(-2,+∞)上为增函数, ∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即 a> 即实数 a 的取值范围是 ? 答案: ? ?1 ? , ?? ? . ?2 ? ?1 ? , ?? ? ?2 ? ? ? ? ? 9? ? - ? x1 ? ? x1 ? ? ? 8. 证明:任取 0<x1<x2≤3,则有 Δ x=x2-x1>0, Δ y=y2-y1= ? x2 ? 9 x2 =(x2-x1)- ? 9( x2 ? x1 ) 9 ? =(x2-x1) ? 1 ? ?. x1 x2 ? x1 x2 ? ∵0<x1<x2≤3, ∴x2-x1>0, 9 9 >1,即 1- <0. x2 x1 x2 x1 9 在(0,3]上是减函数. x ① ② ③ ∴Δ y=y2-y1<0, ∴函数 y=x+ ?-1 ? 1-a ? 1, ? 1 ? a 2-1 ? 1, 9. 解:由题意可得 ?- ?1-a ? a 2-1, ? 2 由①,得 0<a<2,由②,得 0<a <2,∴0<|a|< 2 . ∴- 2 <a< 2 ,且 a≠0. 由③,得 a +a-2<0,即(a-1)(a+2)<0, ∴? 2 ?a-1 ? 0, ?a-1 ?

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