2012年

2012 年邯郸市高三第一次模拟考试
理科数学
本试卷分第 I 卷 （选择题） 和第 II 卷 （非选择题） 两部分， 其中第 II 卷第 （22） （24） 题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标 号，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清 楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。 参考公式： 样本数据 x1 , x 2 , Λ x n 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 ? x)2 + ( x2 ? x )2 + L + ( xn ? x )2 ] n

1 V = Sh 3
其中 S 为底面面积， h 为高 球的表面积，体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V = Sh
其中 S 为底面面积， h 为高

S = 4π R 2

4 V = π R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷
一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

1,3,5}，则集合 B = 1．已知集合 A = {x ∈ N | 0 ≤ x ≤ 5}， C A B = {
A． {2,4} 2．复数 z = A． ?2 B． {0, 2,4} C． {0,1,3} D． {2,3,4}

4 + 3i 的虚部为 1 + 2i
B． 2 C． ?1
2

D． 1

3．给出以下命题：① ?x ∈ R,sin x + cos x > 1 ② ?x ∈ R, x ? x + 1 > 0 ③“ x > 1 ”是“ x > 1 ”

的充分不必要条件，其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3

4．函数 f ( x) = e x + 4 x ? 3 的零点所在的区间为

1 1 1 1 ,0) B． (0, ) C．( , ) 4 4 4 2 4 8 5．在二项式 (2 ? x ) 的展开式中不含 ．．x 的所有项的系数和为
A． ( ? A． ?1 B．0 C．1

D． ( , )

1 3 2 4

D．2

6. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半 圆，则该几何体的表面积是 A． 2(π + 3) C． π + 3 B． 2π + 3 D． π + 2 3

7．阅读如图的程序框图. 若输入 n = 6 , 则输出 k 的值为 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

8．函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) （ ω > 0,| ? |<

π ）的最小正周期是 π ， 2

若其图像向右平移 的图像 A．关于点 (

π 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f ( x ) 3

π , 0) 对称 12

B．关于点 (

5π , 0) 对称 12

π 对称 12 uuu r uuu r uuu r uuu r 9 ．在 ?ABC 所在的平面 内 有 一 点 P ，如 果 2 PA + PC = AB ? PB , 那么 ?PBC 的面积 与
C．关于直线 x = D．关于直线 x =

5π 对称 12

?ABC 的面积之比是
A．

3 4

B．

1 2

C．

1 3

D．

2 3

10．在区间[－1，1]上任取两数 s 和 t，则关于 x 的方程 x 2 + 2sx + t = 0 的两根都是正数的概 率为 A． 1 24 B． 1 12 C．

1 4

D．

1 3

11．设抛物线 y 2 = x 的焦点为 F，点 M 在抛物线上，线段 MF 的延长线与直线 x = ? 点 N，则

1 交于 4

1 1 + 的值为 | MF | | NF |
B．

A．

1 4

1 2

C． 2

D．4

12．已知函数 g(x)是 R 上的奇函数，且当 x < 0 时 g ( x ) = ? ln(1 ? x ) ，

? x3 函数 f ( x) = ? ? g ( x)
A． ( ?2,1) C． ( ?1, 2)

( x < 0), 2 若 f (2 ? x ) > f ( x) ，则实数 x 的取值范围是 ( x > 0),
B． ( ?∞, ?2 ) ∪ (1, 2) ∪ ( 2, +∞ ) D． ?2, ? 2 ∪ ( ? 2, 0) ∪ (0,1)

(

)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．从某地区随机抽取 100 名高中男生，将他们的体 重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如 图） ．若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选

取 20 人参加一项活动，则从 [ 60, 70] 这一组中抽取的人数为

.

x2 y2 14．双曲线 2 ? 2 = 1( a, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2，过焦点 F2 且垂直于 x 轴的直 a b
线与双曲线相交于 A、B 两点，若 F1 A ? F1 B = 0 ，则双曲线的离心率为

uuu r uuu r

．

15 ． 将边 长为 2 的正 ?ABC 沿 BC 边上 的高 AD 折 成直 二面角 B ? AD ? C ，则三 棱 锥

B ? ACD 的外接球的表面积为 _________．
16．已知在 ?ABC 中， sin B 是 sin A 和 sin C 的等差中项，则内角 B 的取值范围是_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 12 分） 已知正项等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a1 + a5 = (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ； （Ⅱ）若数列 {bn } 满足 b1 = a1 且 bn +1 ? bn = an +1 ，求数列 ?

1 2 a3 ， S 7 = 56 ． 3

?1? ? 的前 n 项和 Tn ． ? bn ?

18． （本小题满分 12 分） PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物， 也称为可入肺颗粒物。 我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值， 即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级； 在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量 为超标． 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数 据中随机的抽取 15 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位 为茎，个位为叶） （I）从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，求 恰有一天空气质量达到一级的概率;

（II）从这 15 天的数据中任取三天数据，记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数， 求 ξ 的分布列; （III） 以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况， 则一年 （按 360 天计算） 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级． 19． （本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 E ? ABCD 的底面为菱形，且 ∠ABC = 60o ， AB = EC = 2,

AE = BE = 2 ．
（I）求证：平面 EAB ⊥ 平面 ABCD ； （II）求二面角 A ? EC ? D 的余弦值．

20． （本小题满分 12 分） 已知点 A( 2, 0) ，B ( ? 2, 0) ， 直线 PA 与 PB 的 在平面直角坐标系中， 点 P ( x , y ) 为动点， 斜率之积为 ?

1 . 2

（I）求动点 P 轨迹 E 的方程; （II）过点 F (1,0) 的直线 l 交曲线 E 于 M , N 两点，设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q ( M 、Q 不重合)，求证：直线 MQ 过定点. 21． （本小题满分 12 分）
2 已知函数 f ( x ) = ( x ?

2 1 x + )e ax (a > 0) a a

（I）当 a = 1 时 , 求函数 f ( x ) 的图象在点 A（0， f (0) )处的切线方程； （II）讨论函数 f ( x ) 的单调性； （Ⅲ）是否存在实数 a ∈ (1, 2) ，使 f ( x ) > 若不存在，请说明理由． 请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，

2 当 x ∈ (0,1) 时恒成立？若存在，求出实数 a ； a2

请写清题号． 22． （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 AC 是弦，AD ⊥ CE ， 垂足为 D， AC 平分 ∠BAD. 如图所示， 已知 AB 是圆 O 的直径， （Ⅰ）求证：直线 CE 是圆 O 的切线； （Ⅱ）求证： AC 2 = AB ? AD.

（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的 正半轴重合．

? 3 x = ?1 + t ? ? 2 （t 为参数） 直 线 l 的 参 数 方 程 为： ? ， 曲线 C 的 极 坐 标 方 程为 ： 1 ? y= t ? ? 2 ρ = 4 cos θ ．
（Ⅰ）写出 C 的直角坐标方程，并指出 C 是什么曲线； （Ⅱ）设直线 l 与曲线 C 相交于 P 、 Q 两点，求 PQ 值． 24． （本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 ． 已知函数 f ( x) = log 2 (| x ? 1 | + | x + 2 | ? a） （Ⅰ）当 a = 7 时，求函数 f ( x ) 的定义域； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集是 R ，求实数 a 的取值范围．

2012 年邯郸市高三第一次模拟考试数学（理） 参考答案及评分标准
一 、 选择题： BCDCB 二 、填空题：13．6 三、 解答题： 17． （本小题共 12 分） 解：(Ⅰ) Q {an } 是等差数列且 a1 + a5 = ABCAB 14． 2 + 1 CD 15． 5π 16． 0 < B ≤

π 3

1 2 1 a3 ，∴ 2a3 = a3 2 ， 3 3

又 Q an > 0 ∴ a3 = 6 ．…………………………………………………2 分

Q S7 =

7( a1 + a7 ) = 7a4 = 56 ∴ a4 = 8 ，……………………………4 分 2
………………6 分

∴ d = a4 ? a3 = 2 ，∴ an = a3 + (n ? 3)d = 2n ．

（Ⅱ） Q bn +1 ? bn = an +1且an = 2n ，∴ bn +1 ? bn = 2( n + 1) 当 n ≥ 2 时， bn = ( bn ? bn ?1 ) + ( bn ?1 ? bn ?2 ) + L + (b2 ? b1 ) + b1

= 2n + 2(n ? 1) + L + 2 × 2 + 2 = n(n + 1) ，……………………8 分
当 n = 1 时， b1 = 2 满足上式， bn = n( n + 1)

∴

1 1 1 1 = = ? bn n(n + 1) n n + 1

……………………………………………………10 分

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L + + = (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? )+( ? ) b1 b2 bn?1 bn 2 2 3 n ?1 n n n +1 1 n = ． n +1 n +1
………………………………………………12 分

= 1?

18． （本小题共 12 分） 解： （Ⅰ）记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A ，…………1 分

P( A) =

1 2 C5 ? C10 45 . = 3 C15 91

……………………………………4 分

（Ⅱ） 依据条件， ξ 服从超几何分布： 其中 N = 15, M = 5, n = 3 ， ξ 的可能值为 0,1, 2, 3 ，
3? k C5k C10 其分布列为： P ( ξ = k ) = ( k = 0,1, 2,3) .…………6 分 3 C15

ξ P

0 24 91

1 45 91

2 20 91

3 2 91
……………………8 分

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P =

10 2 = ， 15 3

一年中空气质量达到一级或二级的天数为η ，则η ~ B (360, ) .…………10 分

2 3

∴ Eη = 360 ×

2 = 240 ，∴ 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级.…… 12 分 3

19． （本小题满分 12 分） （I）证明：取 AB 的中点 O ，连接 EO, CO

Q AE = EB = 2, AB = 2 ∴ V AEB 为等腰直角三角形 ∴ EO ⊥ AB, EO = 1 ……………………………………2 分
又 Q AB = BC , ∠ABC = 60
o

∴ V ACB 是等边三角形 ∴ CO = 3 ，又 EC = 2, ∴ EC 2 = EO 2 + CO 2 ，∴ EO ⊥ CO …………………………4 分 ∴ EO ⊥ 平面 ABCD ，又 EO ? 平面EAB ∴ 平面 EAB ⊥ 平面 ABCD ;……………………………………6 分

（II） 以 AB 中点 O 为坐标原点， 以 OB 所在直线为

y 轴, OE 所在直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系如
图所示， 则 A(0, ?1, 0), C ( 3, 0, 0), D( 3, ?2, 0), E (0, 0,1)

uuu r uuu r uuu r ∴ AC = ( 3,1, 0), EC = ( 3, 0, ?1), DC = (0, 2, 0) ……………………8 分
设平面 DCE 的法向量 n = ( x , y ,1)

r

uuu r r ? 3 ? ? 3x ? 1 = 0 ? EC ? n = 0 ? ?x = ，即 ? ，解得 ? ∴ ? uuu r r 3 ， 2 y = 0 ? DC ? n = 0 ? ? ? ? ?y = 0 r 3 ∴ n = ( , 0,1) 3
设平面 EAC 的法向量 m = ( a, b,1)

u r

uuu r u r ? 3 ? ? ? AC ? m = 0 ? 3a + b = 0 ?a = ，解得 ? r u r ，即 ? ? uuu 3 ， a 3 ? 1 = 0 EC ? m = 0 ? ? ? ? ? ?b = ?1 u r 3 ∴ m = ( , ?1,1) …………………………………………………………10 分 3 u r r u r r m?n 2 7 Q cos m, n = u r r = 7 | m || n |
所以二面角 A ? EC ? D 的余弦值为 20． （本小题共 12 分）

2 7 7

…………………………12 分

解一： （1）由题知：

y y 1 ? = ? …………2 分 2 x+ 2 x? 2

x2 化简得： + y 2 = 1( y ≠ 0) ……………………………4 分 2
（2）设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q ( x2 , ? y2 ) ， l : x = my + 1 ，

代入

x2 + y 2 = 1( y ≠ 0) 整理得 (m 2 + 2) y 2 + 2my ? 1 = 0 …………6 分 2 ?2 m ?1 ， y1 y2 = 2 ，………………………………8 分 2 m +2 m +2 y1 + y2 ( x ? x1 ) x1 ? x2

y1 + y 2 =

Q MQ 的方程为 y ? y1 =
令 y = 0， 得 x = x1 +

y1 ( x2 ? x1 ) my ( y ? y ) 2my1 y2 = my1 + 1 + 1 2 1 = + 1 = 2 ………10 分 y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2

∴ 直线 MQ 过定点 (2, 0) .………………12 分
解二：设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q ( x2 , ? y2 ) ， l : y = k ( x ? 1) ，

代入

x2 + y 2 = 1( y ≠ 0) 整理得 (1 + 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 …………6 分 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x x = ，…………8 分 1 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2 y1 + y2 ( x ? x1 ) x1 ? x2

x1 + x2 =

Q MQ 的方程为 y ? y1 =
令 y = 0， 得 x = x1 +

y1 ( x2 ? x1 ) k ( x1 ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x1 x2 ? ( x1 + x2 ) = x1 + = = 2 ……10 分 y1 + y2 k ( x1 + x2 ? 2) x1 + x2 ? 2

∴ 直线 MQ 过定点 (2, 0) .…………12 分
解三：由对称性可知，若 MQ 过定点，则定点一定在 x 轴上， 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q ( x2 , ? y2 ) ， l : y = k ( x ? 1) ，

代入

x2 + y 2 = 1( y ≠ 0) 整理得 (1 + 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 …………6 分 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x x = ，…………8 分 1 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2 uuur uuu r uuur uuu r

x1 + x2 =

设 MQ 过定点 R ( m,0) ，则 RM // RQ ，而 RM = ( x1 ? m, ? y1 ), RQ = ( x2 ? m, y2 )

则 ( x1 ? m) ? y2 + ( x2 ? m ) ? y1 = k [2 x1 x2 ? ( m + 1)( x1 + x2 ) + 2m]

= k[

4k 2 ? 4 4k 2 (m + 1) 2m ? 4 ? + 2m] = k ? =0 2 2 1 + 2k 1 + 2k 1 + 2k 2

∴ m = 2 …………10 分 ∴ 直线 MQ 过定点 (2, 0) .…………12 分
21． （本小题共 12 分） 解（I） a = 1 时, f ( x ) = ( x 2 ? 2 x + 1)e x ,

f ′( x) = ( x 2 ? 1)e x
于是 f (0) = 1 , f ′(0) = ?1 , 所以函数 f ( x ) 的图象在点 A(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 = ?( x ? 0) 即 x + y ?1 = 0 ． ………………………… ……………… 2 分

2 2 1 （II） f ′( x ) = ( 2 x ? )e ax + ( x 2 ? x + ) ? a ? e ax a a a = (2 x ? 2 a ? 2 ax + ax 2 ? 2 x + 1)e ax = (ax 2 + )e ， a a a?2 的符号． a ……………… 4 分

∵ a > 0, e ax > 0 ，∴ 只需讨论 ax 2 + ⅰ）当 a ＞2 时， ax 2 + 增函数．

a?2 ＞0，这时 f ′( x ) ＞0，所以函数 f ( x ) 在（－∞，+∞）上为 a

ⅱ）当 a = 2 时， f ′( x) = 2 x e ≥0，函数 f ( x ) 在（－∞，+∞）上为增函数．
2 2x

……………… 6 分 ⅲ）当 0＜ a ＜2 时，令 f ′( x ) = 0，解得 x1 = ? 2?a ， x2 = a 2?a ． a

当 x 变化时， f ′( x ) 和 f ( x ) 的变化情况如下表：

x f ′( x )

( ?∞,? +

2?a ) a

?

2?a a 0

(?

2?a 2?a , ) a a －

2?a a 0

(

2?a ,+∞) a +

f ( x)

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴ f ( x ) 在 ( ?∞,?

2?a 2?a 2?a 2?a ) ，( ,+∞) 为增函数， f ( x ) 在 ( ? , )为 a a a a

减函数……………… 8 分

（Ⅲ）当 a ∈（1，2）时， 在(

2?a 2?a ) 上是减函数， ∈（0，1） ．由（2）知 f ( x ) 在 (0, a a

2?a 2?a 2 ,1) 上是增函数，故当 x ∈（0，1）时， f ( x) min = f ( ) = 2 (1 ? 2 ? a )e 2 ?a ， a a a 2 所以 f ( x) > 2 当 x ∈（0，1）时恒成立，等价于 (1 ? 2 ? a )e 2 ?a > 1 恒成立．……10 分 a 当 a ∈（1，2） 时， 2 ? a ∈ (0,1) ，设 g (t ) = (1 ? t )et , t ∈ (0,1) ，则 g ′(t ) = e t ? e t ? te t = ?te t < 0 ， 表明 g(t) 在 （0， 1） 上单调递减， 于是可得 g (t ) ∈ (0,1) ， 即a∈ （1， 2） 时 (1 ? 2 ? a )e 恒成立，因此，符合条件的实数 a 不存在. ……………… 12 分
2? a

<1

22． （本小题共 10 分）证明： （Ⅰ）连接 OC ，因为 OA = OC ,所以 ∠OCA = ∠OAC ....2 分
0 又因为 AD ⊥ CE ，所以 ∠ACD + ∠CAD = 90 ，

又因为 AC 平分 ∠BAD ，所以 ∠OAC = ∠CAD ， .............................................. 4 分 所以 ∠OCA + ∠ACD = 90o ，即 OC ⊥ CE ，所以 CE 是 e O 的切线................. 6 分 （Ⅱ）连接 BC ，因为 AB 是圆 O 的直径，所以 ∠BCA = ∠ADC = 900 ， 因为 ∠OAC = ∠CAD ， ............................................................................................ 8 分 所以△ ABC ∽△ ACD ，所以 23． （本小题共 10 分） 解： （Ⅰ）

AC AD 2 = ，即 AC = AB ? AD . ..................... 10 分 AB AC

Q ρ = 4cos θ ， ∴ ρ 2 = 4 ρ cos θ ， .............................................................................................. 2 分

由 ρ 2 = x 2 + y 2 , ρ cos θ = x 得： x 2 + y 2 = 4 x
2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) + y = 4 ，…………………………4 分

它是以 (2, 0) 为圆心，半径为 2 的圆. …………………………………………5 分

? 3 x = ?1 + t ? ? 2 代入 x 2 + y 2 = 4 x 整理得 t 2 ? 3 3t + 5 = 0 ，……7 分 （Ⅱ）把 ? ? y = 1t ? ? 2
设其两根分别为 t1 、 t2 ，则 t1 + t2 = 3 3, t1t2 = 5 ，…………………………8 分

∴ PQ = t1 ? t2 = (t1 + t2 ) 2 ? 4t1t2 = 7 ……………………………………10 分
另解： 化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得 PQ 的值． 24． （本小题满分 10 分） 解： （Ⅰ）由题设知： x ? 1 + x + 2 > 7 ， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

?x ≥ 1 ?? 2 < x < 1 ? x ≤ ?2 ，或 ? ，或 ? ………………3 分 ? ?x ? 1 + x + 2 > 7 ?? x + 1 + x + 2 > 7 ?? x + 1 ? x ? 2 > 7
解得函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?∞,?4) ∪ (3,+∞ ) ； （Ⅱ）不等式 f ( x ) ≥ 3 即 x ? 1 + x + 2 ≥ a + 8 ， ………………………………5 分

Θ x ∈ R 时，恒有 x ? 1 + x + 2 ≥ ( x ? 1) ? ( x + 2) = 3 ，…………………………8 分 Θ 不等式 x ? 1 + x + 2 ≥ a + 8 解集是 R， ∴ a + 8 ≤ 3, ∴ a 的取值范围是 (?∞,-5] ．
……………………………10 分