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江苏省2016届高三数学一轮复习优题精练:函数 Word版含答案

江苏省 2016 年高考优题精练 函
一、填空题 1、 (2015 年江苏高考) 已知函数 f ( x) ?| ln x | ,g ( x) ? ? 实根的个数为 。


? 0,0 ? x ? 1 , 则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

2、(2014 年江苏高考)已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1,若对于任意 x ?[m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成 立,则实数 m 的取值范围是 ▲ .
2 3、 (2014 年江苏高考) 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x[0,3) 时,f ( x ) ?| x ? 2 x ?

1 | 2

y ? f ( x) ? a 在区间 [?3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ .
4、(2013 年江苏高考)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x ,则不等 式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 。

5、(2015 届南京、盐城市高三二模)已知函数 f(x ) ? ?

? x 2 ? 2x ,x ? 0 ?f(x ? 1) ? 1,x ? 0


100 ] ,当 x ? [0,

时,关于 x 的方程 f (x ) ? x ?

1 的所有解的和为 5

6 、 ( 南 通 、 扬 州 、 连 云 港 2015 届 高 三 第 二 次 调 研 ( 淮 安 三 模 ) ) 设
f ( x) ? 4 x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R )是 R 上的单调增函数,则 m 的值为 ▲ .
3 7、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(二))已知函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? ax ? 2 恰有 2 个

零点,则实数 a 的取值范围为


2

8、(泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)若函数 f ( x) ? ( x ? 2) x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .
2

9、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)若函数 f ( x) ? ? ln x ? ax ? bx ? a ? 2b 有两个极值点

1 x1 , x2 ,其中 ? ? a ? 0, b ? 0 ,且 f ( x2 ) ? x2 ? x1 ,则方程 2a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ?1 ? 0 的实根个数 2
为 ▲ 10、 (南通市 2015 届高三期末)已知函数 f ( x ) 是定义在 ?1, ?? ? 上的函数,

1

?1? | 2 x ? 3 |,1 ? x ? 2 ? , 则函数 y ? 2 xf ( x) ? 3 在区间 ?1, 且 f ( x) ? ? 1 2015? 上的零点个数为 1 f ( x),    x ? 2 ? ?2 2
11、 (苏州市 2015 届高三上期末) 已知函数 f ( x) ? ? 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 12、(苏州市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? lg(1 ? 则实数 a 的值为 13、(泰州市 2015 届高三上期末)函数 f ( x) ? 2 x ? 4 的定义域为 ▲

?4,

x ? m, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 恰 ? x ? 4 x ? 3, x ? m.
2

a 1 ) 的定义域是 ( , ??) , x 2 2

14、(无锡市 2015 届高三上期末)已知函数 y = f (x ) 是定义域为 ? 的偶函数,当 x ? 0 时,

ì ? ? ? ? ? f (x ) = í ? ? ? ? ? ?

1 2 x , 0 #x 2 2 4 7a f x + af ( x) + = 0, a ? ? 有且仅有 8 个 , 若关于 x 的方程 轾 ( ) x 犏 臌 骣 16 1 3 ÷ ? ÷ - ,x > 2 ? ? 2÷ 桫 4

不同实数根,则实数 a 的取值范围是

? 2 x ? a, x ? 2 ? 15、(扬州市 2015 届高三上期末)设函数 f ( x) ? ? ,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 2 ? ?x ? a , x ? 2
的取值范围是___ 16、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(一))函数 y ? ln( x2 ? 2) 的定义域为 17、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0 ≤x≤1 时,f(x)=x2,当 x>0 时,f(x+1)=f(x)+f(1).若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点,则实数 k 的值为 ▲

1 , x ? [?2, 4] 的所有零点之和为 . 1? x 19、(南京、盐城市 2014 高三第一次模拟)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0. ? ?)
18、 (2014 江苏百校联考一) 函数 f ( x) ? 2sin(? x) ? 上是单调增函数.如果实数 t 满足 f (ln t ) ? f (ln ) ? 2 f (1) 时,那么 t 的取值范围是
? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, g ( x ) ? f ( x ) ? 2k , 20、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 3 月调研 (一) ) 已知函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

1 t

若函数 g ( x) 恰有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围为



2

二、解答题 1 、(盐城市 2015 届高三上学期期中考试)设函数 y ? lg(? x2 ? 4x ? 3) 的定义域为 A ,函数

y?

2 , x ? (0, m) 的值域为 B . x ?1 (1)当 m ? 2 时,求 A ? B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

2、(泰兴市第三高级中学 2015 高三上第一次质检)已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1,3), 且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. (1) 求 f(x)与 g(x)的解析式; (2) 若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围.

3、(泰兴市第三高级中学 2015 高三上第一次质检)已知函数 f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2. (1) 求函数 f(x)的定义域; (2) 判断函数 f(x)的奇偶性; (3) 求函数 f(x)的值域.

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 4、 (苏州市 2015 届高三上学期期中考试) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1 , g ( x) ? a x ? 1 ,
(1) a ? 2 , x ??0,3? ,求 F ( x) 值域; (2) a ? 2 ,解关于 x 的不等式 F ( x) ≥ 0 .

3

5、(常州市 2015 届高三)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一 间室内面积为 900m2 的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩 形区域之间间隔 1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分 别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为 x (m),三块种植植物的 矩形区域的总面积 为 S (m2). ... (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

6、(南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))设 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a ? a . (1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值;
3] , f ( x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若对任意的 x ? [2,

(3)当 a ? 4 时,求函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 零点的个数.

7、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. x

(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值.

8、已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) , g ( x) ? x . (1)当 b ? ?5 时,求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 b 的取值范围.

4

参考答案
一、选择题 1、4

? 0, 0 ? x ? 1 ?? ln x, 0 ? x ? 1 ? , g ( x) ? ?2 ? x 2 ,1 ? x ? 2 详 细 分 析 : 由 f ( x) ? ? ? ln x, x ? 1 ? x 2 ? 6, x ? 2 ? ? ? ln x, 0 ? x ? 1 ? ? ?ln x ? x 2 ? 2,1 ? x ? 2 ,由于: ? ln x ? x 2 ? 6, x ? 2 ?

得到:

f ( x) ? g ( x)

x ? (0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 单调递减,且取值范围在 [0, ??) ,故在该区域有 1 根; x ? (1, 2] 时, f ( x) ? g ( x) 单调递减,且取值范围在 [ln 2 ? 2,1) ,故该区域有 1 根;
x ? (2, ??) 时, f ( x) ? g ( x) 单调递增,且取值范围在 (ln 2 ? 2, ??) ,故该区域有 2 根。
综上, f ( x) ? g ( x) ? 1的实根个数为 4。 2、 (?

2 ,0) 2

【提示】二次函数开口向上,在区间 [m, m ? 1] 上始终满足 f ( x) ? 0 ,只需 ?

? f (m) ? 0 即可, ? f (m ? 1) ? 0

? 2 2 ? ?m? ? ? m ? m ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ,则 m ? (? 2 ,0) ,解得 ? ? 2 2 ? ?(m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0 ?? 3 ? m ? 0 ? ? 2
2 2

3、【答案】 (0, ) 【提示】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找 y ? f ( x) 与 y ? a 的图象交点去推出

1 2

1 的图像,再将 x 轴下方的图象对称到上方,利用周期为 3,将 2 1 图象平移至 [?3,4] ,发现若 f ( x) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的交点,则 a ? (0, ) 2
2 零点,先画出[0,3]上 y ? x ? 2 x ?

2 2 4、答案: x < 0 ,则 ? x > 0 ,∴ f (? x) ? (? x) ? 4(? x) ? x ? 4 x ∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函


2 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x) ? x ? 4 x

∴ f ( x) ? ? x ? 4x
2

又∵ f (0) ? 0

5

? x 2 ? 4 x( x ? 0) ?x ? 0 ?x ? 0 ? ∴ f ( x) ? ?0 ∴? 2 或者 ? 2 ?? x ? 4 x ? x ?? x 2 ? 4 x( x ? 0) ? x ? 4 x ? x ?
∴ x ? 5 或者 ? 5 ? x ? 0 ∴不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ?? 5,0? ? ?5,??? 5、10000 8、 (??, 2] ? [5, ??) 11、(1,2] 14、 16、 ??, ? 2 ? 18、答案:8 6、6 9、5 12、 2 15、 7、a<-1 或 a>1 10、11 13、 [2, ??)

?1? ? ?2, ? ?? ? ??,
17、2 2-2

?

? ?

2, ??

?

1 1 ? 2 sin ?t ? ,其 t t 1 中 t ? [?3,3] ,因 g (?t ) ? ? g (t ) ,故 g ( x) 是奇函数,观察函数 y ? 2 sin ?t 与 y ? 在 t
提示:设 t ? 1 ? x ,则 x ? 1 ? t ,原函数可化为 g (t ) ? 2 sin(? ? ?t ) ?

t ? (0,3] 的图象可知,共有 4 个不同的交点,故在 t ? [?3,3] 时有 8 个不同的交点,其横坐
标之和为 0,即 t1 ? t 2 ? ? ? t 7 ? t8 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? ? ? x7 ? x8 ? 8 19、 [ , e ] 二、解答题
2 1、解:(1)由 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? (1,3) ,

1 e

2 ?1 ? 7 3? } 20、 ? ? , ? ? ? {0, ? 2 2? e 2

2 2 2 , 2) ,即 B ? ( , 2) ,……4 分 在区间 (0, m) 上单调递减,所以 y ? ( x ?1 m ?1 m ?1 2 当 m ? 2 时, B ? ( , 2) ,所以 A ? B ? (1, 2) . …………6 分 3 (2)首先要求 m ? 0 , …………8 分 2 , 2) ? (1,3) , ……10 分 而“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,所以 B ? A ,即 ( m ?1 2 ? 1, 从而 ………12 分 m ?1 解得 0 ? m ? 1 . ………14 分
又函数 y ? 2、解:(1) 因为函数 f(x)满足 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立, m 所以图象关于 x=-1 对称,即- =-1,即 m=2. 2

6

又 f(1)=1+m+n=3,所以 n=0,所以 f(x)=x2+2x. 又 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称, 所以-g(x)=(-x)2+2(-x), 所以 g(x)=-x2+2x. (2) 由(1)知,F(x)=(-x2+2x)-λ(x2+2x)=-(λ+1)x2+(2-2λ)x. 2-2λ 1-λ 当 λ+1≠0 时,F(x)的对称轴为 x= = , 2(λ+1) λ+1 因为 F(x)在(-1,1]上是增函数, ?1+λ<0, ?1+λ>0, 所以?1-λ 或?1-λ ≤-1 ? ≥1, ? λ + 1 ? ?λ+1 所以 λ<-1 或-1<λ≤0. 当 λ+1=0,即 λ=-1 时,F(x)=4x 显然成立. 综上所述,实数 λ 的取值范围是(-∞,0].
?1-x>0, ? 3、解:(1) 由? 得-1<x<1, ?1+x>0, ?

?

?

所以函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2) 由 f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)+(-x)4-2(-x)2=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=f(x), 所以函数 f(x)是偶函数. (3) f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=lg(1-x2)+x4-2x2, 设 t=1-x2,由 x∈(-1,1),得 t∈(0,1]. 所以 y=lg(1-x2)+x4-2x2=lgt+(t2-1),t∈(0,1], 2 设 0<t1<t2≤1,则 lgt1<lgt2,t2 1<t2, 2 所以 lgt1+(t1 -1)<lgt2+(t2 2-1), 2 所以函数 y=lgt+(t -1)在 t∈(0,1]上为增函数, 所以函数 f(x)的值域为(-∞,0].

? x2 ? 2 x ? 1 4、解:(1) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? 2 ? x ? 2x ? 3

(1 ? x ? 3) ;-----------------2 分 (0 ? x ? 1)

1 ? x ? 3 , x2 ? 2 x ? 1??0,4? ;--------------------------------------------------------------------------4 分 0 ? x ? 1, x2 ? 2 x ? 3 ?? ?3,0 ? ;------------------------------------------------------------------------6 分

所以 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域为 [?3, 4] ;-----------------------------------------------------------7 分

?( x ? 1)( x ? 1 ? a) (2) F ( x) ? ? ?( x ? 1)( x ? 1 ? a)

( x ? 1) ;-----------------------------------------------------------9 分 ( x ? 1)

x ? 1 , F ( x) ? 0 , a ? 2 ,得 x ? 1 或 x ? a ? 1; ? x ? a ? 1 或 x ? 1 --------------------------12 分 x ? 1 , F ( x) ? 0 ,得 x ? ? a ? 1 或 x ? 1 ; ? x ? ? a ? 1 ------------------------------------------14 分
5、解:(1)由题设,得
7200 ? 900 ? S ? ? x ? 8? ? ? 2 ? ? ?2 x ? ? 916 , x ? ?8, 450? . x ? x ?

………………………6 分

7

(2)因为 8 ? x ? 450 ,所以 2 x ? 当且仅当 x ? 60 时等号成立. 从而 S ≤ 676 .

7200 7200 ≥ 2 2x ? ? 240 , x x

……………………8 分

………………………10 分 ………………………12 分

答:当矩形温室的室内长为 60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为
676 m2 .

………………………14 分

6、解:(1)若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) , 令 x ? 0 得, f (0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? 0 , 所以 a ? 0 ,此时 f ( x) ? x x 为奇函数.
3] , f ( x)≥0 恒成立,所以 f ( x)min ≥0 . (2)因为对任意的 x ? [2, 3] , f ( x) ? x x ? a ? a≥0 恒成立,所以 a≤0 ; …… 6 分 当 a≤0 时,对任意的 x ? [2,
2 ? x ? a, ?? x ? ax ? a, 当 a ? 0 时,易得 f ( x) ? ? 2 在 ??,a ? 上是单调增函数,在 ? a , a? 上 ? ? ? 2 2 ? ? ? x ? ax ? a , x ≥ a ? ?

…… 4 分

?

是单调减函数,在 ? a, ? ? ? 上是单调增函数, 当 0 ? a ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? 2(2 ? a) ? a≥0 ,解得 a≤ 4 ,所以 a≤ 4 ; 3 3 当 2≤ a≤3 时, f ( x)min ? f (a) ? ?a≥0 ,解得 a≤0 ,所以 a 不存在;
3(a ? 3) ? a?≥0 , 当 a ? 3 时, f ( x)min ? min ? f (2) ,f (3)? = min ?2(a ? 2) ? a , 解得 a≥ 9 , 2

所以 a≥ 9 ; 2 综上得, a≤ 4 或 a≥ 9 . 2 3 (3)设 F ( x) ? f ? f (x) ? a ? , 令 t ? f ( x) ? a ? x x ? a 则 y ? f (t ) ? t t ? a ? a , a ? 4 , 第一步,令 f (t ) ? 0 ? t t ? a ? a , 所以,当 t ? a 时, t 2 ? at ? a ? 0 ,判别式 ? ? a(a ? 4) ? 0 , …… 10 分

8

2 2 解得 t1 ? a ? a ? 4a , t2 ? a ? a ? 4a ; 2 2

当 t≥a 时,由 f (t ) ? 0 得,即 t (t ? a) ? a ,
2 解得 t3 ? a ? a ? 4a ; 2
2 第二步,易得 0 ? t1 ? a ? t2 ? a ? t3 ,且 a ? a , 2 4

① 若 x x ? a ? t1 ,其中 0 ? t1 ? a , 4 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 p( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
p(a) ? t1 ? 0 ,且 ?1 ? a2 ? 4t1 ? 0 ,所以方程 t 2 ? at ? t1 ? 0 有 2 个不同的实根;

2

当 x≥a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 q( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
q(a) ? ?t1 ? 0 ,且 ?2 ? a2 ? 4t1 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t1 ? 0 有 1 个实根,

从而方程 x x ? a ? t1 有 3 个不同的实根; ② 若 x x ? a ? t2 ,其中 0 ? t2 ? a , 4 由①知,方程 x x ? a ? t2 有 3 个不同的实根; ③ 若 x x ? a ? t3 , 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 r ( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
r (a) ? ?t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根;
2

当 x≤a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 s( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
s(a) ? t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ,

a 2 ? 4t3 ? 0 ? a3 ? 4a 2 ? 16 ? 0 ,

…… 14 分

记 m(a) ? a3 ? 4a2 ? 16 ,则 m?(a) ? a(3a ? 8) ? 0 , 故 m(a) 为 (4,? ?) 上增函数,且 m(4) ? ?16 ? 0 , m(5) ? 9 ? 0 ,
5) , 所以 m(a) ? 0 有唯一解,不妨记为 a 0 ,且 a0 ? (4 ,

若 4 ? a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 0 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根;

9

若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 2 个实根, 所以,当 4 ? a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 1 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 2 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 3 个实根. 综上,当 4 ? a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 7; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 8; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 9. …… 16 分

(注:第(1)小问中,求得 a ? 0 后不验证 f ( x) 为奇函数,不扣分;第(2)小问中利用分离参 数法参照参考答案给分;第(3)小问中使用数形结合,但缺少代数过程的只给结果分.) 7.解:(1) 当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1)–f(x2)= x1 ?

4 ? 2 ,…………………………………………1 分 x

4 4 ( x ? x2 )(x1 x2 ? 4) ………………3 分 ? x2 ? ? 1 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)………………………………………5 分 所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数;………………………………………………………6 分 (2) f ( x) ? x ? 当且仅当 x ? 当0 ?

a ? 2 ? 2 a ? 2 ,……………………………………………………7 分 x

a 时等号成立,…………………………………………………………8 分

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f ( x) 的最小值为 2 a ? 2 ,………………………10 分

当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,2] 上单调递减,…………………………………11 分 所以当 x ? 2 时, f ( x) 取得最小值为

a ,………………………………………………13 分 2

综上所述: f ( x) min

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

0 ? a ? 4, a ? 4.
………………………………………14 分

8、解:(1)由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ………………………………………………3 分 解得 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (2, ??) .………………………6 分

4 ? (2)由 f ( x) ? g ( x) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ,即 b ? 1 ? ? 2 x ? x 2 ?

? ? ……………………9 分 ?

10

4? ? 令 h( x) ? 1 ? ? 2 x ? x ? ,则 h( x) ? ?3 ,………………………………………………12 分 2 ? ?

? 当 b ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.………………………………………………14 分

11


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