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高中数学 1-3-1-1函数的基本性质课件 新人教A版必修1(全面精品最新)_图文

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 【课标要求】 1.理解并掌握函数单调性及其几何意义. 2.掌握用定义判断函数单调性的一般方法. 【核心扫描】 1.判断、证明函数的单调性.(重点、难点) 2.求函数的单调区间.(重点) 自学导引 1.增函数与减函数的概念 设函数 f(x)的定义域为 I: v (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说函数 f(x)在区 间 D 上是增函数,如图①所示. (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说函数 f(x)在区 间 D 上是减函数,如图②所示. 2.函数的单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数 或 减函数 , 那么就说函 数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性 , 区间 D 叫做 y=f(x) 的 单调区间 . 想一想:如图所示函数 f(x)的图象, 则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0] ∪(0,+∞)吗? 提示 不是,其单调增区间为(-∞,0]和(0,+∞). 3.判断(证明)函数的单调性 判断(证明)函数单调性的步骤 名师点睛 1.对函数单调性概念的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的 不同的区间上可以有不同的单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的 x1、 x2 有以下几个特征: 一是任意性, 即“任意取 x1, x2”, “任 意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值 替换; 二是有大小, 通常规定 x1<x2; 三是属于同一个单调区间. (3) 单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关 系正逆互推,即由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2). (4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既 有增区间又有减区间,则此函数在这个区间上不存在单调性. 提醒 若函数出现两个或两个以上的单调区间时,两单调区间 不能用“∪”连接呦!而用“和”或“,”连接. 2.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法:这是证明或判定函数单调性的常用方法.这种判断 函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查,一定要引起重 视. (2)图象法:根据函数图象的升、降情况进行判断. (3)依据已知函数的单调性判断:如根据已学过的一次函数、二 次函数、反比例函数的单调性情况. 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 拓展 在解答选择或填空题时,也可用到以下结论: (1)函数 y=f(x)与 y=-f(x)单调性相反; 1 (2)若函数 f(x)恒正或恒负时, 函数 y= 与 y=f(x)单调性相反; f?x? (3)在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函 数=增函数;减函数+减函数=减函数,减函数-增函数=减 函数. 题型一 证明或判断函数的单调性 x 【例 1】 利用定义判断 f(x)= 在区间(0, +∞)上的单调性. x+2 [思路探索] 函数解析式和区间已给出,只需利用单调性的定义 判断即可. 证明 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, x1?x2+2?-x2?x1+2? x1 x2 则 f(x1) - f(x2) = - = = x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2? 2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2? ∵x1<x2 且 x1,x2∈(0,+∞),∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2). x ∴f(x)= 在区间(0,+∞)上是增函数. x+2 规律方法 判断函数的单调性常用定义法和图象法,而证明函 数的单调性则应严格按照单调性的定义操作. 利用定义法判断(或运用)函数的单调性的步骤为: (1)取值(注意 x1、x2 的任意性);(2)作差变形(目的是便于判断符 号);(3)判断差的符号;(4)写出结论. 1 【变式 1】 证明函数 f(x)=x+x 在(0,1)上是减函数. 证明 设 0<x1<x2<1,则 ? 1? ? 1? f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? ? ? 1? 2? ?1 1? =(x1-x2)+?x -x ? ? 1 2? x2-x1 ?x1-x2??x1x2-1? =(x1-x2)+ = , x1x2 x1x2 ∵0<x1<x2<1,∴x1-x2<0.x1x2-1<0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴f(x)=x+x 在(0,1)上是减函数. 题型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,并指出函数的单 调区间. [思路探索] 化简函数解析式 → 画出函数图象 → 确定单调区间 解 y=-x2+2|x|+3 2 2 ? - x + 2 x + 3 =- ? x - 1 ? +4 ? =? 2 2 ? - x - 2 x + 3 =- ? x + 1 ? +4 ? ?x≥0?, ?x<0?, 函数图象如图所示. 函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数, 函数在[-1,0],[1,+∞]上是减函数. ∴函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1], 单调减区间是[-1,0]和[1,+∞). 规律方法 (1)由函数图象确定函数单调区间是一种直观简单的 方法,对于较复杂的函数的单调区间,可以利用一些基本函数的 单调性或根据函数单调性的定义来求. (2)一个函数出现两个或

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