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12.6.3直线与双曲线的位置关系.ppt


回顾:

椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

一、直线与双曲线位置关系:
Y

O

X

分类: 相离;相切;相交。

图象法:

根据交点个数判定
Y

位置关系

公共点个数

相交:
X O

2个公共点
1个公共点 0个公共点

相切: 相离:

特别的
Y

相交:一个公共点
O X

直线与双曲线的公共点从“形”上观察得出: 公共点个 数 两个公共点 一个公共点 0 个公共点

相交

相 切

相 交

相离

x2 y2 ? ?1 例1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 4 交点的直线 共有_______ 条.

只有 一个
Y
( 1, 1) 。

变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4) 1. 2. 3. 4. 2条 3条 2条 0条 4条

O

X

2.B(3,0)
3.C(4,0) 4.D(0,0).

5.E(1,2)答案又是怎样的? 5.

一、直线与双曲线的位置关系 2 2 典型例题: ?1- k ? x + 2kx - 5 = 0
例2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5或k> 5 ;
2

(2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 且k ? ?1
2 2

2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ;
5 (5)与左支交于两点. (5) ? ? k ? ?1 2

代数法:

从“数”上判断直线与双曲线位置关系

把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

练习:1、判定直线和双曲线的位置关系 2 1 x (1) l : y ? x ? 1 , c : ? y 2 ? 1 2 4

x2 (2) l : y ? x ? 3 , c : ? y 2 ? 1 4
2. 求过点(2, 2)且与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 有且只有一个 公共点的直线方程。

二、双曲线截直线的弦长、弦中点的问题
x2 y2 例3:已知双曲线 ? ? 1与直线x ? y ? 2 ? 0交于 3 2 A、B两点,求线段 AB的中点坐标及线段 AB的长度.

变式:过双曲线 3 ? 6 ? 1的右焦点作倾斜 角为30°的直线,交双曲线于A、B两点,求 |AB|.
韦达定理
弦长公式L= 1 ? k 2 |x1-x2|= 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

x2

y2

x2 y2 练习.直线L在双曲线 ? ? 1 上截得的弦长为4, 3 2 其斜率为2,求直线方程.

中点弦(点差法)
y = 1,过点A(1,2)能否作直线L 例2. 4. 已知双曲线x 2 使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的中点?
2 2

说明理由.
变式:将定点A(1,2)改为定点B(1,1),结果如何?

练习.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求: (1)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)以定点(1,1)为中点的弦存在吗?说明理由。

2 y ?1 例5:求过定点(0, 1)的直线L被双曲线 x 2 ? 4

截得的弦AB中点P的轨迹方程。

小结:
判定位置关系的方法是代数法,即联立方程组, 消元,得到关于 x的方程, ①当直线与渐近线平行时,此时二次项系数为 0,直线与双曲线相交于一点; ②不平行时,二次项系数不为0,得到一元二 次方程,判断实数解的个数:

Δ >0
Δ =0 Δ <0

两个交点 一个交点 无交点

相交

相切 相离

作业1:
1.若直线 l : y ? k ( x ? 1)与双曲线 x ? y ?4
2 2

有两个不同的交点 , 求k的取值范围 .
2.双曲线x2-y2=1,过点(0,1)作直线,有几条 与双曲线只有一个交点?求直线方程。

3.点P(8,1)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦AB,
求直线AB方程。 4.点P(1,1/2)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦AB, 求直线AB方程。
5.已知双曲线3 x 2 ? y 2 ? 3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45?, 与双曲线交于A、B两点,试问A、B两点是否在双曲线同一 支上?并求弦AB的长。

典型例题:
y 2 x2 例6. 已知直线L与双曲线C : ? ? 1相交于A, B两点. 3 5 与双曲线的渐近线相交于C,D两点, 求证:|AC|=|BD|

分析:只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率,设L的方程为:y=kx+b
? y=kx+b ? 2 ? (5k 2 ? 3)x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 15 ? 0 ?y x2 ? ?1 ? 5 ? 3


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