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2015年湖北省高考数学试卷(文科)附详细解析


2015 年湖北省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. (3 分) (2015?湖北)i 为虚数单位,i A.﹣i B.i
607

=( ) C .1

D.﹣1

2. (3 分) (2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 3. (3 分) (2015?湖北)命题“?x0∈(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1”的否定是( ) A.?x0∈(0,+∞) B. ?x0?(0,+∞) ,lnx0≠x0﹣1 ,lnx0=x0﹣1 C. ?x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1 D.?x?(0,+∞) ,lnx=x﹣1 4. (3 分) (2015?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结 论中正确的是( ) A.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B. x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C. x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 5. (3 分) (2015?湖北)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

6. (3 分) (2015?湖北)函数 f(x)= A.(2,3) B.(2,4]

的定义域为(



C.(2,3)∪(3,4]D.(﹣1,3)∪(3, 6]

7. (3 分) (2015?湖北)设 x∈R,定义符号函数 sgnx=

,则(



A.|x|=x|sgnx|

B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnx

D.|x|=xsgnx

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8. (3 分) (2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率, P2 为事件“xy≤ ”的概率,则( A. p1<p2< B. ) C. p2< D.

9. (3 分) (2015?湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时 增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B. 当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C. 对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 10. (3 分) (2015?湖北)已知集合 A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2, x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B},则 A⊕B 中 元素的个数为( ) A.77 B.49 C.45 D.30
2 2

二、填空题 11. (3 分) (2015?湖北)已知向量 ,| |=3,则 = .

12. (3 分) (2015?湖北)设变量 x,y 满足约束条件

,则 3x+y 的最大值





13. (3 分) (2015?湖北)函数 为 .

的零点个数

14. (3 分) (2015?湖北)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= . (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .

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15. (3 分) (2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m.

16. (3 分) (2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两 点 A,B(B 在 A 的上方) ,且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 .

17. (3 分) (2015?湖北) a 为实数, 函数 f (x) =|x ﹣ax|在区间[0, 1]上的最大值记为 g (a) . 当 a= 时,g(a)的值最小.

2

三、解答题 18. (12 分) (2015?湖北)某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ) (w>0,|φ|< 在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:
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wx+φ 0 x

π



0 5 0 Asin(wx+φ) ﹣5 (1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 的图象离原点 O 最近的对称中心. 19. (12 分) (2015?湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公 比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 个单位长度,得到 y=g(x)图象,求 y=g(x)

20. (13 分) (2015?湖北) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 P﹣ ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、BE. (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直 角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值.

21. (14 分) (2015?湖北)设函数 f(x) ,g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g x (x)是偶函数,f(x)+g(x)=e ,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f(x) ,g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)设 a≤0,b≥1,证明:当 x>0 时,ag(x)+(1﹣a)< <bg(x)+(1﹣b) .

22. (14 分) (2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且
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DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C, 以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由.

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2015 年湖北省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 607 1. (3 分) (2015?湖北)i 为虚数单位,i =( ) A.﹣i B.i C .1 D.﹣1 考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用虚数单位 i 的运算性质得答案. 607 606 2 303 303 解答: 解:i =i ?i=(i ) ?i=(﹣1) ?i=﹣i. 故选:A. 点评: 本题考查了虚数单位 i 的运算性质,是基础的计算题.
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2. (3 分) (2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 考点: 随机抽样和样本估计总体的实际应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据 254 粒内夹谷 28 粒,可得比例,即可得出结论. 解答: 解:由题意,这批米内夹谷约为 1534× ≈169 石,
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故选:B. 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. 3. (3 分) (2015?湖北)命题“?x0∈(0,+∞) ,lnx0=x0﹣1”的否定是( ) A.?x0∈(0,+∞) B. ?x0?(0,+∞) ,lnx0≠x0﹣1 ,lnx0=x0﹣1 C. ?x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1 D.?x?(0,+∞) ,lnx=x﹣1 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解答: 解:命题的否定是:?x∈(0,+∞) ,lnx≠x﹣1, 故选:C 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
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4. (3 分) (2015?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结 论中正确的是( )
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A.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 C. x 与 y 正相关,x 与 z 负相关

B. x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关

考点: 变量间的相关关系. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,根据一次项系数的符号判断相关性,由 y 与 z 正相关,设 y=kz,k>0,得到 x 与 z 的相关性. 解答: 解:因为变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,一次项系数为﹣0.1<0,所以 x 与 y 负相 关;
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变量 y 与 z 正相关,设,y=kz, (k>0) ,所以 kz=﹣0.1x+1,得到 z=

,一

次项系数小于 0,所以 z 与 x 负相关; 故选:A. 点评: 本题考查由线性回归方程, 正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是 解题的关键. 5. (3 分) (2015?湖北)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则( ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系,进行判断即可. 解答: 解:若 l1,l2 是异面直线,则 l1,l2 不相交,即充分性成立, 若 l1,l2 不相交,则 l1,l2 可能是平行或异面直线,即必要性不成立, 故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据空间直线的位置关系是解决本题的关 键.
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6. (3 分) (2015?湖北)函数 f(x)= A.(2,3) B.(2,4]

的定义域为(



C.(2,3)∪(3,4]D.(﹣1,3)∪(3, 6]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件进行求解即可.
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解答: 解:要使函数有意义,则 ,







解得 2<x≤4 且 x≠3, 即函数的定义域为(2,3)∪(3,4], 故选:C 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

7. (3 分) (2015?湖北)设 x∈R,定义符号函数 sgnx=

,则(



A.|x|=x|sgnx|

B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnx

D.|x|=xsgnx

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 去掉绝对值符号,逐个比较即可. 解答: 解:对于选项 A,右边=x|sgnx|= 确; 对于选项 B,右边=xsgn|x|=

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,而左边=|x|=

,显然不正

,而左边=|x|=

,显然不正确;

对于选项 C,右边=|x|sgnx=

,而左边=|x|=

,显然不正确;

对于选项 D,右边=xsgnx=

,而左边=|x|=

,显然正确;

故选:D. 点评: 本题考查函数表达式的比较,正确去绝对值符号是解决本题的关键,注意解题方法的 积累,属于中档题.
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8. (3 分) (2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率, P2 为事件“xy≤ ”的概率,则( A. p1<p2< B. ) C. p2< D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 分别求出事件“x+y≤ ”和事件“xy≤ ”对应的区域,然后求出面积,利用几何概型公式
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求出概率,比较大小. 解答: 解:由题意,事件“x+y≤ ”表示的区域如图阴影三角形,

p1=



满足事件“xy≤ ”的区域如图阴影部分

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所以 p2=

=

=

> ;

所以



故选:B. 点评: 本题考查了几何概型的公式运用;关键是分别求出阴影部分的面积,利用几何概型公 式解答. 9. (3 分) (2015?湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时 增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B. 当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C. 对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论. 解答: 2 2 2 解:由题意,双曲线 C1:c =a +b ,e1= ;
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双曲线 C2:c′ =(a+m) +(b+m) ,e2=

2

2

2





=



=



∴当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2, 故选:D. 点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 10. (3 分) (2015?湖北)已知集合 A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2, x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B},则 A⊕B 中 元素的个数为( ) A.77 B.49 C.45 D.30 考点: 集合中元素个数的最值. 专题: 新定义;开放型;集合. 分析: 由题意可得,A={(0,0) , (0,1) , (0,﹣1) , (1,0) , (﹣1,0) ,B={(0,0) , (0, 1) , (0,2) , (0,﹣1) , (0,﹣2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) (1,﹣1) , (1,﹣2) (2,0) , (2,1) , (2,2) (2,﹣1) , (2,﹣2) , (﹣1,﹣2) , (﹣1,﹣1) , (﹣1, 0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣2,﹣2) , (﹣2,﹣1) , (﹣2,0) , (﹣2,1) , (﹣2,
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2

2

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2)},根据定义可求 2 2 解答: 解:∵A={(x,y)|x +y ≤1,x,y∈Z}={(0,0) , (0,1) , (0,﹣1) , (1,0) , (﹣ 1,0) , B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,﹣1) , (0,﹣ 2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) (1,﹣1) , (1,﹣2) (2,0) , (2,1) , (2,2) (2, ﹣1) , (2,﹣2) , (﹣1,﹣2) , (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣2, ﹣2) , (﹣2,﹣1) , (﹣2,0) , (﹣2,1) , (﹣2,2)} ∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}, ∴A⊕B={(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,﹣1) , (0,﹣2) , (1,0) , (1,1) , (1, 2) (1,﹣1) , (1,﹣2) (2,0) , (2,1) , (2,2) , (2,﹣1) , (2,﹣2) , (﹣1,﹣ 2) , (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣2,﹣2) , (﹣2,﹣1) , (﹣2, 0) , (﹣2,1) , (﹣2,2) , (﹣2,3) , (﹣2,﹣3) , (0,﹣3) , (2,﹣3) , (﹣1,3) , (﹣1,﹣3) , (1,3) , (2, 3) , (0,3) , (3,﹣1) , (3,0) (3,1) , (3,2) , (3,﹣2) (﹣3,2) (﹣3,1) , (1, ﹣3) , (﹣3,﹣1) , (﹣3,0) , (﹣3,﹣2)}共 45 个元素 故选:C. 点评: 本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元 素. 二、填空题 11. (3 分) (2015?湖北)已知向量 ,| |=3,则 = 9 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直,数量积为 0 得到所求. 解答: 解:因为向量 ,所以 =0;
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又 所以

= ﹣
2

=0, =0,即 =
2

=9

故答案为:9. 点评: 本题考查了向量的数量积;当向量垂直,即向量的夹角为 90°时,数量积为 0.

12. (3 分) (2015?湖北) 设变量 x, y 满足约束条件

, 则 3x+y 的最大值为

10 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值.
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解答: 解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x+y,得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,由图象可知当直线 y=﹣3x+z,经过点 C 时,直线 y=﹣3x+z 的 截距最大, 此时 z 最大. 由 得 .即 C(3,1) ,

此时 z 的最大值为 z=3×3+1=10, 故答案为:10.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

13. (3 分) (2015?湖北)函数

的零点个数为 2 .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将函数进行化简,由 f(x)=0,转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 2 2 解答: 解:f(x)=2sinxcosx﹣x =sin2x﹣x , 2 由 f(x)=0 得 sin2x=x , 2 作出函数 y=sin2x 和 y=x 的图象如图: 由图象可知,两个函数的图象有 2 个不同的交点, 即函数 f(x)的零点个数为 2 个, 故答案为:2
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点评: 本题主要考查函数零点个数的判断, 利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象 的交点问题是解决本题的关键. 14. (3 分) (2015?湖北)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= 3 . (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 6000 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1) 频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率, 先算出频率, 在根据频率和为 1, 算出 a 的值; (2)先求出消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率,再求频数. 解答: 解: (1)由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得 a=3 (2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×10000=6000 故答案为: (1)3 (2)6000 点评: 本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,频数=频率×样本容量,属 于基础题.
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15. (3 分) (2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= 100 m.

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考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 设此山高 h(m) ,在△ BCD 中,利用仰角的正切表示出 BC,进而在△ ABC 中利用正 弦定理求得 h. 解答: 解:设此山高 h(m) ,则 BC= h, 在△ ABC 中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.
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根据正弦定理得

=



解得 h=100 (m) 故答案为:100 . 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主 三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或 列式求解. 16. (3 分) (2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两 点 A,B(B 在 A 的上方) ,且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 (x﹣1) +(y﹣ ) =2 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 ﹣1﹣ .
2 2

考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程; (2)求出圆 C 在点 B 处切线方程,令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距. 解答: 解: (1)由题意,圆的半径为 = ,圆心坐标为(1, ) , 2 2 ∴圆 C 的标准方程为(x﹣1) +(y﹣ ) =2; (2)由(1)知,B(0,1+ ) ,
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∴圆 C 在点 B 处切线方程为(0﹣1) (x﹣1)+(1+ ﹣ ) (y﹣ )=2, 令 y=0 可得 x=﹣1﹣ . 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣ ) =2;﹣1﹣ . 点评: 本题考查圆的标准方程,考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,属于中档题. 17. (3 分) (2015?湖北) a 为实数, 函数 f (x) =|x ﹣ax|在区间[0, 1]上的最大值记为 g (a) . 当 a= 2 ﹣2 时,g(a)的值最小. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 开放型;函数的性质及应用. 分析: 通过分 a≤0、0<a≤2 ﹣2、a>2 ﹣2 三种情况去函数 f(x)表达式中绝对值符号, 利用函数的单调性即得结论. 2 解答: 解:对函数 f(x)=|x ﹣ax|=|x(x﹣a)|分下面几种情况讨论: 2 ①当 a≤0 时,f(x)=x ﹣ax 在区间[0,1]上单调递增, ∴f(x)max=g(a)=1﹣a;
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2

②当 0<a≤2

﹣2 时,

=

=

,f(1)=1﹣a,



﹣(1﹣a)=

﹣2<0,

∴f(x)max=g(1)=1﹣a; ③当 2 ﹣2<a≤1 时,f(x)max=g(a)= ;

综上所述,g(a)=



∴g(a)在(﹣∞, ∴g(a)min=g(

]上单调递减,在[ ) ; ;

,+∞)上单调递增,

④当 1<a<2 时,g(a)=f( )= ⑤当 a≥2 时,g(a)=f(1)=a﹣1;

综上,当 a= 时,g(a)min=3﹣2 , 故答案为: . 点评: 本题考查求函数的最值,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题. 三、解答题 18. (12 分) (2015?湖北)某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ) (w>0,|φ|< 在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: wx+φ π 0
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x 0 5 0 Asin(wx+φ) ﹣5 (1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 的图象离原点 O 最近的对称中心. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由五点作图法即可将数据补充完整,写出函数的解析式; (2)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得 g(x) ,解得其对称中心即可得解. 解答: 解: (1)数据补充完整如下表: wx+φ π 2π 0 x Asin(wx+φ) 0 5 0 ) . ﹣5 0 个单位长度,得到 y=g(x)图象,求 y=g(x)

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函数 f(x)的解析式为:f(x)=5sin(2x﹣ (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 (x+ 由 2x+ )﹣ ]=5sin(2x+ ) . ﹣

(3)个单位长度,得到 y=g(x)=5sin[2

=kπ,k∈Z,可解得:x= .

,k∈Z,

当 k=0 时,可得:x=﹣

从而可得离原点 O 最近的对称中心为: (﹣

,0) .

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换,属于基本知识的考查. 19. (12 分) (2015?湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公 比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用前 10 项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;
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(2)当 d>1 时,由(1)知 cn= 等比数列的求和公式,计算即可. 解答: 解: (1)设 a1=a,由题意可得

,写出 Tn、 Tn 的表达式,利用错位相减法及



解得

,或


n﹣1



时,an=2n﹣1,bn=2





时,an= (2n+79) ,bn=9?


n﹣1

(2)当 d>1 时,由(1)知 an=2n﹣1,bn=2 ∴cn= = ,



∴Tn=1+3? +5? ∴ Tn=1? +3? ∴ Tn=2+ + ∴Tn=6﹣ + .

+7? +5? +

+9? +7? +…+

+…+(2n﹣1)? +…+(2n﹣3)? ﹣(2n﹣1)?

, +(2n﹣1)? =3﹣ , ,

点评: 本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的 积累,属于中档题. 20. (13 分) (2015?湖北) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 P﹣ ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、BE. (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直 角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值.

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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角 三角形,即可得出结论;
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(Ⅱ)由已知,PD 是阳马 P﹣ABCD 的高,所以 V1= (Ⅰ) 知, DE 是鳖臑 D﹣BCE 的高, BC⊥CE, 所以 V2=

= =

.由 . 即

可求

的值.

解答: (Ⅰ)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC, 因为 ABCD 为正方形,所以 BC⊥CD, 因为 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD, 因为 DE?平面 PCD, 所以 BC⊥DE, 因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE⊥PC, 因为 PC∩BC=C, 所以 DE⊥平面 PBC, 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别是∠BCD, ∠BCE, ∠DEC, ∠DEB; (Ⅱ)由已知,PD 是阳马 P﹣ABCD 的高,所以 V1= 由(Ⅰ)知,DE 是鳖臑 D﹣BCE 的高,BC⊥CE, 所以 V2= = . = .

因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE=CE= CD,

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所以

=

=

=4

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 21. (14 分) (2015?湖北)设函数 f(x) ,g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g (x)是偶函数,f(x)+g(x)=e ,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f(x) ,g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)设 a≤0,b≥1,证明:当 x>0 时,ag(x)+(1﹣a)< <bg(x)+(1﹣b) .
x

考点: 不等式的证明;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 开放型;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用奇、偶函数的定义,由函数方程的思想可得 f(x) 、g(x)的解析式,再由 指数函数的单调性和基本不等式,即可证得 f(x)>0,g(x)>1;
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(2)当 x>0 时,

>ag(x)+1﹣a?f(x)>axg(x)+(1﹣a)x,

<bg(x)+1﹣b?f(x)<bxg(x)+(1﹣b)x,设函数 h(x)=f(x)﹣cxg(x) ﹣(1﹣c)x,通过导数判断单调性,即可得证. 解答: 解: (1)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 即有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) , f(x)+g(x)=e ,f(﹣x)+g(﹣x)=e , ﹣x 即为﹣f(x)+g(x)=e , 解得 f(x)= (e ﹣e ) ,g(x)= (e +e ) , 则当 x>0 时,e >1,0<e <1,f(x)>0; g(x)= (e +e )> ×2
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

=1,

则有当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)证明:f′(x)= (e +e )=g(x) , g′(x)= (e ﹣e )=f(x) , 当 x>0 时, >ag(x)+1﹣a?f(x)>axg(x)+(1﹣a)x,
x
﹣x

x

﹣x

<bg(x)+1﹣b?f(x)<bxg(x)+(1﹣b)x, 设函数 h(x)=f(x)﹣cxg(x)﹣(1﹣c)x, h′(x)=f′(x)﹣c(g(x)+xg′(x) )﹣(1﹣c) =g(x)﹣cg(x)﹣cxf(x)﹣(1﹣c)=(1﹣c) (g(x)﹣1)﹣cxf(x) , ①若 c≤0 则 h′(x)>0,故 h(x)在(0,+∞)递增,h(x)>h(0)=0, (x>0) ,
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即有 f(x)>cxg(x)+(1﹣c)x,故

>ag(x)+1﹣a 成立;

②若 c≥1 则 h′(x)<0,故 h(x)在(0,+∞)递减,h(x) 《h(0)=0, (x>0) , 即有 f(x)<cxg(x)+(1﹣c)x,故 综上可得,当 x>0 时,a g(x)+(1﹣a)< <bg(x)+1﹣b 成立. <b g(x)+(1﹣b) .

点评: 本题考查函数的奇偶性的运用,主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明,同时 考查指数函数的单调性和基本不等式的运用,以及导数的运用:判断单调性,属于中 档题. 22. (14 分) (2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C, 以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 创新题型;开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)根据条件求出 a,b 即可求椭圆 C 的方程; (2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进 行求解即可. 解答: 解: (1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当 M,N 在 x 轴上时,等号成立, 同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2,当 D,O 重合,即 MN⊥x 轴时,等号成立. ∴椭圆 C 的中心为原点 O,长半轴长为 4,短半轴长为 2,
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其方程为



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(2) ①当直线 l 的斜率 k 不存在时, 直线 l 为: x=4 或 x=﹣4, 都有 S△ OPQ= ②直线 l 的斜率 k 存在时,直线 l 为:y=kx+m, (k
2 2 2



) ,



消去 y,可得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣16=0,

∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, ∴△=64k m ﹣4(1+4k ) (4m ﹣16)=0,即 m =16k +4,①, 由 ,可得 P( , ) ,同理得 Q( , ) ,
2 2 2 2 2 2

原点 O 到直线 PQ 的距离 d=

和|PQ|=

?|xP﹣xQ|,

可得 S△ OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m||

|=|

|②,

将①代入②得 S△ OPQ=|

|=8|

|,

当 k > 时,S△ OPQ=8(

2

)=8(1+

)>8,

当 0≤k < 时,S△ OPQ=8|

2

|=﹣8(

)=8(﹣1+

) ,

∵0≤k < 时,∴0<1﹣4k ≤1,

2

2

≥2,

∴S△ OPQ=8(﹣1+

)≥8,当且仅当 k=0 时取等号,

∴当 k=0 时,S△ OPQ 的最小值为 8, 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, 三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8. 点评: 本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形
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的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.

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参与本试卷答题和审题的老师有: sxs123; 刘长柏; maths; changq; cst; 吕静; 依依; w3239003; 双曲线(排名不分先后) 菁优网 2015 年 7 月 21 日

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