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2013年北京东城区高三年级期末考试数学试题答案(理)

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东城区 2012-2013 学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准 (理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)C (2)B (6)D (3)C (7)D (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?

4 5

(10) 1 (13)乙

(11) (3, 0) (14) 2

?

2 4

(12) 75 ? 4 10

2n ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .……………………………………………3 分 6 2
所以 T ? ? .……………………………………………………………4 分

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? ? k? . 得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k ?] ( k ? Z ) 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .…………………7 分 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .…………………………………………………………10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x ) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2 所以 a ? 0 .…………………………………………………………………………13 分
由 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a .………………………………………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .…………………………………………………3 分 因为 {an } 是等比数列,

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所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .……………………………………5 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ?N* ) .…………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? (2n ?1)an ? (2n ?1) ? 2n?1 . 则 Tn ? 1?1 ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 . ① ②

2Tn ?

1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n .

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n …………………9 分

? 1 ? 2(2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ? 1 ? 4(2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3 .…………………………………………………12 分
所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 .……………………………………………………………13 分 (17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB .……………………2 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .……………………4 分 (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .…………………………7 分 又 EF ? 平面 MEC , A x E B D C F y M z N

AN ? 平面 MEC ,

所以 AN // 平面 MEC . ……………………………………………………………9 分 (Ⅲ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D(0,0,0) , E ( 3,0,0) , C (0, 2,0) ,

M ( 3, ?1,

3 7 ). 7

???? ? ??? ? 3 7 ) .…………………………………………10 分 CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, 7

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设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

??? ? ?CE ? n ? 0, ? 则 ? ???? ? ? EM ? n ? 0. ?
? 3 x ? 2 y ? 0, ? 所以 ? 3 7 z ? 0. ?y ? 7 ? 令 x ? 2.
所以 n ? (2, 3,

21 ) .……………………………………………………………12 分 3

又平面 ADE 的法向量 m ? (0,0,1) , 所以 cos ? m, n ??

m?n 1 ? . m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ………………………………………14 分 (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 ? ln x ? 1 , x ? (0,??) , x 1 1 x ?1 所以 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 , x ? (0,??) .………………………………2 分 x x x 1 因此 f ?(2) ? . 4 1 即曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 . …………………………4 分 4 1 又 f (2) ? ln 2 ? , 2 1 1 所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? ) ? ( x ? 2) , 2 4
即 x ? 4 y ? 4ln 2 ? 4 ? 0 .……………………………………………6 分

(Ⅱ)因为 f ( x) ?

a a 1 x?a ? ln x ? 1 ,所以 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ……………………………………………8 分 ①若 a≤0 , 则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递增,此时函数 f ( x ) 无最小值. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a,e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e? 上单调递增,

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所以当 x ? a 时,函数 f ( x ) 取得最小值 ln a .………………………………10 分 ③若 a≥e ,则当 x ? ? 0,e? 时, f ?( x)≤0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, 所以当 x ? e 时,函数 f ( x ) 取得最小值

a .…………………………………12 分 e

综上可知,当 a≤0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上无最小值; 当 0 ? a ? e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 ln a ; 当 a≥e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e? 上的最小值为 (19) (共 13 分) 解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , , ( 3 , 为焦点,长半轴长为 2 0) 0) 的椭圆.……………………………………………………………………………3 分 故曲线 C 的方程为

a .……………13 分 e

x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………5 分 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. …………………………………………………6 分 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 .…………………………………7 分
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .解得
2 则 | y2 ? y1 |? 4 m ? 3 . m2 ? 4 因为 S ?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 2

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

?

2 m2 ? 3 2 ? 2 m ?4 m2 ? 3 ?

. ………………………10 分
1 m2 ? 3

设 g (t ) ? t ? , t ? m2 ? 3 , t ? 3 . 则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数.

1 t

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所以 g (t ) ?

4 3 . 3 3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 .………………………………………………………………13 分 2

所以 S?AOB ?

所以 S?AOB 的最大值为 (20) (共 14 分) (Ⅰ)解: ?

? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1. ?

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? x1 ? , ? ? 2 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ……………………………2 分 1 ?x ? ? . ? 2 ? 2 1 ? ? x1 ? ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ………………………………………… ……4 分 ?x ? 1 . ? 2 2 ?
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1. 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1.………………………………………………9 分
(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) . 所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an , 即 a1 +an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .…… ………………………11 分

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?a x
i ?1

n

i i

?

?a x ? 2 a ? x ? 2 a ? x
i ?1 i i 1 i ?1 i n i ?1

n

1

n

1

n

i

?

1 2

? (2a ? a ? a ) x
i ?1 i 1 n

n

i

?

1 n 1 n ( a1 ? an ? 2ai xi ) ? ? ( a1 ? an xi ) ? 2 i ?1 2 i ?1
n

?
?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

i

1 ( a1 ? an ) .……………………………………………………………14 分 2


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