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2014届高考数学一轮复习 第72讲《直线与圆的位置关系》热点针对训练 理


第72讲

直线与圆的位置关系

1.如图, 已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35°, 过点 C 的切线 PC 与 AB 的延长线 交于点 P,那么∠P 等于( B ) A.15° B.20° C.25° D.30° 解析:由已知,CO⊥CP,即∠OCP=90°. 又∠COB=2∠CAB=70°,所以∠P=90°-∠COB=20°. 故选 B. 2.已知 AB 与 CD 相交于圆内一点 P,且∠APD=30°,则弧 AD 与弧 BC 所成的圆心角 的度数和为( C ) A.30° B.45° C .60° D.180° 解析:特殊位置法:点 P 是圆心即可得正确答案为 C. 3.点 P 为⊙O 的弦 AB 上一点,且 AP=9,PB=4,连接 PO,作 PC⊥OP 交圆于 C,则 PC 的长为( B ) A.4 B.6 C.8 D.9

解析:如右图. 因为 OP⊥PC, 所以 P 为弦 CD 的中点, 2 故 PC =PA·PB=9×4, 即 PC=6(负值舍去).

4.(2012·北京市房山区 4 月一模)如图, 是圆 O 的切线, PA 切点为 A, 交圆 O 于 B, PO C 两点,PA= 3,PB=1,则∠ABC=( B ) A.70° B .60° C.45° D.30° 2 解析:由切割线定理得 PA =PB·PC. 因为 PA= 3,PB=1,所以解得 PC=3, 即 BC=2,OA=1,OP=2, 因为 OA⊥PA,所以∠P=30°,∠AOB=60°, 因为 OA=OB,所以∠ABC=60°,故选 B.

5.(2012·北京市西城区第一学期期末)如图,PA 是圆 O 的切线,A 为切点,PBC 是圆

1

PA 3 PB 1 O 的割线.若 = ,则 = . BC 2 BC 2
解析:根据切割线定理有

PA 3 PA2=PB·PC=PB(PB+BC), = , BC 2 PB2+PB·BC- BC2=0,
(2PB+3BC)(2PB-BC)=0, PB 3 PB 1 所以 =- (舍去), = . BC 2 BC 2 3 4

6.(2012·广东省惠州市第四次调研)如图,已知直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°, 12 BC=4,AC=3,以 AC 为直径作圆 O 交 AB 于 D,则 CD= . 5 解析:∠ADC 为直径 AC 所对的圆周角,则∠ADC=90° . 在 Rt △ACB 中, CD⊥AB. 12 由等面积法有 AB·CD=CA ·CB,故得 CD= . 5

7.(2013·衡水调研)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB,垂足为 D, 5 且 AD=5DB,设∠COD=θ ,则 tan θ 的值为 . 2 解析:设 BD=k(k>0). 5k+k 因为 AD=5DB,所以 AD=5k,AO=OB= =3k, 2 所以 OC=O B=3k,OD=2k. 由勾股定理得, CD= OC2-OD2= ? 3k? 2-? 2k? 2= 5k, CD 5k 5 所以 tan θ = = = . OD 2k 2

8.如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,∠OAB=30°. (1)求∠APB 的大小; (2)当 OA=3 时,求 AP 的长. 解析:(1)因为在△ABO 中,OA=OB,∠OAB=30°, 所以∠AOB=180°-2×30°=120°. 因为 PA,PB 是⊙O 的切线, 所以 OA⊥PA,OB⊥P B, 即∠OAP=∠OBP=90°, 所以∠APB=60°.

2

(2)如图,过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 D . 1 因为在△OAB 中,OA=OB,所以 AD= AB. 2 因为在 Rt△AOD 中,OA=3,∠OAD=30°, 3 3 所以 AD=OA·cos 30°= ,AP=AB=3 3. 2

9.(2013·吉林省长春市 3 月第二次调研)如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线, △ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC= 1,EC=2 时,求 AD 的长.

解析:(1)证明:连接 DE,因为 A CED 是圆的内接四边形, 所以∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA, 所以△BDE∽△BCA,

BE DE ,而 AB=2AC,所以 BE=2DE, BA CA 又 CD 是∠ACB 的平分线, 所以 AD=DE,从而 BE=2AD. (2)由条件得 AB=2AC=2,设 AD=t, 根据割线定理得 BD·BA=BE·BC, 即(AB-AD)·BA=2AD·(2AD+CE), 2 所以(2-t)×2=2t(2t+2),即 2t +3t- 2=0,
即有 = 1 1 解得 t= 或 t=-2(舍去),即 AD= . 2 2

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