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t1006:人教版高中数学必修4-2.4《平面向量的数量积的物理背景及其含义》参考教案

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§2.4 平面向量的数量积 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便 可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数 量积的认识.主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积 的 5 个重要性质;平面向量数量积的运算律. 教学过程: 一、复习引入: 1. 向量共线定理 向量 ? b 与非零向量 ? a 共线的充要条件是:有且只有一个非零 实数λ ? ,使 b =λ ? a . 2.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 这一平面内的任一向量 ? a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 ? a =λ 1 e1 +λ 2 e2 3.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a , 由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 (x, y) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? (x, y) 4.平面向量的坐标运算 若 a ? (x1, y1 ) ,b ? (x2 , y2 ) ,则 a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , ?a ? (?x,?y) . 若 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1, y2 ? y1 ? 5. ? a ∥ ? b ? ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ , 使 P1P =λ PP2 ,λ 叫做点 P 分 P1P2 所成的比,有三种情况: λ >0(内分) (外分) λ <0 (λ <-1) 7. 定比分点坐标公式: ( 外分)λ <0 (-1<λ <0) 若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ 为实数,且 P1P =λ PP2 ,则点 P 的坐 标为( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y2 ),我们称 λ 1?? 1?? 为点 P 分 P1P2 所成的比. 8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系: ①当 λ >0时, P1P 与 PP2 同向共线,这时称点 P 为 P1P2 的内分点. ②当 λ <0( ? ? ?1)时, P1P 与 PP2 反向共线,这时称点 P 为 P1P2 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O,设 OP1 =a,OP2 = b, 可得 OP = a ? ?b ? 1 a ? ? b . 1?? 1?? 1?? 10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π ) 叫a与b的夹角. 说明:(1)当 θ =0时,a与b同向; (2)当 θ =π 时,a与b反向; (3)当 θ = ? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2 (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180? C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是 θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b, 而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不 是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0, 不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c a=c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一 般 a 与 c 不共线. 3.“投影”的概念:作图 定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负 值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时,a?b

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