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教案椭圆定义及其标准方程


高中数学
一、教学目标

椭圆定义及其标准方程
万源市第三中学校 王尚莲

1.使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作 用. 2.掌握椭圆的定义、 标准方程的推导及步骤、 标准方程中 a、 b、c 的代数意义、 标准方程. 3.掌握直接法求曲线方程, 培养学生数形结合数学思想, 提高分析问题的能力. 4.营造亲切、和谐的氛围,以“趣”激学.引导学生用运动变化的观点发现问 题、探索问题、解决问题,培养学生的创新意识,体会数学的简捷美、和谐美.培 养合作学习的意识,体会成功带来的喜悦.发展数学的应用意识,认识数学的应用 价值. 二、教学重点和难点 教学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导 (通过学生自主建立直角坐标系和 对方程的讨论选择突出重点). 教学难点:椭圆概念的形成.通过椭圆的画法设计,标准方程与圆的比较突破 难点. 三、教学过程设计 1、设置情景,导入新课

太阳系行星运行轨道

人造地球卫星

玻璃餐桌

椭圆是由圆压扁得到的吗?

让学生观察上面的图片, 说说这些图片有什么共同点, 得出本节课的主题椭圆.

2、引导探究,获得新知 问题 1:我们看到第四张图片,椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有关系 吗?(让学生讨论这个问题,并抽一些同学说说讨论的结果.) 为了解决这两个问题,先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳,把它 的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两点(如下图),当绳长大于 F1 和 F2 的距离时,用 铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆 .我们来看一 看椭圆和圆的画法.(找两个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆,之后用几何画板 演示画圆的过程和画椭圆的过程). 问题 2:这椭圆是怎么画出来的啊?(让学生讨论回答). 问题 3: 从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?(可以提问, 也可以集体回答.) (1) F1 , F2 点固定,是定点.(2) MF1 ? MF2 就是细绳的长度. 我们来看,因为 F1 , F2 , M 三个点是构成的是一个三角形所以 MF1 ? MF2 大于

F1 F2 的长度.
让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定 义) 椭圆的定义: 平面内到两定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距. 下面我们来看看, MF1 ? MF2 小于等于 F1 F2 的长度时, M 点的轨迹是什么情 况呢?(学生思考) 结论:若常数等于 F1 F2 ,则是线段 F1 F2 ;若常数小于 F1 F2 ,则轨迹不存在; 若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:此常数大于 F1 F2 .(强调 MF1 ? MF2 是定 长但是大于 F1 F2 ) 3、深入探索,推导方程 接下来你们试试推导椭圆的方程?(简单回顾求圆方程的方法和步骤) (1)建立适当的坐标系,用有序实数对 ( x, y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P(M ) ; (3)用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程; (4)化方程为最简形式. 第一步,该如何建立坐标系呢?(学生会说出不同的方案,选取下列方案)

以两定点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系.(老师在黑板上画出适当的图,如下图)

y
F1
M

y
F1

M

F2

o

x

o
F2

x

(方案一)

(方案二)

这样建系很合理.建立坐标系后的 F1 , F2 坐标分别是 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 原则:尽 可能使方程的形式简单、运算简单;(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所 在的直线作为坐标轴.) 为了后面化简方便,我们这里把定长定为 2a .下面列出方程:
( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 让学生将方程化为最简形式.为使方程对称和谐

而引入 b ,同时 b 还有几何意义,下节课还要讲.因为 a ? c ,所以令 b2 ? a 2 ? c 2 , 其中 b ? 0 代入上式,得
x2 y 2 x2 y 2 a ? b ? 0 ? ?1 ( )因此,我们将方程 ? ?1 a 2 b2 a 2 b2

( a ? b ? 0 )叫作椭圆的标准方程,焦点坐标 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,其中 c2 ? a 2 ? b2 . 那么用方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?(让学生思考)只需要将
x , y 互换就可以了,应写成

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 同样有 c2 ? a 2 ? b2 . 2 a b

4、指导应用,鼓励创新 例 1:已知 B, C 是 2 个定点, BC ? 10 ,且 ?ABC 的周长等于 22,求顶点 A 满足的 一个轨迹方程. 例 2:下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是( ).

A.

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1与 ? ? 1 4 2 4 2

B.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1与 ? ?1 4 2 8 4

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1与 2 ? 2 ? 1 C. 4 2 4 2

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1与 ? ?1 D. 4 2 4?m 2?m

例 3:求适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴经过点 P(?3,0), Q(0,?2) ; ⑵长轴长等于 20,焦距 16. 随堂练习: 1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点和顶点坐标. ① x 2 ? 4 y 2 ? 16 课后探索-嫦娥奔月 (1).2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第二次近月制动,卫星 进入距月球表面近月点高度约210公里,远月点高度约8600公里,且以月球的球心 为一个焦点的椭圆形轨道.已知月球半径约3475公里,试求“嫦娥”二号卫星运行 的轨迹方程. (2).我们假设地球是个球体,半径是 6371 千米 , 而且知道“东方红一号”的 近地点:430 千米 ; 远地点:2075 千米 , 你们能建个坐标系 , 求出“东方红一号” 运行轨道的标准方程吗? 5、小结本堂内容 定义 椭圆是平面内与两定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 F1 F2 )的点的 轨迹.
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

② 9 x 2 ? y 2 ? 18

标准 方程

y
M

y
F2
M

图 F1 形

o

F2

x

o
F1

x

焦点 坐标
a, b, c

F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1 (0,?c), F2 (0, c)

之间的 关系 6、板书设计

c2 ? a2 ? b2

7、课后作业 椭圆及其标准方程 (1).椭圆的定义 (2).椭圆的标准方程 (3).标准方程的应用 (4).小结
1.课本 68 页,习题 3-1:第 1、4 题; 2.如何用几何图形解释 c ? a ? b , a, b, c 在椭圆中分别表示哪些线段的长?
2 2 2

标准方程推导过程

例题


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