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高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.2函数的最大值、最小值课件新人教a必修1

第2课时
函数的最大值、最小值

主题1

函数的最大值

观察下列两个函数的图象,回答有关问题:

1.比较两个函数的图象,它们是否都有最高点? 提示:图①中函数y=f(x)=-x2的图象上有一个最高点; 图②中函数y=f(x)=-x的图象上没有最高点.

2.通过观察图①你能发现什么? 提示:对任意x∈R,都有f(x)≤f(0).

结论:最大值的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足: f(x)≤M (1)对任意的x∈I,都有________. f(x0)=M 那么,称M是函数y=f(x) (2)存在x0∈I,使得_______. 的最大值.

【微思考】 1.在最大值的定义中,实数M应满足什么条件? 提示:M是一个函数值,即存在一个元素x0∈I,使 M=f(x0).

2.函数f(x)最大值的几何意义是什么?
提示:函数最大值的几何意义是对应图象最高点的纵坐

标.

主题2

函数的最小值

观察下列两个函数的图象,回答有关问题.

1.比较两个函数的图象,它们是否都有最低点? 提示:图①中函数y=f(x)=x2的图象有一个最低点. 图②中函数y=f(x)=x的图象没有最低点. 2.通过观察图①你能发现什么? 提示:对任意x∈R都有f(x)≥f(0).

结论:最小值的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足: f(x)≥M (1)对任意的x∈I,都有________; f(x0)=M (2)存在x0∈I,使得_______. 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.

【微思考】 1.函数f(x)对于定义域内的任意元素都有f(x)≥M,则M 是否是函数的最小值? 提示:不一定,若存在f(x0)=M,则是,否则不是.

2.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的,则函数f(x) 的最大值是________;最小值是________. 提示:f(b) f(a)

【预习自测】 1.函数y=2x+1在[1,2]上的最大值是 A.3 B.4 C.5 ( D.1 )

【解析】选C.因为y=2x+1为增函数,所以y=2x+1在[1,2] 上递增,所以ymax=2×2+1=5.

2.函数f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4]的最小值为 A.-1 B.0 C.3 D.-2

(

)

【解析】选A.因为f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,4]上 是增函数,所以f(x)的最小值为f(2)=-1.

2x ? 6, x ? [1, 2] , 3.函数f(x)= ? 则f(x)的最大值是_______, ? [ ? 1,1), ? x ? 7, x ?

最小值是________. 【解析】当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10, 当-1≤x<1时,6≤x+7<8, 所以f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10. 答案:10 6

4.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则函数的 最大值为____________.

【解析】由题图可知,f(x)在x=5处取得最大值,故f(x) 的最大值为f(5). 答案:f(5)

5.函数f(x)=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则 a=________. 【解析】因为a>0,所以函数f(x)=ax+1在区间[1,3]上 是增函数,所以f(x)max=f(3)=3a+1=4,所以a=1. 答案:1

4 6.求函数f(x)=x+ 在[1,2]上的最大值、最小值.(仿 x

照教材P31例4的解析过程)

【解析】设1≤x1<x2≤2,则f(x1)-f(x2)= x1 ? 4 ? x 2 ? 4
? ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? x 2 ? x1 ? x1 x 2 x1 x 2 ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? , x1 x 2

x1

x2

因为1≤x1<x2≤2,所以x1-x2<0,1<x1x2<4, 所以x1x2-4<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以f(x)在[1,2]上是减函数,从而函数 的最大值是f(1)=1+4=5,最小值是f(2)=2+2=4.

类型一

利用单调性求函数的最值
x?2

【典例1】已知函数f(x)= x ? 1 ,x∈[3,5]. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明.

(2)求函数f(x)的最大值和最小值.

【解题指南】(1)利用定义判断f(x)的单调性.
(2)根据f(x)的单调性,求最大、最小值.

【解析】(1)f(x)在[3,5]上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2,
3 ? x1 ? x 2 ? x1 ? 1 x 2 ? 1 ? ? . f(x1)-f(x2)= x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x1 ? 2 ?? x 2 ? 2 ?

因为3≤x1<x2≤5,
所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以f(x)在[3,5]上为增函数.
(2)由(1)知,f(x)在[3,5]上为增函数, 则f(x)min=f(3)=
2 ,f(x)max=f(5)= 4 . 5 7

【方法总结】求函数最值的三种方法
(1)观察法:对于简单的初等函数,如一次函数、二次函 数、反比例函数,可以依据定义域求出值域,观察得出.

(2)图象法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可
借助于图象直观求出.

(3)单调性法:对于较复杂的函数,可利用单调性的判断
方法,判断出函数的单调性,然后求最值. 提醒:利用单调性求最值时,一定要先确定函数的定义

域.

【巩固训练】(2017· 济宁高一检测)求函数y=
(-4≤x≤-2)的最大值和最小值.

x x ?1

【解题指南】先判断函数在[-4,-2]上的单调性,再求

函数的最大、最小值.

【解析】设-4≤x1<x2≤-2,因为f(x1)-f(x2)= 因为x1+1<0,x2+1<0,x1-x2<0,所以 以f(x1)<f(x2),所以f(x)=

x 在[-4,-2]上单调递增. x ?1 所以ymax=f(-2)=2,ymin=f(-4)= 4 . 3

x1 ? x 2 <0,所 ? x1 ? 1?? x 2 ? 1?

x1 ? x 2 , ? x1 ? 1?? x 2 ? 1?

? 2x ? 3, x ? 0, 【补偿训练】1.函数 y ? ? ? x ? 3,0<x ? 1, 的最大值是 ? ? x ? 5, x>1 ?

(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选D.当x≤0时,2x+3≤3;当0<x≤1时,
3<x+3≤4;当x>1时,-x+5<4.综上可知,当x=1时,y有最 大值4.

2.已知函数f(x)=x+ 1 .
x

(1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数. (2)求f(x)在[2,4]上的最值.

【解析】(1)任取x1,x2∈(1,+∞),并且x1<x2,则
1 1 f(x1)-f(x2)= x1 ? ? x 2 ? x1 x2 x1 ? x 2 ? ? ? x1x 2 ? 1? ? 1 ? ? x1 ? x 2 ? (1 ? )? . x1 x 2 x1 ? x 2

因为x2>x1>1,所以x1-x2<0, 故(x1-x2)·?
x1x 2 ? 1? x1 x 2

又因为x1x2>1,所以x1x2-1>0,
<0,即f(x1)<f(x2).

所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.

(2)由(1)知f(x)在[2,4]上是增函数,
所以当x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4).
1 5 1 17 又f ? 2 ? ? 2 ? ? ,f ? 4 ? ? 4 ? ? . 2 2 4 4

所以f(x)在[2,4]上的最大值为 17 ,最小值为 5 .
4 2

类型二

二次函数的最值问题

【典例2】(2017· 阜阳高一检测)已知二次函数f(x)=x22x+3.

(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.
(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).

【解题指南】(1)根据对称轴与区间的情况求解.
(2)讨论对称轴与区间的关系求解.

【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,对称轴为x=1,开口向
上. (1)f(x)在[-2,1]上递减,在[1,3]上递增,

所以f(x)min=f(1)=2,又因为f(-2)>f(3),
所以f(x)max=f(-2)=11.

(2)①当t>1时,f(x)在[t,t+1]上递增,
所以g(t)=f(t)=t2-2t+3, ②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=2.

③当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]递减,
? t 2 ? 2t ? 3, t> 1, 2 所以g(t)=f(t+1)=t +2,综上可得g(t)= ? ?2,0 ? t ? 1, ? t 2 ? 2, t<0. ?

【延伸探究】
1.本例中(2)条件若改为当x∈[t,t+1]时f(x)有最小值 3,求t的值.

? t 2 ? 2t ? 3, t> 1, 【解析】由解析知f(x)的最小值g(t)= ? ?2,0 ? t ? 1, ? t 2 ? 2, t<0. ?

当t>1时,由t2-2t+3=3,解得t=2或t=0(舍去), 当0≤t≤1时,g(t)=2≠3,无解. 当t<0时,由t2+2=3,得t=-1或t=1(舍去),

故当f(x)的最小值为3时,t=2或t=-1.

2.本例中(2)条件不变,求f(x)最大值的解析式h(t).
【解析】由f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,对称轴为x=1, 当t>1时,f(x)在[t,t+1]上递增,

所以h(t)=f(t+1)=t2+2,
当0≤t< 1 时,f(t)>f(t+1),
2

所以h(t)=t2-2t+3,

当 1 ≤t≤1时,f(t)≤f(t+1),所以h(t)=t2+2,
2

当t<0时,f(x)在[t,t+1]上递减, 所以h(t)=f(t)=t2-2t+3,
1 ?2 t ? 2t ? 3, t< , 综上可得h(t)= ? ? 2 ? ? t 2 ? 2, t ? 1 . ? 2 ?

【方法总结】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间
[m,n]上的最值的类型 (1)若对称轴x=- b 在区间[m,n]内,则最小值为
2a

f(- b ),最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点
2a b m,n中与x=距离较远的一个对应的函数值为最大值) 2a

(2)若- b <m,则f(x)在[m,n]上是增函数,最大值为
2a

f(n),最小值为f(m). (3)若b >n,则f(x)在[m,n]上是减函数,最大值为 2a

f(m),最小值为f(n).

【补偿训练】1.若函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),
x∈R,则f(x)的最小值为________. 【解题指南】先求f(x)的解析式,再利用配方法求f(x)

的最小值.

【解析】由f(x+1)=x(x+3)=(x+1)2+(x+1)-2,得
f(x)=x2+x-2= (x ? 1 ) 2 ? 9 , 所以f(x)的最小值是- 9 . 答案:- 9
2 4 4 4

2.(2017· 银川高一检测)已知二次函数f(x)=-x2+2ax
+1-a,x∈[0,1],a为常数,求f(x)的最大值g(a)的解析 式.

【解题指南】根据二次函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称
轴与区间[0,1]的关系,讨论单调性求解. 【解析】函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a,

当a<0时,f(x)在[0,1]上单调递减,此时f(x)max=f(0)
=1-a.

当0≤a≤1时,f(x)在[0,a]上递增,在[a,1]上递减,
所以f(x)max=f(a)=a2-a+1; 当a>1时,f(x)在[0,1]上递增,所以f(x)max=f(1)=a.
?1 ? a,a ? 0, 所以g(a)= ? 2 ?a ? a ? 1,0 ? a ? 1, ?a,a ? 1. ?

类型三

函数最值的应用

【典例3】(2017· 菏泽高一检测)已知A,B两城相距 100km,在两城之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两 城供电,为保证城市安全,核电站距两城距离不得小于 10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成

正比,比例系数λ =0.3.若A城供电量为20亿度/月,B城
为10亿度/月.

(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域.
(2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小?

【解题指南】(1)A城供电费用y1=0.3×20x2,B城供电费
用y2=0.3×10(100-x)2,从而得出总费用,由x≥10且 100-x≥10可得x的范围.

(2)由二次函数的性质求最小值.

【解析】(1)A城供电费用为y1=0.3×20x2=6x2,
B城供电费用y2=0.3×10(100-x)2=3(100-x)2, 所以总费用为:y=y1+y2=6x2+3(100-x)2

=9x2-600x+30000.
x ? 10, ? 又? 得10≤x≤90,故x的取值范围是 ?100 ? x ? 10,

{x|10≤x≤90}.

(2)y=9x2-600x+30000=9(x ? 100 )2 ? 20 000,
3

所以当x= 100 时,y取得最小值.
3

答:当核电站建在距A城 100 km时,才能使供电总费用最
3

小.

【方法总结】解实际应用问题的五个步骤
(1)审:审清题意,读懂题,找出各量之间的关系. (2)设:从实际问题中抽象出数学模型,恰当设出未知数.

(3)列:根据已知条件列出正确的数量关系.
(4)解:转化为求函数的最值或解方程或解不等式. (5)答:回归实际,明确答案,得出结论.

【巩固训练】某公司生产一种电子仪器的固定成本为
20000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,已知总
1 2 ? 400x ? x ,0 ? x ? 400, 收益满足函数:R(x)= ? 其中x是仪 2 ? ? ?80 000, x ? 400.

器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数f(x).
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为 多少元(总收益=总成本+利润)?

【解析】(1)因为月产量为x台,则总成本为20000+100x,
? 1 2 从而f(x)= ?? x ? 300x ? 20 000,0 ? x ? 400, ? 2 ? ?60 000 ? 100x, x>400.

1 (2)当0≤x≤400时,f(x)=- (x-300)2+25000, 2

所以当x=300时,f(x)有最大值25000; 当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,

f(x)<60000-100×400=20000<25000.
所以每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000 元.

【补偿训练】(2017· 黄冈高一检测)某服装厂生产一
种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价为60元,该厂 为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每

多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元,
根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.

(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写
出函数P=f(x)的表达式. (2)当销售商一次订购多少件服装时,该服装厂获得的

利润最大?并求出最大值.

【解析】(1)当0<x≤100,x∈N时,P=60.
当100<x≤500,x∈N时,P=60-0.02(x-100)=62- x .
?60,0<x ? 100, x ? N, 所以P= ? x ? 62 ? ,100<x ? 500, x ? N. ? 50 ?

50

(2)设销售商一次订购量为x件,工厂获得的利润为y元,
?20x,0<x ? 100, x ? N, 则有y=(P-40)x= ? ? x2 ?22x ? 50 ,100<x ? 500, x ? N. ?

当0<x≤100且x∈N时,易知x=100时,y取得最大值,

为2000;
x2 1 当100<x≤500且x∈N时,y=22x ? ? ? (x-550)2+6050, 50 50

此函数在100<x≤500且x∈N上单调递增,
故当x=500时,y取得最大值,为6000. 因为6000>2000,所以当销售商一次订购500件服装时,

该服装厂获得的利润最大,为6000元.

拓展类型:与最值有关的恒成立问题
【典例】当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求m 的取值范围.

【解题指南】分离出m,转化为求函数的最值,进而求得
m的范围.

【解析】当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0可化为m<
4 ?(x ? ), x

因为函数f(x)= ?(x ? 4 ) 在(1,2)上是增函数,
x

所以f(x)>-5,故m≤-5.

【方法总结】恒成立问题的两种求解方法
方法一:构造常见的函数模型,将参数分离,然后根据函 数的性质,转化为函数的最大、最小值问题求解.

方法二:当函数的解析式较简单时,可以画出函数的图
象,结合图象求最值.

【课堂小结】
1.知识总结

2.方法总结
求函数最值方法的适用函数 (1)观察法.适用于简单函数,如一次函数等.

(2)图象法.对已知图象的函数用此方法.
(3)配方法.对二次(或二次型)函数适用. (4)单调性法.可判断在闭区间上单调的函数适用.

注意事项
(1)最值M一定是一个函数值,是值域中的一个元素. (2)在利用单调性求最值时,勿忘求函数的定义域.


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