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中职数学基础模块第五章第五节诱导公式_图文

第5章 三角函数
5.5 诱导公式

复习回顾
三角函数的定义

特殊角的三角函数值 三角函数的符号

同角的三角函数的关系

复习练习
? 计算:

? 1 3? 2 ? 2 ? cos ? tan 0 ? sin 2? ? sin ? cos ? ? sin ? cos 2 3 2 3 3

你能计算出sin 390 0 和 sin( ?330 0 ) 的值吗?
由于 30? 、390? 和-390? 角的终边相同, 根据任意角三角函数的定义可以得到
sin 30? = sin 390? = sin ( ? 330?) .

诱导公式
你能写出 公式 的角度制 的形式吗

终边相同角的同名三角函数值相同.
sin(2kπ ? ? ) ? sin ? cos(2kπ ? ? ) ? cos ? tan(2kπ ? ? ) ? tan ?

k?Z

利用公式,可以把任意角的三角函数转化为0°~ 360° 范围内的角的三角函数.

巩固知识 典型例题
例 1 求下列各三角函数值:
弧度制和 角度制 的角写成终边 重合的角 的方法?

9? (1) cos ; 4

(2) sin 780 ;

?

11? (3) tan(? ). 6

利用诱导公式将任意角的三角函数转化为 [0,2?] 内的角的三角函数
cos 9? ? ? 2 ? cos(2? ? ) ? cos ? 4 4 4 2

sin 780? ? sin(2 ? 360? ? 60? ) ? sin 60? ?

3 2

tan(?

11? ?? ? 3 ? ) ? tan ?(?1) ? 2? ? ? ? tan ? 6 6? 6 3 ?

运用知识
练习5.5.1

强化练习

求下列各三角函数值: (1) cos

7? ; 3

(2) sin 750? .

知识拓展

化简: sin(? ? 2? ) ? cos( 2? ? ? ) ? tan(? ? 4? ) ? cos(10? ? ? ) ? sin(? ? 12? )

解:原式 ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? tan ?

上面这道题你得到什么启示? 在应用公式时要注意哪些问题?

作业:请完成《学习与训练》P118~119的练习

再见

诱导公式二: 公式一把求任意角的三角函数值转化为求

[0,2? ) 范围的角的三角函数值问题。

那么怎么把负角转化为正角呢?

负角的诱导公式

观察思考

角?与角 - ?的三角函数关系
观察单位圆, 让角? 的终边绕单位圆一周, 回答问题。 ① 角? 的终边与 ? ? 的终边有怎样的对称关系? ② 角? 的终边、 ? ? 的终边与单位圆交点P与P ? 有 怎样的对称关系?
③ P与 P ? 的坐标又怎样的关系?

观察与思考

在单位圆上P点坐标为(cos ? ,sin ? ) P? 点的坐标为 (cos( ?? ),sin( ?? ))
① 角? 的终边与 ? ? 的终边关于x轴对称。
② 角? 的终边、? ? 的终边与单位圆交点 P与P ?关于x轴对称 ③ P与P ? 的横坐标相等,纵坐标互为相反数。

动脑思考

探索新知

负 只 角 有 公 余 式 弦 要 不 记 变 清 号 ,

负角的诱导公式.

sin( ?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?
利用公式,可以把负角的三角函数转化为 正角的三角函数.

巩固知识 典型例题

例 2 求下列三角函数值: (1) sin(?60? ) ;(2) cos(?

19? ) ;(3) tan(?30? ) . 3

负 大 角 角 变 化 正 小 角 角 ,

3 sin( ?60 ) ? ? sin 60 ? ? 2
? ?

19? 19? ? ? 1 ) ? cos ? cos( ? 6?) ? cos ? 3 3 3 3 2 3 tan( ?30? ) ? ? tan 30? ? ? 3 cos(?

运用知识
练习5.5.2

强化练习

求下列各三角函数值:

? (1) tan(? ) ; 6
(2) sin(?390? ) ; (3) cos(?

8? ); 3

作业:《练习与训练》P120训练题5.5.2

复习与思考
sin(2kπ ? ? ) ? sin ? cos(2kπ ? ? ) ? cos ? tan(2kπ ? ? ) ? tan ?

终边相同角的诱导公式

k?Z

负角的诱导公式

sin( ?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

利用公式,可以把负角转化为正角,把任意角的三角

函数转化为0°~ 360° 范围内的角的三角函数.

复习与思考

问题:怎样计算出 sin 120 0的值?

初中,我们学过计算锐 角的三角函数的值, 若把 [0, 2? ] 间角的三角函数值转化 为锐角 三角函数值,那么任意 角的三角函数值都 可以求出了。
这就是这节课我们要解决的问题

二、探究新知
1.对于任何一个[0,2? ) 有四种可能:

内的角 ? ,其中 ? ? [0,

?
2

)

? 2 ? ? ? ? ? ,当? ? [ ? , ? ) ? ?? 2 ? 3? ? ? ? ? ? ,当? ? [? , ) 2 3? 2? ? ? ,当? ? [ ,2? ) 2 ? ? ?, 因此我们只需研究 ? ? ? ,

? ,当? ? [0, )

?

与? 的三角函数关系。

2? ? ?

观察思考

? ? ?的诱导公式
? ? 的终边有怎样的对称关系?

观察单位圆,回答下列问题: ① 角? 与角?

② 角? 与角? ? ? 的终边与单位圆的交点P,P1 之间有怎样的对称关系? ③ P与P1的坐标有怎样的关系?

? ? ?的诱导公式
① 角? 与角? ? ? 的终边互为反向延长线 它们关于原点对称。 ② 角? 与角? ? ? 的终边与单位圆的交点P,P1 关于原点对称。
③ P与P1的纵坐标

、横坐标都互为相反数。
sin( π + ? ) ? ? sin ? cos( π + ? ) ? ? cos ? tan( π + ? ) ? tan ?

? ? ?的诱导公式
sin( π + ? ) ? ? sin ? cos( π + ? ) ? ? cos ? tan( π + ? ) ? tan ?
sin (π ? ?)? sin ? cos (π ? ?) ? ? cos ? tan (π ? ?)? ? tan ?

你能用角? ? ?的诱导公式 证明角? - ?的诱导公式吗?

公式一

(k ? z )

sin(2k? ? ? ) ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos? tan(2k? ? ? ) ? tan?
补: sin(2k? ? ? ) ? ? sin ? cos(2k? ? ? ) ? cos? tan(2k? ? ? ) ? ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ? 公式二 cos(?? ) ? cos?

tan(?? ) ? ? tan?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? 公式三 cos(? ? ? ) ? ? cos?

tan( ? ? ? ) ? tan?

sin(? ? ? ) ? sin ? 公式四 cos(? ? ? ) ? ? cos?

tan(? ? ? ) ? ? tan?

观察以上公式,它们有什么规律?

记忆诱导公式

总结:
2k? ? ? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数, 等于?的 同名函数值, 前面加上一个把 ?看成锐角时 原函数值的符号 。
口诀:去整留零,名称不变 符号看象限
口诀:“2kπ加全为正,负角余弦正, π减正弦正,π加正切正”

巩固知识 典型例题



例 3 求下列各三角函数值: (1) cos

导 公 式

9? 8? ;(2) tan ;(3) cos870? ;(4) sin 690? . 4 3

求任意角三角函数值的一般步骤是,首先将其转化为绝对值 小于2π的角的三角函数,然后将其转化为锐角三角函数值,

最后求出这个锐角三角函数值.
? ? ? cos930 ? cos(2 ? 360 ? 210 ) ? cos 210? 8? ?? ?? ?
?

1 ? ? ? ? 9 ? ? 2 sin 690 ? sin(2 360 ?? 30 ?) sin( ?cos 30 sin 30? ? tan ? tan(2 ? ??? ) tan( )? tan( ?? )? ? ? tan ?? 3 ?? ?? ?) ? cos cos(2 ?? ) ? ?cos ? cos(180 ? 30 ) ? ? cos( ? 30 ) ? ? 30 ? 3 3 4 3 4 3 4 2 3 ?2 2

方法总结:
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数, 一般步骤如下:

(1)化负角的三角函数为正角的三角函数。
(2)化为 0 ~ 360 的三角函数。
?

?

(3)化为锐角的三角函数。 概括为:“负化正,正化小,化到锐角就终了。”

用框图表示为:

用公式一
任意角的三角函数 或公式二 公式一 用公式三 锐角三角函数 或公式四 任意正角的三角函数

0 ~2? 的角的三角函数

运用知识
练习5.5.3

强化练习

求下列各三角函数值 (1) tan 225? (3) cos 495? (5) sin (2) sin 660? (4) tan

11π 3
7π ). 6

17 π 3

(6) cos(?

知识拓展
cos(180 0 ? ? ) ? sin(? ? 360 0 ) 化简 sin( ?? ? 180 0 ) ? cos( ?? ? 180 0 )

解: cos(1800 ? ? ) ? ? cos?

sin(? ? 3600 ) ? sin ?

sin(?? ?1800 ) ? sin[?(1800 ? ? )]
? ? sin(1800 ? ? ) ? ?(? sin ? ) ? sin ?
0 0 ? ? ? ? ? cos( 180 ) cos[ (180 ? ? )]

? cos(1800 ? ? ) ?? cos?
? cos? ? sin ? ?1 所以原式= sin ? ? (? cos ? )

五、课堂小结
1.

2k? ? ? (k ? Z ),?? , ? ? ?的三角函数, 等于?的同名函数值 , 前面加上一个把 ?看成锐角时原函数值的 符号。

2.

用公式一 任意角的三角函数 任意正角的三角函数 或公式二 公式一 锐角三角函数

用公式三
或公式四

0 ~2? 的角的三角函数

作业:《学习与训练》5.5.3

再 见


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