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高中数学必修4第一章三角函数测试题


必修 4

第 1 章 三角函数 必修 4 综合检测

1. cos 600 的值是 A.

?

( B.-



? 3.把函数 y=sin(2x+ ? )的图像上各点的横坐标变为原来的 1 , 再把所得图像向右平移 , 8 3 3 则所得图像的周期和初相分别为 ( )
A.3π , 4. sin(

1 2

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

3? ( ) ??) ? 2 A. cos? B. sin ? C. ? sin? D. ? cos? 5.对于 ? ? R ,下列等式中恒成立的是 A. sin(2? ? ? ) ? sin ? B. cos(?? ) ? ? cos? C. cos( ? ? ) ? cos(2? ? ? ) D. tan(? ? ? ) ? tan(2? ? ? ) ?
6.函数 y ? 2 sin( A. [0,

? 4

B.

? 13? , 3 12

C.

? 5? ,? 3 12

D.3π ,

5? 12

(

)

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是
B. [

( D. [

)

?
3

]

?

7.函数 y ? tan(

( ) ? x ? 且x ? 0) 的值域是 4 4 A. [?1, 1] B. (??, ? 1] ? [1,??) C. (??, 1) D. [?1, ? ?) 1 ? sin x 1 cos x 8.已知 的值是 ( ) ? ? ,则 cos x 2 sin x ? 1 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 2? 2? 9.已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin ) ,则角 ? 的最小正值为( , cos 3 3 5? 2? 5? 11? A、 B、 C、 D、 6 3 3 6

?

12

,

2

? x) (?

?

7? ] 12

C. [

?
3

,

?

5? ] 6

5? , ?] 6

).

10.设 cos100 =k,则 tan80 是 A、

0

0


2

) D、 ?

1? k k

2

B、

? 1? k k

C、 ?

1? k k

2

k 1? k2


11.若函数 f ( x) ? A sin(x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x ? A. f ( x ? C. f ( x ?

?
4

处取最大值,则 (

?
2

) 一定是奇函数
) 一定是奇函数

B. f ( x ? D. f ( x ?

?

?
2

?

4

) 一定是偶函数

13.已知 tan? ? 2, 则 sin ? (cos? ? sin ? ) ? _______. 14.若 cos? ? ?

4

) 一定是偶函数

1 ,则角 ? 的取值集合为____________. 2
1

15.已知函数 f ( x) ?| sin 2 x | ,则使 f ( x ? 2c) ? f ( x) 恒成立的最小正数 c 为 16.函数 f ( x) ? ? tan(x ?

.

?
3

) ? 1 的定义域为____________.

17.若 tan? ? ? tan? ,则角 ? 的终边的位置在_______________. 18.若 f ( x) ? sin(x ?

?

? 3? 3? ) ? 2 sin(x ? ) ? 4 cos 2 x ? 3 sin(x ? ) ,则 f ( ) ? ___ 4 4 4 4
2

19.求函数 y ? 16 ? x ? sin x 的定义域. 20.已知 sin(x ?

5? 1 7? ? ) ? ,求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. 12 4 12 12
)

1.(★★★★)函数 y=-x?cosx 的部分图象是(

3.(★★★★)函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________. 3

4.(★★★★★)设ω >0,若函数 f(x)=2sinω x 在[- 范围是_________.

? ?

]上单调递增,则ω 的取值 , , 3 4

5.(★★★★)设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α 、β 为何实数恒有 f(sinα )≥0 和 f(2+cosβ )≤0. (1)求证:b+c=-1; (2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sinα )的最大值为 8,求 b,c 的值.

三角函数练习 1

角的概念的推广练习 1

1.时间为 12 点 15 分时,时针和分针所夹的最小正角是( ) A.45° B.60° C.82.5° D.67.5° 2.已知 A={锐角} B={第一象限角} C={小于 90°的角} 则下列命题正确 的个数为( ) (1)A A.1 B (2)A B.2 C (3)B C.3 C D.4 )条件 (4)C B

? 3.“θ 是第一象限的角”是“ 是第一象限的角”的( 2

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.在下列各组的两个角中,终边不重合的是( )
2

A.-22°与 698° B.181°与-539° C.-88°与 992° D.150°与 690° 5.设 k∈Z,终边相同的一组角是( ) A.k?90°与 k?180°+90° B.k?180°+60°与 k?60° C.(2k-1)?180°与(4k±1)?180° D.k?180°+30°与 k?360°-150° 6.集合 M {x|x=k? 180°+90°, k∈Z} N= {x|x=k? 90°+180°, k∈Z} 则( A.M=N B.M N C.M N ) D.M∩N= ?

)

7.已知α 的终边在第四象限,则

? 的终边在( 2

A.第二或第四象限 B.第一或第二象限 C.第一或第四象限 D.第三或第四象限 8.已知α 是第三象限的角,则 270°-α 是( ) A.第一象角 B.第二象限角 C.第三角限角 D.第四象限角 9.下列命题正确的个数为( ) A.终边相同的角一定不相等 B.第四象限的角的集合是{α |k?360°+270°<α <k?360°,k∈Z} C.第二象限的角比第一象限的角大 D.终边在坐标轴的角的集合是{α |α =k?90°,k∈Z} 10.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,一始边与 x 轴的非负半轴重合,若α 与β 的终边关于原点对称,那么( ) A.α =k?360°-β ,k∈Z B.α =k?360°+β ,k∈Z C.α =(2k+1)?180°-β ,k∈Z D.α =(2k-1)?180°+β ,k∈Z 11.与 1780°的终边相同且绝对值最小的角是 . 12.角α 的终边与函数 y=-x 的图象重合,则角α 的集合是 . 13.若α 角的终边与-60°的角终边相同,则在(-360°,0°)内终边与 为 为 是

? 终边相同的角 3

是 α .

. 14.角α 的终边与 30°角的终边互相垂直,且α ∈(0°,360°),则角α 的集合 . 15. 已 知 : 180 ° < α + β < 240 ° , -180 ° < α - β < -60 ° , 则 2 α - β 的 范 围 . 16.命题:(1)α 是锐角,则 k?360°-α ,k∈Z 是第四象限的角 (2)若α 是锐角,则 2α 是第一象限或第二象限的角 (3) 若 α 、 β 是 锐 角 , 则 α - β 是 第 一 或 第 四 象 限 的 角 , 其 中 正 确 的 命 题 . 17.已知角α 的终边与 60°角的终边关于直线 y=-x 对称,且α ∈(-720°,720°),求

3

试判断α 是第几象限的角. 19.已知 A={α |k?180°+30°<α <k?180°+90°,k∈Z} ;B={a|?360°+60° <α <k?360°+240°,k∈Z=,求 A∪B,A∩B.

三角函数练习 2 角的概念的推广 2
一、选择题 1.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限的角是( A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2.若α 是第一象限的角,则)

? 是( 2

)

A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 3.下列结论中正确的是( ) A.小于 90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 4.角α 的终边落在 y=-x(x>0)上,则 sinα 的值等于( ) A.-

2 2

B.

2 2

C.±

2 2

D.±

1 2

5.集合 A={α |α =k?90°,k∈N+}中各角的终边都在( ) A.x 轴的正半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴或 y 轴上 D.x 轴的正半轴或 y 轴的正半轴上 6.α 是一个任意角,则α 与-α 的终边是( ) A.关于坐标原点对称 B.关于 x 轴对称 C.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称 7.集合 X={x|x=(2n+1)?180°,n∈Z},与集合 Y={y|y=(4k±1)?180°,k∈Z}之间的 关系是( ) A.X Y B.X Y C.X=Y D.X≠Y

8.设α 、β 满足-180°<α <β <180°,则α -β 的范围是( ) A.-360°<α -β <0° B.-180°<α -β <180° C.-180°<α -β <0° D.-360°<α -β <360° 二、填空题 1.若角α 、β 的终边关于 x 轴对称,则α 、β 的关系是 . 2.若(4k+1)?180°<α <(4k+1)?180°+60°,则α 是第 象限角.(k∈Z) 3.设集合 A={x|α =m?60°,m∈Z},B={β |β =n?45°,n∈Z},则 A∩B= . 三、解答题 1.若-540°<α <-180°,且α 与 40°的角终边相同,求α .

2.若θ 角的边与 168°角的终边相同, 求在(0°, 360°)内终边与

? 角的终边相同的角. 3

4

3.已知角α 终边上一点 P( 3 ,α )且 cosα = 的集合,并求出实数α 的值.

3 ,试写出与角α 的终边相同的所有角 2

4.若α 为第三象限角,那么-α ,

? 、2α 为第几象限的角? 2

(一)主要知识:
1.同角三角函数的基本关系式: (1)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 ; (2)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? ; , cot ? ? cos ? sin ? 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2.诱导公式,奇变偶不变,符号看象限. (二)主要方法: 1.利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征,注意公式的合理选用,特别 要注意开方时的符号选取,切割化弦是常用的方法; 2.学会利用方程的思想解三角题,对于 sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? 三个式子 中,已知其中一个式子的值,可求其余两个式子的值. (三)例题分析: 例 1.化简 tan ? (cos ? ? sin ?) ?

sin ? ? tan ? cot ? ? c s c?

分析:切割化弦是解本题的出发点.

sin ? sin ? ? sin ? (cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? . 解:原式 ? ? cos ? 1 cos ? ? sin ? sin ?
例 2.化简(1) sin(? ?

) ? cos(? ? ) ; 4 4 3 11? (2)已知 ? ? ? ? 2? , cos(? ? 9? ) ? ? ,求 cot(? ? ) 的值. 5 2
解: (1)原式 ? sin(? ?

?

?

) ? cos[ ? (? ? )] ? sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 0 . 4 2 4 4 4 3 3 (2) cos(? ? ? ) ? cos(? ? 9? ) ? ? ,∴ cos ? ? , 5 5 4 sin ? 4 ∵ ? ? ? ? 2? ,∴ sin ? ? ? , tan ? ? ? , 5 cos ? 3 11? 3? 4 ∴ cot(? ? ) ? ? cot( ? ? ) ? ? tan ? ? . 2 2 3
例 3. (1) 若 tan ? ?

?

?

?

?

?

2 ,求值①

cos ? ? sin ? 2 2 ;② 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? . cos ? ? sin ?
5

1 ? sin 6 x ? cos 6 x . 1 ? sin 4 x ? cos 4 x sin ? 1? cos ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 . 解: (1)①原式 ? sin ? 1 ? 2 1? cos ? 2 ?1 1 1 ②∵ cos 2 ? ? . ? ,∴原式 ? cos 2 ? (2 tan 2 ? ? tan ? ? 1) ? 2 3 1 ? tan ? 3 6 6 2 2 4 2 2 4 (2)∵ sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(sin x ? sin x ? cos x ? cos x)
(2)求值

? (sin 2 x ? cos 2 x)2 ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 3sin 2 x ? cos 2 x .
又∵ sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) ? 2sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x ? cos x .
4 4 2 2 2 2 2 2 2

∴原式 ?

1 ? sin 6 x ? cos6 x 3 ? . 1 ? sin 4 x ? cos 4 x 2
2

例 4.已知 sin ? , cos ? 是方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个根,

?sin ? ? cos ? ? m ? 2m ? 1 ? 2 解:∵ ?sin ? ? cos ? ? ,代入 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? ? cos ? , 4 ? ?? ? 16( m 2 ? 2m ? 1) ? 0 ?
得m ?

3? ? ? ? 2? ,求角 ? . 2

1? 3 3? 2m ? 1 ,又 ? ? ? 2? ,∴ sin ? ? cos ? ? ? 0, 2 2 4 1? 3 ? 3 1 3? sin ? ? cos ? ? m ? , cos ? ? ,又∵ ,∴ sin ? ? ? ? ? 2? , 2 2 2 2 5? ∴? ? . 6
(四)巩固练习: 1.若 f (cos x) ? cos 2 x , f (sin15 ) ?
?



D



3 2 1 3 2.已知 sin ? ? cos ? ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ? ? . 5 4

( A)

1 2

( B) ?

1 2

(C )

( D) ?

3 2

三角函数的性质图像
如已知 tan

x ? 2, 求 sin 2 x ? 2 sin x ? cos y ? cos 2 y ? 4

的值。

8 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R为三角形外接圆的半径) sin A swinB sin C

a : b : c ? s i nA : s i nB : s i nC
6

余弦定理: a

2

? b 2 ? c 2 ? 2ab cos A ,… cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2ab

1.

三角函数的图象与性质和性质

2. 三角函数作为基本初等函数,它必然具备函数的共性;作为个体,它又具有自身的 个性特点. 例如周期性、 弦函数的有界性, 再如三角函数的单调性, 具有分段单调的特征. 通 过复习对这些特性必须很好掌握, 其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题. 根 据《考纲》的要求,只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及 y=Asin(ω x+?)等形式的三角函数的周期,不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数 的周期.
7

“去负——脱周——化锐” ,是对三角函数式进行角变换的基本思路.即利用三角函数 的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负; 利用三角函数的周期性将任意角 o o o o 的三角函数化为角度在区间[0 ,360 )或[0 ,180 )内的三角函数——脱周; 利用诱导公式将上 述三角函数化为锐角三角函数——化锐. 同角三角函数之间的三种关系: (1)倒数关系:(2)商数关系: (3)平方关系:

是进行三角式化简的最基本的公式,必须熟练掌握.

8

提升练习: 1. 已知: sin? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( A.若 ? 、 ? 是第一象限的角,则 cos ? >cos ? . B. 若 ? 、 ? 是第二象限的角,则 tan ? >tan ? . C. 若 ? 、 ? 是第三象限的角,则 cos ? >cos ? . D. 若 ? 、 ? 是第四象限的角,则 tan ? >tan ? . 2.求下列函数的定义域: (1) y =
2 cos x ? 1 ;



(2) y = lg(3-4sin2x) .

13、函数 y ? a sin x ?1 的最大值是 3,则它的最小值______________________

1 19、已知函数 y ? log 1 ? sin 2 x ?. (1)求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数; ? ? 2 ? 2?
(2)判断它的奇偶性; (3)判断它的周期性。

9


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