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三角函数针对性练习


三角函数针对性练习
题 1 已知 f ( x ) = cos ? 2 x ?

? ?

π?

2 ? + 2 cos x. 3?

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在 x ∈ ? 0 ,

? π? ? 上的值域。 ? 2?

解: 1) f ( x ) = cos 2 x cos (

π

3 π? ? = sin ? 2 x + ? 3? ?

+ sin 2 x sin

π
3

+ 2?

1 + cos 2 x 3 = cos 2 x + sin 2 x 2 2

∴ f ( x ) 的最小正周期为 π 。 (2)Q x ∈ ? 0 ,

π ? π 4π ? ? π? ∴ ?, 2x + ∈ ? , ? . 3 ?3 3 ? ? 2?

∴ ?

3 π? ? < sin ? 2 x + ? ≤ 1 2 3? ?



? 3 ? ? π? 上的值域为 ? ? 。 ? ? 2 ,1? ? 2? ? ? uuu r uuu r uuu uuu r r 2 题 2 OA = ( 2 cos x,1) ,OB = 1, 3 sin 2 x + a ( x ∈ R,a为常数 ) ,若 y = OA ? OB .
函数 f ( x ) 在 x ∈ ? 0 ,

(

)

(1) 求 y 与 x 的函数解析式; (2) 若 x ∈ ? 0,

? π? ? 时, f ( x ) 的最大值为 2,求常数 a 的值并指出 f ( x ) 的单调区间. ? 2?

解: (1) y = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a =

π? ? 3 sin 2 x + cos 2 x + a + 1 = 2sin ? 2 x + ? + a + 1 6? ?

(2)Q x ∈ ? 0,

π ? π 7π ? ? π? ? ,∴ 2 x + 6 ∈ ? 6 , 6 ? . ? 2? ? ?
π
6 =

∴ 当 2x +

π
2

,即x =

π
6

时, f ( x ) 的最大值为 a + 3 。

∴ a + 3 = 2, 故, a = ?1.

题3 解

? 5π ? sin ? ? 2α ? ? 2 ? ? cos α = 1, 0 < α < π,求α的值. 已知 3 sin α ? cos (π + α )
: 条 件 式 可 化 为 :

3 sin α + cos 2α = 1,

∴ 3 sin α + 1 ? 2 sin 2 α = 1,∴ 2sin 2 α = 3 sin α .

又 sinα ≠ 0,0<α <π , ∴ sinα = 题4

3 π 2π , 故α = 或 . 2 3 3

在 ?ABC 中,a,b,c 是 A,B,C 所对的边,且 sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC. (1) 求 cosB 的值; (2) 若 b=3,求 ac 的最大值。 解:(1)条件式可化为: sin B cos C + cos B sin C = 2sin A cos B , 即

sin ( B + C ) = 2sin A cos B,

1 ∴ cos B = ; 2
(2)由余弦定理可知, b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B, 即a 2 + c 2 ? ac = 9. 又 a 2 + c 2 ≥ 2ac,∴ 2ac ? ac ≤ 9, 故ac ≤ 9. 已知函数 f ( x ) =

题5

( sin x + cos x )

2

2 + 2 sin 2 x ? cos 2 2 x

.

(1) 求 f ( x ) 的定义域及值域; (2) 求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间. 解: (1)原函数可化为 f ( x ) =

1 + sin 2 x π . 由 1 + sin 2 x ≠ 0 解得 x ≠ kπ ? (k ∈ N ) 2 (1 + sin 2 x) 4

∴原函数的定义域为 ? x x ≠ kπ ?

? ?

π

? (k ∈ N ) ? . 4 ?

∴ f ( x) =

1 π ?1 ? ( x ≠ kπ ? (k ∈ N )) ,原函数的值域为 ? , +∞ ? 1 + sin 2 x 4 ?2 ?

(3) 函数 g ( x ) = 1 + sin 2 x 的最小正周期为 π ,

∴ f ( x) 的最小正周期为 π 。
函数 g ( x ) = 1 + sin 2 x 的单调递减区间为 ?

3π ?π ? + kπ , + kπ ? ( k ∈ N ) 。 4 ?4 ?

3π ?π ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? + kπ , + kπ ? ( k ∈ N ) 。 4 ?4 ?


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