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数列和式不等式的放缩策略


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辅教 导学 ?  

数学通讯 ( 2 0 0 8年 第 l 8期)  

1  

数 列 和 式 不 等 式 的放 缩 策略 

围 圜 圈 圈 
数 列 和 式 不 等 式 的 证 明 经 常 在 竞 赛 题 或 试 卷 压 
轴 题 的 最后 一 问 出 现 , 在 思 维 能 力 和 方 法 上 要 求 很 

季  强  
( 江苏 省 常 州 高 级 中 学 数 学 组 , 2 1 3 0 0 3 )  

2 +1 一( ÷)   <3 .   评 注  用 二 项 式 定 理 展 开 后 ,   就 是 数 列 
,   1   、  

高, 往往让人束手元策 . 其实, 这类 不等式 的证明 , 是  有章可 循的. 遵 循什 么章 ? 就 是要 把 和求 出来 , 求 出  后再放缩. 更多 的情况下是不能 直接求和 的, 这 时 就 
要 先 把 通项 放 大 或 缩 小 , 使 得 每 一 项 按 照 相 同 的 规 

{ l  (   ’ ,   )  } J   ( 点∈N , 五 ≤  ) 的各项的和, 不能直接求  
和, 连续两 次放缩后 , 转 化 为 等 比数 列 求 和 , 再 放 缩  证得结果.   2 . 策略二 : 放缩 裂项 求 和 

律放大 或缩小后 , 把 和求 出来 , 求 和后 再 放缩. 下 面  简 述 几 个 用 来 证 明 数 列 和 式 不 等 式 的一 般 性 策 略 .  
1 . 策略一 : 放 缩 等 比求 和 

有的数列和式不等式 , 不能直 接求和 时, 可 以 先  把数列的通项公式分裂成两 项之差 , 求 和后再放缩.   当通 项 公 式 不 能 分 裂 成 两 项 之 差 时 , 先 把 通 项 公 式  放缩后裂项( 即分裂 成两项 之差 ) , 每 一 项 都 按 照 相  同的 规 律 放 大 或 缩 小 后 裂 项 , 求和后再放缩.   例2 ( 2 0 0 7 年 浙 江 省 高 中数 学竞 赛 题 ) 设 N — 
N  .  

当 可 以 直 接 利 用 等 比数 列 求 和 时 , 求 和后放缩 .  

否则 , 先将通 项放缩 , 从 某 一项 开始放 缩后 , 和式 转 
化 为等 比数 列 的 和 , 求 和后再 放缩. 当然 , 以 通 项 公  式 为抓手 , 观察 分析 , 放 大或 缩小 , 从而 每一项 都按 

照 相 同 的规 律 放 大 或 缩 小 , 求 和再 放 缩 , 证 得 要 证 的 
不等式 .  

2  , 则 不 超 过∑ {的 最 大整 数为 — — .  
已知 数 列 { 口   ) 中n  = 1 , 关 于 z的 方 程 
n  1 

例1  
z。

一口  1   s i n ( c o s x ) +( 2 a   +1 ) s i n 1— 0有 唯 一 解 .  

n 氚 ++ 1   n   < 砉<   2  
-2 ( ~  干T一√ 一 ) <  < 2  
√挖  
。 . .

( 1 )求 数 列 { 。   )的 通 项 公 式 ;   ( 2 )设 b  一 撒  , 求数列 { b   ) 的 前  项 和 S   ;  

一y r .- T) ,  

( 3 ) 设  一 [ 1 + 

] n   9 求证  < 3 ?  

2 ∑( 厢
) 。  

~   <∑{<1 + 2 ∑(  
一1 ) <∑ {<1  

解  ( 1 ) n  一 2   一1 (  ∈ N  ) . 提示 : 利 用 函数   的奇偶性 , 解题过程略.  
一 、  

( 2 ) s   一( 挖 一1 ) ×2 州一 丛 掣
程略.   ( 3 )因 为 
(   )   一 
, z— l  

+2 . 解 题 过  

. - . 2 (   一1 ) <2 (  
+2 (  ̄ /  一 1 ) ,  

二  
足 !  

旦二 
1  

(   )  
?

. . 2 ( 2  一 1 ) <2 (  
2 。 。   一 1,  

一 1 ) <∑ 圭<2  

一 2  

l   , 1  

‘   ■ ‘  

… 一  ’ 可  定 !   足 可 !   ’  

当 k ≥2 时 , 者≤  , 当 且 仅 当 k 一 2 时 取 等  
号. 所以 f 1— 2 < 3 ,  

. . . 不 超 过 ∑ {的 最 大 整 数 为2 。  一 2 .   评 注  不 能 直 接 求 和 ∑  1 , 先 把 通 项 {放 缩  
n 一1   V 

当 , z ≥2 时, c  一 ( 1 +  )  一 1 +C  

+ … + 

裂项 , 每一项按照相 同的规律放大或缩 小后求 和, 得 

取 值 范 围 , 即 知 不 超 过∑ {的 最 大 整   ( 去 )   ≤ 2 + 六 + … +  < 2 +   + … +  <   到∑ {的
n=】 V , z   1  V挖 

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2  
数为 2   一2 .  

数学通讯( 2 0 0 8年 第 l 8期 )  
( 1 ) 求{ n   } 的通项公式 ;  

?辅 教 导 学 ?  

例3

( 2 0 0 6年 全 国高 中数 学联 赛 浙 江 省 预 赛 

( 2 ) 设数列 { b   ) 满 足d   ( 2 。一1 )= l , 并记 T   为  {   }的前 项 和 , 求证 :  
3   + 1> l o g 2 ( 口  + 3 ) , T / ∈ N  .  

题) 已知数列 { 口   } 满足 a l 一1 , 口  1 一a   +2 n ( n   1 ,  

2 , 3 , …   , { 6   ) 满足6 1 :1 , 6   l :   +堕(   :1 , 2 ,  
3, …), 证 明:  

解  ( 1 ) a  一 3 n一 1 . 解题 过程略.  

( 2 )由 n   ( 2  一1 )一 1 解 得  = l o g   ( 1 +  )  

÷ ≤  
证 明  一  1  

< L  


l 。 g z  

. 于 是 

’ 

3 7. + l— l o g 2 ( 口  + 3 】  


3( 6 1+ b 2 + b 3 + … +  )一 l o g 2 ( 3 n+ 2 )  

则 f   = ÷ < L < … <  而  
L 一 

l 0 g 2 [ ( 寻? 詈… ?   丽 2] .   设 , ( n ) 一 ( 导? 号… ? ?   )   ?  2, 则  




√ 客   ? 砉   1 .  
一  

一丽 3 n + 2? 3 n + 3)
( , z )  
一  

。  

3 n+ 5  

3 n   十  十 2
‘  

因为 n 1 =1 , n ¨1 =a   +2 n , 所以口 抖1 — 1= k ( k   +1 ) , 从 而 有 

( 3 n+ 3 )  

由于( 3 n +3 ) 。 ~( 3 n +5 ) ( 3 n +2 ) 。= 9 n +7 > 

塞 Z _ J l   一 a — t + l   1— —一 ~   1     1  一 } _ 1 )    c  f 台     ÷ 一 币 k —   + 1 —   1   )  


0 , 所 以 函数 - 厂 (   ) 是 关 于  的增 函 数 , 故_ 厂 ( n ) ≥, ( 1 )  
一  

1 一 



i  

<l  

① 

2 O> 1 , 从 而 

又 因 为 6 州=  + 譬一 宠  下 b k ( b k 定 +   k ) , 所 以  
1  
一  

3   +l —l o g 2 ( n   +3 )= l o g 2 [ , (   ) ] >0 ,  
即 3 L 4 . - 1> I o g 2 ( n  - 4 -3 ) ,   ∈ N .  

k  


1  
b k  

1  
’  

评 注  此题 与前 几题不 同, 前几 题不能直接求 
和, 必须 放 缩求 和 , 而 此题 可 以把 和式 3   4 -   1一  l o g z ( n   +3 ) , (  ∈ N  ) 先求 出来 , 再 构 造 一 个 相 关 

即   一   } 一   1 , 从 而 有  
k   6 台  +  
一  

的函数 , (   ) , 利用函数 , (   )的 单 调 性 证 明. 当然 也 







一  

l  

6 井1  

≤  b


l  

② 

可 以说 构 造 了一 个 数 列 { , ( n ) ) , 利用数列 { 厂 (   ) )的 
单 调 性 证 明.   4 . 策略 四: 奇偶 相 邻 项 捆 绑 求 和 放 缩 

由 ① 和 ② 即得 J   < 1 .  

综 合 得 到 ÷ ≤ I   < l 。  
左 边 不 等 式 的 等 号 当且 仅 当 n一 1时成 立 .  
评 注  和式i t  一   —: ::  ::一 中  d( a  ̄ l 一1 ) (  +  )  

当要 证 的 和式 是 正 负 相 间 时 , 仅 用通项 a  是 不  好放缩 的, 因 为 项 数  为 奇 数 或 偶 数 时 , a  的符 号 是  变化 的, 此 时 可 以 把 奇 偶 相 邻 项 捆 绑 求 和进 行 放 缩 .   例5   数列 { b   ) 中, 6 1 —  J _ L , 6 ¨1 b   一b   +2 , 数 
列{ n n } 满足 n  一   ( n∈ N  ) ?  

的通 项 不 好 直 接 放 缩 , 利 用 柯 西 不 等 式后 , 再 把 

塞   和  1   分 另 l j 采 用 裂 项 求 和 , 最 后  
放缩.  

( 1 ) 求证 : 口  1 +2 。   + 1— 0 ;   ( 2 ) 求数列 { n   } 的通项公式 ;  

3 . 策略三: 单调性求和  
有 的数列和式 不等式 的证 明 , 可 以 利 用 单 词 性  放缩 , 当然 , 也可 能是在 和式 的某一个 环节 , 利 用 一  个 相 关 的 数 列 或 函数 的单 调 性 进 行 放 缩 .   例4 ( 2 0 0 7 年重庆卷文理 2 2 ) 已知 各 项 均 为 正 


( 3 ) 求证 : ( -1 ) b l   T -( -1 ) 。 b 2   T - …+ ( 一1 )   b  < 
1 (  ∈ N  ) .  

解  ( 1 ) 证 略.  

( 2 ) n  一 ( -2 )  一 ÷ , 解 略.  
( 3 ) b  : 土 - l -2 一 ———三——  + 2, 。   “ 一 ( - 2 )  一 1  

数 的数列 { 口   ) 的前 , z 项和满足 S  > 1 , 且6 S  一 (  
+ 1 )( n  + 2) ( 7 /∈ N  ). "  

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?

辅教导学 ?  
当  为 奇 数 时 ,  
( - 1 )   b  + ( 一 1 )   6  1  
1 +  ×  

数学通讯( 2 0 0 8年 第 1 8期)  

3  



专 十 吉 + 去 + 去 + 而 1 + 学 1 ( 1 - 1  
l—  

1  
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — ‘ —  

,  一   二  :  
3  

< 了 2 + 击 +  +  一  <  一  .  
< 

: ±   !  

( 2   + ÷ ) ( 2  一 了 1 )   2   ? 2  + 寺一 寺  

评 注  若 从 第 2 项到第 5 项 中 的 某 一 项 开 始 放 

大, 和都大于* , 这就是放得过大. 这里保 留了前 5  
项的准确值 , 从 第 6项 开 始 放 大 , 减 小 了放 大 的量 ,  
顺利证得 了结果. 如 果 保 留 前 6项 或 更 多 的 项 的 准 
6 确值 , . ,… , .  一 z 1 9还 要 小 当 然 比  1 7更 小 但计  4 。
, ,

筹一  十 古 +   嘉 
故 左 边 < ( ÷ +  ) + (  +  ) + … + (  

+   ) +   2   毫  一   1 _ 2 + 毒 
< 一1 +上 <1 .  

算 要 复 杂些 , 故 还 是 从 恰 当 的某 一 项 开始 放 缩 为 好 .  

方法 2 : 放 缩 裂 项求 和 .  
一 
1   二  

+ 寺  

二  
1  

< 

?

当   为 偶 数 时 , 左 边 < ( ÷ +  ) + (   + 古 )   + (  + 吉 ) 一 1 一 言 < 1 .  
综上, 总有 ( 一1 ) b 1 +( -1 ) 。 b 2 +…+( 一1 )   b  < 
一  

一 

一 

’  

耋   < ÷ + 吉 + 去 + c  一   +  
(   I  
一  

) + … +[  
1   ,1   i  
‘、   ‘  

一 

]  

l (   ∈ N ) .  

5 . 策 略五 : 延 后 放 缩 求 和 

1   i  
一  

和式 放 得 太 大 或 缩 得 过 小 , 原 因 是 每 一 项 都 放 
得太大或 缩得过小 , 可 以用延后放缩法 : 即不 从 第 一  个 可 以放 缩 的 项 开 始 放 缩 , 而 是 保 留 前 面 若 干 项 的 

评注  若从第 2 项或第 3 项开始放大 , 和都大 

干告 ÷ , 这就是放得过大. 这里保留了前 3 项的准确 
值, 从 第 4项 开 始 放 大 , 减 小 了 放 大 的量 , 顺 利 证 得  了结 果 . 如 果 保 留前 4 项 或 更 多 的项 的 准 确 值 , 求 出 

准确 值 , 减 小 放 大 的 量 或 减 小 缩 小 的量 . 在 不 断 的 调 
节尝试 后 , 从 某 一 项 开始 放缩 , 就 能 证 得 要 证 的 结 

果. 保 留前 面若 干项 的准确值 , 就减小 了放大 的量或 
减小了缩小的量.   例6   已知数列 { n   ) 满足 口 l =2 , n   一2 ( 1 + 
)   ∈ N*,  

的和比* 更小, 问题 自 然证得.  
我们利用延后放缩求和策略 时 , 要 不断 地尝试.  
方 法 t利 用 的是 放 缩 等 比求 和 , 经 过 若 干 次 尝 试 后 

知: 最 起 码 必 须 从 第 6项 起 进 行 放 缩 , 才 能 证 得 结 
( 1 ) 求 数列{ n   )的 通 项 公 式 ;   果. 方 法 2用 的 是 放 缩 裂 项 求 和 , 同样要 先 尝试 , 从 

( 2 ) 设  一 詈 , * E . , b   ;  

第 4 项 起放 大 , 恰可证得结 果. 若从第 4 项 后 的 某 一 

( 3 ) 设   一  , 0   求 证 : 毒 ?   c   <   1 7 4   ;  
解  ( 1 ) a  一 2  ? n 。 , 解题过程略。  

项开始放大, 求出的和更小于* , 当然可以这样做,  
但 是 前 面 保 留 了过 多 的 项 的 准 确 值 , 求 和 也 是 麻 烦  的, 故 还 是 尝 试 出从 恰 当 的某 一 项 开 始 放 缩 较 好 .   总之 , 数 列 和 式 不 等式 的 证 明 , 关键是 把 和求 出   来. 若不能直接求和 , 就要先把通项放 缩 , 再求 和 , 求 
和后再放缩 , 证得结果.  
( 收 稿 日期 : 2 0 0 8 —0 5 ~2 2 )  

( 2 ) ∑b   一(   一1 ) ? 2   +2 , 解 题 过 程 略 .  
( 3 ) 方法 1 : 放 缩 等 比求 和 .  
≥ 2时 ,   ≤ 2 1


( , z 一 2时取 “ 一” ) .  

< ÷ +  + 南 + 南 + 南 +  
+ 嘉+ … + 嘉 


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