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空间半参数变系数部分线性回归中的分位数估计


唐庆 国: 空间半参数变系数部分线性 回归中的分位数估计 

迄今为 此, 已有 不少人研 究过变 系数部 分线性模 型并 已开发 出不 少新 的理论成果 , 如文献 『 1 1 — 1 4 1 ,  
文献 『 1 3 ] 研 究 了纵 向数据变 系数 部分 线性模 型 的分 位数估 计. 同均值 回归相 比, 分位 数 回归具有 以下  几 方面 的优势 : 第一 , 给 定 一列分位 数并 对其 中的每 一个做 分位数 回 归能让我 们对数 据 比单 纯做 均值  回归有更 多 的认识和 理解 ; 第二, 分 位数拟 合可 用于构 建预测 区间 ; 第 三, 中位数 回归作 为分位 数 回归  的一种特 例 能提供 比均值 回归更 稳健 的估计 . 自从文 献 f 1 5 1 所取 得 的突破性 进展 , 分 位数 回归方 法 已  引起人们 的广泛关注 并 已广泛应 用于统计 的各个 领域 , 相 关研 究详见文献 f 1 6 1 . 本 文首先用逐段 多项式  逼 近模 型中 的未知系 数 函数  (   ) , r =1 , …, d 1 并 通过极 小化 算法得 到  的分 位数估 计量 . 这 些逐  段 多项 式不 能作为 系数 函数 的估 计量 , 因为它 们 只是逐段 光滑 的. 为 了估计  ( 乱 ) , 模 型 中我们用 

的估计量 代 替  , 用局 部多项式 逼近 
的渐近 分布 .  

( Ⅱ ) , 并通过 极小化 算法得 到 ,   ( “ ) 的分位数 估计量 . 在一般  f   ) 在 内点和 边界 点 

性 条件 下, 我 们推 导 了未 知参数 向量  的渐 近分布 , 并建 立 了未知系 数 函数 

本 文的结 构如 下: 第 2节提 出估计方 法; 第 3节给 出估计 量 的渐 近性质 ; 第 4节通过 Mo n t e   C a r l o   模 拟研 究估计 量 的有 限样本 性质 ; 所有 的证 明放在第 5节 .  

2   估 计 方 法 
假 定有 观测数 据 (   ,   ,   ,  , ) , 1≤i ≤m, 1≤J≤   凡 , 总 的样本 容量 为 N =m ×n . 不 失一 般 
性, 假 定 0≤   ≤1   .

首先估 计  . 我 们先 构造 阶为 s的逐 段多 项式 . 给 定 正整数 MⅣ, 我 们将 区间 【 0 , 1 1 等 分成 MⅣ  

个 子 区间, 每个 子 区间 的长度 为 2 h o= 1 / MN .令 L = [ (  一W MN, . / MN ) , 1≤   ≤ MN一1 ,  M  


f 1 ~1 / MN, 1 ] . 令 t  为 区间 L 的 中心, 而) (  表 区间  的示性 函数, 即当 札E   时, ) (   (   ) =1 , 而 

“∈ ,   时, ) (  u ) =0 . 令 

u ) = ( 1 , ] ( U -   t  ̄ ) ,  [  
H( u ) =( X i (   )   ( 乱 ) T  

= 1 . . . . . M N  
( 札 ) , r= 1 , . . . , d 1 .  

令 b   =( b  o , . . . , 6  。 ) T , b  : ( 6   1 , . . . , 6   M   ) T .我 f f ] 用  ( , “ ) = H( u ) T b  逼近 

我们注意到  ( 札 ) 为阶为 s 的逐段多项式. 令B ”:X i j  H ( U i j ) , b =(  …. , 6 夏 ) T . 基于空间观测  
数据 { (   ,   j , Z i j ,  J ) : 1≤i ≤m; 1 ≤J≤礼 ) , 我 们解 下面 的关 于  , b的极小化 问题 :  


口   6 一  

‘ 2 ? 1 ’  

此处 , P   ( £ ) =  ( 7 - 一   < o ) ) , 0<丁< 1为 7 - 分位数损 失 函数 . 令  和 6  为 ( 2 . 1 )的极小值 点, 那么 ,  
的 丁分位 数估 计量 为  .  

得到  的估计量后, 对给定点 0 ∈【 0 , l 】 , 在札 0 邻域内, 我们用局部线性函数 a v o + 。   l ( U 一 ' 1 / , 0 ) 逼近 
未知 的系 数 函数 n  ( 乱 ) ( r= 1 , …, d 1 ) . 基于 空间观 测数据 ( (   ,  J ,  , ,  J ) : l ≤i ≤m; 1≤J≤n ) ,  
我们 解 下面 的极小化 问题 :  
a r

i n 

。 。, 。

薹 p   ( 1   — z   一   d l   n   。 + n r   c 己   ,   训  K (  ) ,   2  

9 0 0  

中 国科 学 : 数学

第 4 3卷

第 9期 

此 处,   ( ? )是给 定 的核 函数, h= h u 为选 定 的 窗宽.令  0和 


为 ( 2 . 2 )的极小值 点 , 那么 ,   ( u 0 )  

(  1 (   0 ) , … ,  d   ( 札 0 ) ) T的 7 - 分位 数估 计量 为 

a   (   0 ) =( a   1 (   0 ) , …, a   d   ( “ 0 ) ) T=a 0 =( a 1 0 , …, a d l o ) T .  

( 2 . 3 )  

3 估 计 量 的 渐 近 结 果 
本节 将给 出分位 数估 计 量  相依 性概 念 . 令 { (  
  .

和 a , (   0 )的渐近 性 质.为 了推 导渐近 性 质, 我们 先 给 出空 间混合 

,  



Zi ,  
  .

( i , J )∈z  称 为地 址 . 令  和 

) ) , ( i , J )∈z 。为严平稳的随机场, 此处, z= { 0 , 土 1 , 4 - 2 …. ) , 点   仉  为两 个地 址 集 , B o r e l 域  )=  ( (   ,   ,   ):(   , J )∈S )  
,  
  . . 

和B ( S   ) =  ( (  , X 巧 , Z i j ,  J ) : ( i , J ) ∈S   ) 为两个地址 ( i , J ) 分别属于 s和 s   的随机 向量 (  ,  j ,   ,  j ) 所生成的  域. 令d ( s , s   ) 为. s与   之间的 E u c l i d距离, 假定 { (   ,   , Z i   ,   ) ) 满足 以   下 由文献 f 3 ] 定义 的混 合条 件 : 存 在 函数 西 ( t ) , 当t   ∞ 时,   t )  0 , 并且 当  S   c   Z  时 有  =  ,

出 ∑嘲   (  ( S ) , B ( S   ) ) =s u p { I P( A B) 一P( A ) P( B) I , A ∈8 (  ) , B ∈B( s   ) )  
≤  ( c a r d ( s ) , C a r d ( S   ) ) 西 ( d ( s , S   ) ) ,  
~ 叼 

川  

( 3 . 1 )  

此处, C a r d ( S ) 表集合 s中的元素个数,   为关于每一个分量非减的对称正函数. 如果存在某个常数 C   使 得  ( 。 。 , 。 。 ) ≤C, { (   , X  ,   ) )称 为  混合 ( 或强混 合) . 在混 合性 条件 中,   混 合相依 性是 为  建 立估 计量 的渐 近性 质所 需 的较弱 的条 件.  

令  为所有如下函数组成的函数集合: 叩 (   , 札 ) ∈   当且仅当 叩 (   , u ) =X T 叩 ( 札 ) =∑  ( u ) 且  I I 有界并且对 r :1 , …, d 1 , 有  ( u ) ∈   外  [ 0 , 1 ] . 为 了建  立   的渐近分布, 我们需要调整  与  
(   ) 之 间 的相依 关系 , 这也 是半 参数 模型 中所 共 同面临 的 问题 . 记 

令  (   ,  J ) =∑  1   X  

(  J ) =a r g i n f  ̄   ∈ y E { 9   ( 0   I 五j ,  j ) 【  J k 一仉( x   ,  J ) ] 。 ) , 并令 
( Xi j ,  J ) =E(  J  1   J ,  J )  

由于 

E {  ( 0     1 Xi j ,  j ) [  J k 一讯(   ,  j ) 】 。 )  


E { 9   ( 0   I   ,  j ) [  j k 一  ( x  

j ) ] 。 ) +E < 9   ( 0   l   ,  j ) [ < k ( x t j ,  j ) 一叼 k (   ,  j ) ] 。 ) ,  

从而,  (  J ,  J ) 是  (   ,  J ) 到变系数函数空间  ( 在 2 范数意义下) 上的投影, 即  (   ,  J ) 是  所有  中离  (   ,  J ) 最近的一个函数. 记叼   (   ,   ) =( 叼   (   , %) …. ,  。 (   ,  J ) ) T , ( (   ,   )  


( < 1 ( Xi j ,  J ) … . , < d 。 ( Xi j ,  J ) )  .   令  (   ) :   ( t ) 为 P  的导数 , 下 面列 出推 导估计 量 的渐近 性质 所 需的条件 .  

( 1 ) 随机场 { (  J , X i j ,  J ,  j ) : ( t , J ) ∈z   ) 是严平稳的, ? p ( 礼 1 , 礼 2 ) ≤mi n ( n 1 , 礼 2 ) 且存在常数  >0   使得 (   ) =O( e 一  ) . 对于 z 。中的 ( i , J ) 和(   , J , ) j 随机变量  J 和  , 有联 合密度  , , 且 对所 有  的( i ,   ) , (   , J   ) ∈z 。 和所有 的 札 , "∈( 0 , 1 】 , 有f   j , (   , u ) 一, ( “ . ) , ( u ) f ≤C o , 此处,   为正常数, ,为  关于  的边缘密度, 且 ,在 【 0 , 1 ] 上连续且大于零.  

. 

9 0 1  

唐 庆 国: 空 间半 参 数 变 系 数 部 分线 性 回归 中的 分 位数 估 计 

( 2 ) 对 r= 1 , …, d l , O Z , r . r ( u ) ∈C   +   [ 0 , 1 ] , 这里 C   +   [ 0 , 1 】 表 所有 ( s +1 ) 次连 续可微 函数组成 的函 
数 空 间.  

( 3 ) 存在某个正常数  1 使得 I I I & X i , J   l l  J l l ≤C 1 , ma , x i , J   J   J  - j 『 l ≤C 1 .  ( “ , ) =  (   l  J =  )   的特征值 1 ( , “ ) ≤… ≤  d   ( u ) 在[ 0 , 1 ] 上一致有界且大于零, 即存在正常数 。 和  , 对一切 “∈[ 0 , 1 ] ,   有 o ≤  1 ( Ⅱ ) ≤… ≤  d   ( 乱 ) ≤   .  
( 4 ) P{ E   ≤0   I  t j , Z i j ,  j } =丁 , 此处, g   =   一   (  j ) 一z T    . 存 在 正常数  和  , 使  得 E(  ( I E  ) l   +  I   ,  j ,  j ) ≤C 2 .   ( 5 ) C  ̄ - i j 与  J 一叩   (  j ,  j ) 独立 . 存在 正常数 C O 和  , 使得给 定  J ,  j 和  J 条件 下, C T - i j 的条 

件分布  (  J   J ,  J ,  J ) =夕   (  l 托J ,  J ) 满足对所有 Y ∈[ m C 0 , c 0 】 , 有  (  l   X i j ,  j ) 一  ( 0     l X, i j ,   J ) I ≤c  ̄ l y 1 .   ( 6 ) mi n { m, n )   。 。 且 MN满足 NM; ‘ 。 ‘   +   ) +   ) - ÷ 0 , ( MNl o g Ⅳ) 。 / m_ ÷ 0 , ( MNl o g J 7 v ) 。 / 礼   0 .  
( 7 ) 窗 宽 h满 足存在 某个正 常数  使得 h≤C 4 N  /   , h  / 。 ( 1 o g Ⅳ) 。 / ml ÷ 0 , h  /   ( 1 o g Ⅳ) 。 / n  0 .   ( 8 ) 存 在两个 正整数值 向量序 列 P   ,  = ( P 1 , P 2 ) ∈z  和 q  m= ( q , q ) ∈z  满 足 q   。 。 , q / p l_ } 0 ,   q / p 2   0 , m  1   。 。 , n / p 2   。 。 , 并且 P N=P t P 2=0 ( ( ⅣM  )   /   ) , Ⅳ  ( q )   0 , 此 处,  ( ? )为 ( 3 . 1 ) 中 
所 定义 的函数 .  

( 9 ) 核函数  ( ? ) ≥0 为具有紧支撑 [ 一 M, M] 的有界对称函数.   假设 ( 1 ) 在空间数据中的使用是很普遍 的, 如假设 ( 1 ) 在文献 [ 3 , 6 】 出现过. 假设 ( 3 ) 中有关  和  J的有界性 条件 可 以放 宽为 I n & x i , J   l l  j l l =0   ( 1 ) 和 ma x / , J   l f  J l l =O   ( 1 ) , 类似 的条件 出现在 文 
献 f 1 3 ] 中. 假设 ( 8 ) 用 于推 导估计量 的渐 近正态 性.  

令A   =E { 9 丁 ( 0   I   ,  j ) 【  J 一叼   ( xi j ,  J ) ] 【  J 一叩   (  巧 ,  J ) ] T ) , 并令 

A   =∑ ∑ E { [ Z o o 一 叩   ( X o o , % 0 ) ]  (   o o ) [ z  ̄ j ~ 叩   (  ,  , ) ] T  (  , ) ) .  
: 一。 。J=一。 。  

下面 的定理 1给 出了估 计量 

的渐近 分布 .  

定理 1   假定 假设 ( 1 ) 一 ( 6 ) 和 ( 8 ) 成 立, 并且 A  和 △  有 限且可逆 . 那 么, 当 mi n { m, 礼 卜÷ 。 。 , 有 

、 , /  (  一   ) _ ÷ d   N( 0 , A ; -   △   A  ) .  
这里  为依 分布 收敛.  

( 3 . 2 )  

注 1   如果 { (   ,  , ,  J ,  J ) : (   , J ) ∈z   }独立 同分布 , 则有 

A  =E { [  J 一矿( x i j ,   ) ] [  J 一叼   (  
由B 一 样 条 函数逼近  定理 1的结论仍 然成立 .  

J ) r C( c   。 J ) ) .  
(   ) , r: 1 , …, d   .  

注 2   值得 指 出的是 , 由于 B 一样条 函数 也是逐 段 多项式 函数 , 因此, 如果  令  = r  / ( ( u ) c / u ,   :f Ⅱ   K。 ( u ) d u ,   =0 , l …. , 并令 


( 札 ) =E ( 9   ( 0     I Xi j , %)  J   『  
下面 的定理 2给 出  ( u 。 1的估计量 在 内点 的渐 近分 布 .  

=“ ) .  

定理 2   假 定假 设 ( 1 ) 一 ( 9 )成立 , 并且 Q   ( 仳 ) 在 札 0的某 个邻 域 内连 续且 Q   ( 饥 0 ) 是 正定矩 阵.如 

果u 0 是区间 [ 0 , 1 ] 的内点, 则当 mi n { m, n ) - ÷ 。 。时, 有 

俪(   1 / , 0 ) _ Q  一  Q  )   d Ⅳ ( 。 ,  
9 02  

( u 。   u 。  ( u 。 ) ) ,  ( 3 . 3 )  

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第 9期 

r % t
: 

此处 ,   (   o ) =(  1 (   “ 0 ) …. ,  

(   0 ) ) T .  

下面将研究估计量在 区间 [ 0 , 1 ] 的边界点的渐近性质. 不失一般性, 假定 “ 0 在边界点 0附近, 取 

=e h , 此处, 0≤e<M , 当 h很小时, 钆  在区间 [ 0 , 1 】 的左边界点附近, 令  。 =   。 =   u k K  ( u ) d u ,   =0 , 1 …. , 在 此情 形 下, 我们 有下 面 的定理 3 .  

u k K( u ) d u ,  

定理 3   假定假设 ( 1 ) 一 ( 9 ) 成立, 并且 Q   ( 札 ) 在 0的某个邻域 内连续且 Q   ( 0 ) 是正定矩阵, 则当  mi n { m, 几 )   。 。 时 

(  
定理 1 - 3的证 明放在 第 5节.  

)   d Ⅳ (  

Q  

。 ) )  

成立, 此处, 豇=/ - t o  2 。 一  i 。 ,   =  ;   一  1  3   ,   =  ;   t J 0   一2 # 1 。   2 。   1 。 +  } 。 / 2 。 .  
定 理 3表 明, 边 界 点附近 处局 部线 性估 计 量 的收敛 速度 与 内点处 有相 同的收敛 速度 , 因此 , 边 界  点 附近 处局部 线性 估计 量不 需要边 界 纠偏.  

注3   如果 ( 3 . 1 ) 中的函数 (  ) 满足存 在常 数 C5 >0和 6 >1 , 使得 ( n 1 , n 2 ) ≤C s ( n 1 +n 2 +1 ) 。 ,  

在假设 ( 8 ) 中, 条件 Ⅳ  ( q )   0由条件 ( Ⅳ  / p Ⅳ )   ( g ) _ ÷0取代, 那么, 当m i n ( m, n ) _ ÷∞ 时, 定  理 1 - 3的结论 仍然 成立 .  

4   模 拟 
本节将通过模拟来检验第 2节 中提 出的估计法 的性能. 令 { £   : (   ,   ) ∈z   ) ,   =1 …. , 4为 4   个相 互 独立 的独 立 同分布 t ( 5 )随机 过程 , 这里 £ ( 5 ) 表 自由度 为 5的 t 分 布. { £   : (   , J )∈z   )为独  立同分布的分布为 N( 0 , 0 . 5 )的白噪声过程, 而{ £  : (   , J ) ∈z   ) 为独立同分布的具有共同混合分布  0 . 9 N( 0 , 0 . 5 。 ) +0 . 1 N( 0 , 8 。 ) 的白噪声过程. 令  J =Xi j l O  ̄ l (  J ) +X i j 2 o  ̄ 2 ( Y i j ) +  J l   1 +  J 2   + ̄ ' r i j ,   其中 1 =1 ,  2 :2 ,  1 ( u ) =0 . 8 e   / 。 +0 . 5 e 一 “ / 。 ,  2 ( r “ ) =2 . 5   s i n ( 1 . 2 u 一0 . 4 ) ,   五j 1 =(  ¨ ) j +  Ⅲ) j ) / 2 +s   ’   X  2 =(  ( J _ 1 ) +  ( J + 1 ) ) / 2 +£  
J 1 :(   计1 ) J一   1 ) J ) / 2+£   J 2= ( {  。 + 1 ) 一  。 一 1 ) ) / 2 +£  ,  

( 4 . 1 )  

(   , J )∈z   )由空 间 自回归 过程  J=s i n ( U ( i 一 1  +  (   一 1 ) +   计1 ) J +  ( 升1 ) ) + £   产生. 误差 

t J —F  ( 丁 ) , 这里 F表 £ 巧的分布函数. 在这里, 将£   减去 F 一   ( 丁 ) 以便使 E   的7 _ 分位数 
点为 0 .  

来 自以上 模 型 的模拟 数 据在 一个 有 m ×n 个 地址 的长 方 形 区域 内产 生, 具 体地 说, 在 格 点 区域 

( (   , J ) : 7 6 ≤i ≤7 5 + m, T 6 ≤J≤7 5 + n } 中产生. 本文取 m= = 1 0 , n=2 0 . 每个样本按文献 [ 6 】 中提供的   方 法迭 代产生 , 3 0 0个 空 间样 本数 据独 立地被 产生 . 对每个 样本 数据 , 我们 计算 了  ,  =1 , 2和  (   ) ,   r= 1 , 2的分 位数 估计量 , 计 算  , k= 1 , 2的分 位数 估计量 时 , 我们 使用 逐段 二次 多项式逼 近, MN 由 
下面定 义 的 B I C( B a y e s i a n   i n f o r ma t i o n   c r i t e r i o n ) 准 则来 选取 , 令 

B I c ( M Ⅳ ) = l O g { 、   i ( Y i j - X i j l  ̄ l (   J ) 一 五 j 。 a z (   j ) 一   j  一   J z   ) } + l o Ⅳ g N " 、 M Ⅳ + 1 ) .  
=1  i = 1   ,   一  

唐庆国: 空 间半 参 数 变 系 数部 分 线 性 回归 中 的分 位 数 估 计 

B I C 越大 显示估 计越 差, MN被 选择 为 B I C ( MN)的极 小值 点. 计 算  ( “ _ ) , r= 1 , 2的估计量 时 , 我 们  使用 E p a n e c h n i k o v核 函数 , 窗宽 h由去一 “ 交叉 核实”方法选 取 . 作 为 比较 , 我们 还计 算 了它 们 的最  小平 方估计量 f L S ) .  
- ̄ 0 准 则, 分别是 估计量  ,   =1 , 2的绝对偏 差 ( A B ) 、 标准 差 ( s D) 和下面 定义 的估 计量 a   (   ) ,  
- _

r=1 , 2的加权 均方误 差 WAS E  来 评价估 计量 的性 能,  
. 

m 一『 0. 0 2 5 a n]r r  

,  

、  

,  

、  。  

W ASE  = 
z  _ U ? O 2 5 mnJ  

,  

此 处, u ( 1 ) ≤乱 ( 2 ) ≤… ≤   u (  ) 是 { U i j: 7 6≤i ≤7 5+m, 7 6≤J≤7 5+n }的一 个排 列, 而 r a n g e (  ̄   . )  
表 函数  ( u )的值 的范 围. 由于 边界处 的数据 稀少 , 边界 附近 点的估计 较差, 因此, 我们 并未将 这 些点  放入 WAS E  中. 表 1列 出了 3 0 0次模拟 得到 的结果 , 从表 1中可 以看到 , 在各 个分位 数 点得 到 的估  计表 现得 都较 好, 而 中位 数得到 的估计 是所 有 中最好 的.表 1还 显示 , 中位 数估计 比最 小平方 估计 要 

稳健 , 由于 ( 4 . 1 )中的误差 £   为 混合分 布, 其 中 N( 0 , 8 。 ) 可看 作外 来分布 , 大约 1 0 % 的外来 数据影 响 
了最 小平方 估计 的精度 , 但对 中位数估 计 的影 响却 不大.  

表2 报 告 了 My取不 同值时 的模拟 结果, 而 表 3报 告了逐段多项式 取不 同阶时的模拟结 果. 从表 2  
和 3看 到,   和 z的估计 量对 MN 的变化 以及 阶的变化 并不 是很敏 感. 这些 表 明, 上 面的 B I C准 则 

通 常能给 出令 人满意 的结果 . 此外 , 我 们还做 了取 不 同核 函数诸 如 G a u s s核 函数 和均 匀核 函数时 的模  拟, 模 拟结果 显示取 不 同核 函数对估 计量 的影 响并 不大, 为减少 篇幅 , 这方 面 的结果在此 并没有给 出  
表 1  3 0 0 次模 拟 得 到 的 有 关 AB, S D 和 W AS E   的模 拟 结 果 

表 2 估 计 量  ,  =1 , 2 的 AB ( S D)随 子 区 间 个 数 M N 变 化 情 况 分 析 

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表 3 估计量  , 免: 1 , 2 , 3的 AB ( s D)随逐段多项式阶的变化情况 

5 定理的证 明 
本节 中, 令 C 表 某个 并不 依赖 于 m 和 礼但 在不 同地 方 可取不 l 司值 的正常 数? 令 

6 。  :

( , 。   (   ) , . . . ,   壹 竺  , . . . ,  ( £ M   ) , … ,  
, . . . , 叩   ( t  ) , . . . ,  

)   ,  
、 )  

。   : : f 卵   ( t   ) , … ,  


以及 6 0:( 6 T 1 , . . . , 6 T d   ) T , 0   =(   - % T 1 , . . . , 合  ) T , 0= (   1 , …, 0 d 。 ) .记  ( 五J ,  J ) T=B   G ,  j  


N一 1 /   [  J 一 叩   ( 置J ,  J ) ] ,  1 =N   /   (  一  ) ,   =( Nh o ) 一   /   鼠J ,  2 =( Nh o )  【 ( 舀 一 b o ) + G( / 3 一  ) ] ,   (  , 9   ) T ,  j :(   , 亩   ) T , e i j =   a   (  j ) 一B   b o +   ( x   , %) 一面 ( 墨j , %) 1 T (  一   ) - 我1 『 ]  

转而考 虑下面 的最优 化 问题:  


∑ ∑  % J + e   一   )  r (  j + %) ] .  
t = 1   J= 1  

显然 ,   :』 v   / 。 (   一   ) . 令 s Ⅳ(   ) 表 上面 的 目标 函数 , 并令 

r N (   ) = ∑∑E (   %j + e t J 一 四  ) 一 p   ( %j + e   ) 】 I   ,  , %) ,  
=1   j =l  
竹  n 

R N (   ) = S N ( O ) 一 r Ⅳ (   ) + ∑ ∑ 
则有 

(  ) ,  

( 5 . 1 )  

在 证 明定理 前, 先给 出几个 引理 

唐庆 国 : 空 间 半 参数 变 系 数 部 分 线 性 回 归 中 的分 位 数 估 计 

引理 4   令(  J : ( i , 歹 ) ∈ z 2 ) 为零均值实值随机域, 满足 s u p 1 ≤ t ≤  1 ≤ j ≤   l R i i f ≤V o <。 。 , 此处, V o   为某 个正 常数 . 那么, 对 任意满 足 1 ∈[ 1 , m/ 2 ] ,   ∈[ 1 , 礼 / 2 ] 的整数对  = (   1 ,  ) 和 任意 的  >0 , 有 


(  

> Ⅳ £ ) ≤ 4   2   e x p ( 一 嵩) + 警 咖   >  

这里 q  =q ~ l q ~ 2 , P 一 =(   1 ,   2 ) ,  1 =m / ( 2 0 1 ) ,  2:n / ( 2  ̄ 2 ) , V 2 (   ) =8 a   ( O ) / p   。 +V o e , 其中 P  :  l   2  

( 百 ) =m i n i , J   E ( E(   , J ) ∈ A  R i j )   , A O=n   : 1 【 (  +2 j k ) / 3 k , ( i k +2 - j % +1 ) / 3 k ] . 0 - 2 ( 牙 ) 定义中的极小化指  的是在所 有二 元指标对 i =( i l , i 2 ) 和 J= ( J 1 , J 2 )中取 极小值 , 其中 i  =0 , 1 , J  =0 , 1 , …,   一1 .  
证明  引理 4的证 明参 见文献 f 9 1   口  

引理 5   在 定理 1的假 设下 , 对 充分 大的  s u p  ≤ L   L M;   RⅣ (   。 o ) 1 =o p ( 1 ) 成立.   证明  令  (   ) =  r ( £   i j q - e i j — v  ̄ T e ) ~ P , (   , 巧 + e 巧 ) +   , ( £ ,  ) , R  (   ) =正J (   ) 一  (   (   ) J   X幻  

J ,   ) , 则有 n N ( o ) =∑ 1  n : l   R   (   ) . 依据 凸函数  ( ? ) 的性质, 有 

p   ( £   +e i j 一   ) 一p   ( £   +e   ) +叼  ( g  +e 巧 )   ≤I   孑   1 ? l  ( E   。 J +e 巧一 1 / 孑   ) 一  ( £   +e   )  
从 而 

J (   ) I ≤i v , T   1 ( }  ( £   巧+e 巧一V  ) 一   (   十 ̄ i j ) l +l  ( E   +e i i ) 一砂   ( £  ) 1 )  

≤l   孑 e l ( I ,   ( E  + e  一 V  ) 一  (  J ) l + 2 I 矽   (  巧 + e   ) 一  ( £  ) 1 )  
进 而, 对满 足 『 I O I f ≤L 的 ,  
m &

x  

) l =c   。  

( f  

l 十  

≤   C L MN  

≤ 

( 5 . 2 )  

,  

成立 .由假 设 ( 1 ) , 有 

(   ) = ∑ E R   i j ( M  ̄ “   ) + ∑ 
( i , j )  ̄ Ao o  

∑  E R   (  

)   (  

)  

( 5 . 3 )  

( i , j ) ∈ A o o( i   , J   ) ≠(   , j ) 6 Ao o  

这里 A o o :( 0 ,  1 ] ×( 0 ,   2 ] . 利用假设 ( 1 ) 和 ( 5 ) , 可得 

∑ E R   (  。   ) ≤   ∑ C M N E ( ( V  ̄ T @ ) 。 {   ( [ 矽   (  十 e i j —   。 v i l e )  
( i , j )  ̄A o o   ( i , j )  ̄ A o o  

砂 , (  巧 ) J  J   J ,  J , U i a . ) +E( [ 砂   (   , 巧+e l j ) 一砂   ( s  ) J  f   ,   ,  J ) ) )  

≤∑ C M R E ( ( V { T e ) z (  。 f   J % 1 ) ) : 。 (  
( i , J ) E Ao o   、  

令c . v  = [ n z


a / ‘   +  


k  

1 , 2 , 而 n>2 ( 4 +   ) / ( 2 +  ) 是正常数. 我们将集合 { (   , J ) ≠(   , J   ) ∈A o 0 )  

划分 成如 下两部 分 

. s 1 ={ (   , J ) ≠( i   , J   ) ∈A o o : 1 i —i   1 ≤C N 1 , f J —J   1 ≤C N e }  
J s 2={  J ) ≠( i   , J   ) ∈A 0 0: f i —i   1 >C N1 或 1 J—J   I >C N 2 }  
9 06  

中国科学 : 数学

第4 3卷

第 9期 

由 ( 5 . 4 ) , 可得 

( i ∑ ∑   (  。 憾 


j ) e Sl( i   , J   ) 6 S I  

(  
、  

)  
∑ 
S 

( 5 . 5 )  

利用文献 [ 6 , 引理 5 . 1 】 和假设 ( 1 ) , ( 3 ) , ( 5 ) , 可推导出  

∑  ∑ l E R   ( A  。   ) R   , (   。   )  
( i , j ) 6 S 2( i   , 』   ) ∈s   ( t , j ) 6S 2( i   , J   ) 6 S2  

∑ 

≤ ∑  ∑ C ( E ( I R   (   o )   1 +   ) ) 。 / ( 2  (  ( t   , J   ) 一 (   ,  ) )   / ( 2 +   )  

≤ ∑  ∑ c ( E (  (  。 o ) 1 。 +   ) ) 。 / ( 2  (  ( t   , J   ) 一 (   , 洲)   / ( 2 +   )  
( i , , ) 6S 2   (  , ,   ) 6 S2  

≤ C M N∑  ∑ ( E  x 1 叼   T   Ⅳ 1 / 。 o l + I e i j I ) 1 I 叼  。   。   ’  
(   , J ) 6 S 2(  , J   ) 6 S 2  

×(   ( 『 I (  , J   ) 一(   , J ) c 1 ) )   / ( 。 +   )  

≤  垛 Ⅳ 一 ( 3 +   ) / ( 2 +   ’ I [ o l l 2 + 2 / ( 2 +   )  

(   , J   ) 一(   , J ) _ 『 ) )   / ( 2 + 8 )  

类似文献 [ 6 , 引理 5 . 2 ] 的证明, 并注意到 ( £ ) :o ( e 一  ) 和c   =[ ^   +   ) 。 ] , 可推导出  

∑ 
( i , j ) 6S 2   2  

(   , J   ) ~(   ,   ) )   / ( 2 +   )  
l   l

≤ C p   ∑ ∑£ (   ( £ ) )  。 删≤ c p   x p  
七= 1   t = cN k  

( 二   1 [   2 +   ‘ 。 +   ) 。 】  

\ 、● 、 \  

这 里 0<  l<口为 某个 常数 . 从而 

∑ 
( i , j ) ∈ s 2  

衄   (  。 慨 
,  ̄-

= 。 ( \    ̄ A - 2 +   2 5 / ( 2 + 5 ) a . )  

( 5 . 6 )  

结合 ( 5 . 3 ) 一 ( 5 . 6 ) , 可得 

2 + 2   5 / ( 2 + 5 ) a , )  

( 5 . 7 )  

记 e={  =( 0 1 …. ,   ) : I I o l I ≤  ) , 并记 1 0 I =ma X 1 ≤ t ≤ K . Ⅳ   I , 此处, KN=d 2 +d l MN ( 8 +1 ) . 将O   划 分成  个 互不相 交 的 区域 O1 …. , eL ,  , 使 得对 任 意 7 r %∈ek , 1≤   ≤J N 和任 意小 的 £>0 , 满 足 
s u p   I RⅣ(  
060 

) 一R Ⅳ( ^   丌   ) 1   ≤C MN N   / 。 s u p   1 0 —7 1 " k f <昙  
0 6O k  

在上 面 的第一 个不 等式 中, 我们 利用 了如 下 的推导 

(  

) 一   (  

(  下 I ( £ r 巧+e i j —I /   - 。 T J …  ̄ / f Ⅳ l / 2   ) 一  下 ( s 下  +e  一v 巧   T … 7 i / / Ⅳ 1 / 2 7 r   ) l   丌   ) l ≤  

+ 1   . r ( £ f   + e 臼 一   孑 A  2 7 r   ) 一   . r ( £ r 巧 ) I ) . . v   T …  ̄ / f Ⅳ l / 2 (   一 7 r 南 )  
9 0 7  

唐庆国: 空 间半 参 数变 系 数 部 分 线 性 回 归 中 的分 位 数 估 计 
E 

这可 以通过取  ≤( ( 4 C MN N  / 。 L ) / E ) K   使上述不等式成立.取 C N 1 =( MⅣ l 。 g   N) 3 / m 并取 J Ⅳ 2   ( MN   l o g N)   / 礼 , 由假设 ( 6 ) , 有£ Ⅳ 1   0 ,  Ⅳ 2   0 . 取  m ∑ 



T 2 

  甄:[ ( m  P l o g N)   / 。 / E 1 Ⅳ /   4 1  
, ●●, 、 L  

=[ ( n MN   l o g N)   / 。 / E 1 Ⅳ / 2 4 1 J
,   ,

∑ 

m ∑  则有 1 =O( MNI 。 g N/ £  ) ,  2=O( MN] 。 g N/ £  ) . 从而 , 利用 引理 4 ( 5 . 2 ) 和 ( 5 . 7 ) , 可得 

P { … l I s O u _ l ≤ p   L     R l Ⅳ (  。   ) J > £ 、 }  
JN 

∑ 

≤ ∑ 
=1  

} >  )  
/ J   ’ 4 { L   2 e x p 《 、   \  i 6 ( i 6 N 。   。 ( O ) / E   q   p   。 +  
【   ,  

≤  4 C M  NN 1 / 2 L  \KN  

+ ’』   

Ⅳ 

(   (  
“ “ “  

’  

)  

≤8

+ e x p

{ e x p ( 2 s d   Ⅳ [ 1 一   ( 2 s d   Ⅳ [   一  

面  丽 ] ) )  

] )  
口  


=0 ( 1 ) .  

此处 , V o=CL ]  ̄ I N/ N  /   , 这 就完 成 了引理 5的证 明.   引理 6   在 假设 ( 1 ) 和 ( 3 ) 下, 如果 My_ ÷o 。且 M  / Ⅳ  0 , 那么 , 存 在正常 数 0] 和 

使 得 

除一概率趋于零的事件外, 矩阵 ∑  ∑  宫   亩  的所有特征值落在  与   之间
证明  令 
N =


. 

:X i j r  J r , ( (  J 一  ) / h o )   ) (   (  J ) 一E( X i j r X i j r ' ( (  J 一  ) / h 0 )   ) (   (   ) ) , 并令 
} , 在 引理 6的条件 下, 类 似 文献 『 1 7 , 引理 3 ] 的证 明, 有 

N   ma x 1   v≤ d   , 1 ≤   ≤ M  , o ≤   ≤ 2   I   O   ( 1 ) . 利 用假设 ( 1 ) 和 ( 3 )  可得 



印z ) = ‰1   (  T   U i j =  ̄ t  
/ 0  ( ㈤ _ u )   d 乱   T /  
这里 0   :(  

M Ⅳ  
r  


1 d u ’  

此处, Q (   ) =( Q   ( “ , ) …. , Q d 。 ( Ⅱ ) ) T , Q   ( “ , ) =∑  ) (   (   ) ∑  O r u k ( ( u—t  ̄ ) / h 0 )   . 由于  :o  

使得矩阵 

…,   。 ) T , A : ( 1 , ( u —t   ) / h   … ( ( 甜 一t   ) / h 0 ) s ) T . 类似 文献 的证 明 存在 正常数 0   / ( 2   0 ) 的最小特征值大于  o . 注意到 2 h o =l /   , 可推导出   ≥  0   0 I i o 2 l   l E (  ∑∑雪   。 )  
、   i =1   j =1   /  

引理 6余下部分的证明类似文献 [ 1 7 , 引理 3 ] 的证明, 余下部分的证明省略 

口 

引 理7  假定假设( 1 ) 一 ( 6 ) 成立, 则 有 悯{ :O p (   。 ) .  
证明  依据假设 ( 2 ) 和( 3 ) 得m & x 1 ≤   ≤ m1  ≤   ( 1 e 妇l +l  


l =。 ( 1 ) . 从而 , 依据假 设 ( 5 ) 得 



i / 。  

∑ m  / . %   咖 
i = 1   :1   e   ,  

] X i j , Z i j , U i j ) d t  

90 8  

中国科学 : 数学

第 4 3卷

第 9期 

≥ 
i =1   j   =l  

J   , %) f (  
】 ) +】 ] + 。


。 +(   6 } 2 ) 。 +2  

6 『 2 J  
( 5 8 )  


一  1 Ⅳ 

( 1 ) ,  

一 , 西为某 个正常 数? 由 于  
.  



2 … 0 r zJ 玎   2 =Ⅳ   一 矿 (  j ,  J   2 ) J B  ̄ T o ,  
T T
. 一

  I   ,   ) 矿( X i j     J, :   数 l  巧 , u r r i   )     数  上 的投影 J




E( Z i j   J   )而 叩   (  , 札 )为 


{ 【 i 且 B   因 而 , E g ( O   X i % ) [  _ 矿 ( 磊,   J ) : 1 ≤i ≤m, 1≤J≤ n ) , 并令 



j一叩   (  j ,  J ) :   j   :  ,   "  到变 

:  

。  

{ ( t , J ) ≠(  , J   ) ∈QⅣ :  
 



(   , J ) ≠( i t , J   ) ∈QⅣ:  
.Z   .Z  

类似 ( 5 . 7 )的证 明, 可得 

  一

  一

∑∑g ( o   I   X i j ,  )   ≤   > 
/ =1   j =l  

6 } 。 :  ( 1 )  

( 5 . 9 )  

因而 , 由假 设 ( 6 )和 引理 6 , 可得 

1 i 

1 

r  ̄ ( M 1 / 。   ) ≥   2 I l o l l 2 十  ( 1 )   一  
这 里 2为 某个 正常 数? 令 Ⅱ  =   ( £  )  T

  一

或 

( 5 . 1 0 )  

J  J , 并令Ⅱ  ,   , =  ( £  ) 砂   (   , J , ) 叼 ,   显然有  > 

E   [   i = 1   j  c   r   ,   ] T [ 薹 喜   c   ,   ] )  


l  



∑ ∑矾   i   E Y I   + ∑  ∑ E H .   =1   j =l   (   ,   ) ∈ s  (  , J   ) ∈   ( i
,   …  


J ) ∈  (   , , 歹  

由假 设 ( 4 ) , 可得 

朗  = ∑∑E (   (  ( £   巧 ) J   ,   一 …  ) ≤  
T l,   1   … z -1  x   ~ - 1    

( 5 . 1 2 )   > L  ) , 类 似文 

竺 献   L [ 1 N 7 三  1‘   记   =   定理 1 的证 明, 有 




( E r 巧 )  {  (  

( U) esr( i   , J   ) ∈ s  

∑  ∑ f 蜘  f ≤ C M N ( L S / 2 + 碍  ) 。 Ⅳ 1 c Ⅳ 2  O ( MN)  

( 5 。 l 3 )  

类似 ( 5 . 6 )的证 明, 可得 

I E I I i j i , j , f ≤  M N 1 + 5 / ( 2 + 5 )∑ 
(   , J ) ∈   (  , J , ) ∈  
一   。 。

( i
,  

;  

结合 ( 5 ? 1 1 ) 一 ( 5 . 1 4 ) , 得到  f f ∑ 1 ∑ 
M  / 2 E  

( E   巧 )   f 『 :。 (  
≤c  




随之而 来, 有  ( 5 . 1 5 )  

/   I l O l l E  

唐庆 国: 空间半参数变系数部分线性 回归中的分位数估计 

结合 ( 5 . 1 ) , ( 5 . 1 0 ) , ( 5 . 1 5 ) 和引理5 , 对充分大的L , 可得P ( i n f l l p l 1 = L   S N ( M ̄ /   臼 ) >o ) _ ÷ 1 , 依据  
的凸性 , 这 意味着 


(   i n L f M   。   i = 1   j = l   % j + e   一 眩  i = 1   j = l   + e   ) _ ÷ 1 ?  
u  


从而, 有  { :O v ( M  ) . 这就 完成 了引理 7的证 明.   定理   1   的证明 ” 令叩 A   ∑ 1 ∑ 1   ( £ 州) 磊j , 类似文献 { 1 7 , 引理 6 1 的证明   有 

从而, 为证明定理 1 , 只需证 明对任意 , 成立 P { l l o 1 一圳 <e )   1 . 记  (   1 ,   2 )   m ∑瑚   E>0
一  

( E   +e z ,  



研  。 ) 一 p   (  J + e   9 2 )   ( .  0 ) =∑  ∑   ∑砺 芦   m ∑  n   ∑  F N( 0 1 , 9 2 )  
r 

z ) , 并 记  

~ Z 
一 叼 

~ S  

依据假 设 ( 1 ) 和 ( 5 ) , 可得 

d 

Ⅳ c   ,   。   :   9 c 。  , , 己   [   c   一  e 巧 +   T ,   。 ]   1 + 。   c 1   ?  
△   下 

Ⅳ 

类似引理 7的证明, 有 ∑ 1 ∑  9 ( 0     j l ,  j ) (   1 ) 。 =   A 丁   1 +。   ( 1 ) . 类似 ( 5 ? 9 )的证明, 得到  

∑  1 ∑  1   g ( o   I   X i j ,  j ) 锡  1 e t j : 。 p ( 1 ) 。 因 而 , 由( 5 ? 9 ) , 可 得  
Ⅳ (   1 ,   2 ) :qh 0 1 +D p ( 1 ) .  
定理 1 其余部分的证明类似文献 【 1 8 , 定理 1 ] 的证明, 在此省略其启的证明?  
定理 2的证 明  在 假设 ( 2 )下, 依据 T a y l o r 展开 式, 有  ( u /   ) :a  ( u o ) +   ( , “ 。 ) ( % 一札 。 ) +互 1   ) ( % 一“ 。 ) 。
,  

( 5 ? 1 6 )  
L j  

此 处 ,\   —u o I≤ M h ,   j  一u o l< l  j —   u 0   令 n o   ( n 1 o , …, n d l 0 )  ,  

( Ⅱ ¨   …  1 1 )  

竺 一     0 ) ) T  f c X 笔     , 秽 = ; ( N   … h , )   /   2 ( ( 。 0 一 & , r ( u 0 ) ) r , 赢 ^ ( 。   1 一   丁 , (   “ 0 ) )   )   ,   毫 j _ =   N  么   j ,   芏  K r   o n   e c   k e r
积. 我们转 而研 究下面 新的最 优化 问题:  


A r g m i n  ∑ n  

+ 


e   一 J [ )   一   ㈦  



e   ~   ]   (   ) ?  
( “ 。 ) , 并记  
%  

显然, 有   :( N h )   /   ( C a 。 一  (   。 ) ) T , h ( a 1 一  ; (   。 ) ) T ) T . 令   ={ Ⅳ  h S / %  ̄  
t 2 - 1   ) )  
i :1   j =l  

(   ) ,  
∑ ( “ 0 ) ) ,  

这里 K :( / A O 1 / A 2 , 0 ) T , P:d i a g (   。  2 ) . 在定理 2的假设下, 类似文献 [ 6 , 引理3 ? 1 ] 的证 明, 可推导出  

妻  %  
91 0  

(   )   a   N ( O  

中国科学 : 数学

第 4 3卷

第 9期 

这里 P=d i a g ( t , o ,  ) . 从而, 为完成定理 2的证明, 只需证 明对任意 e >0 , 成立 P { I I  ̄ 一   <e } - + 1 . 记 

(   ,   ) =  ( % J + e   一 D  一  1 ) 一 J D   ( % J + e   一   ) ]   (  
充 分大 的 L>0 , L  >0 , 成立 

) ,  
( 5 . 1 7 )  

并记 J s   (   , o 1 ) =∑ 1 ∑ 1 %(   , o 1 ) . 由定理 1 , 有  1 =  . ( 1 ) , 利用凸函数 P , 的性质, 只需证明对  

P (  一 嘛 i n I f f   1 (  (   ,   1 ) 一  (   ,   1 ) ) > 0 } n { 1 1 0 1 1 ≤  ) )  1 ?  
记r   ( 秽 , e 1 ) =∑ 1 ∑  1   E ( %(   , e 1 ) f  J ,  J ,  J ) , 并记 

R   (   ,   1 ) =  (   ,   1 ) 一 r   (   ,   1 ) + ∑∑   (  ) D T  ̄ K (  
由假 设 ( 3 ) , ( 5 ) 和 ( 7 ) , 可得 

) .  

蚺   =   砉  
=  

驯e  ̄ - i j + t )  …   (  )  
)  T   印 T   ]   (   )  1 ) .  
(   ) = f ( u o ) l f T ( P   . “ 0 ) )   ( 1 ) ,  
) =O( h   /   ) =D ( 1 ) , 从而,  

类似文献 [ 6 , 引理 2 . 1 ] 的证明, 可得 

g ( 0  

∑ ∑g ( o   I   X i y … U, x * … D T    ̄ =   ( Ⅳ   )   / 。 h   0 )   T   (  (   0 ) 口   (   o ) ) ] + D p ( 1 ) ,  
此处, 忍 =(   2 , 0 ) T . 由于 ∑ 1 ∑  1   El g ( 0     I Xi j ,  J ) D T -     T  1  ( I  

(   , e 1 ) = 专 , ( 札 0 ) 秽 T ( P  Q   ( “ , 0 ) ) 秽 一 f ( u o ) O T ( P (   Q 7 . (   0 ) )   +  ( 移 ,   1 ) + 0   ( 1 ) .  
利用关系式 T ( P  Q   (   0 ) )  :   T ( P。Q   (   0 ) )  +  T ( 尸0Q   (   0 ) )  一( 秽 一 O ) T ( P ̄a   (   o ) ) (  一  ) ] 并 注 意到  ~   :e , 可推 导 出 
. 

晴(   , 0 1 ) 一  (   , e 1 ) ≥吉 , (   0 ) m i n ( # o ,   2 )  i   (   0 ) ∈   一 2  


l l 口 1   l _ ≤L , I I 毋l I ≤L   +  

s u p  

I n  ̄ ( o , 0 1 ) f + O p ( 1 ) ,  
,  

这里 m i   ( u o ) 为 Q, ( u o ) 的最小特 征值 . 在 定理 2的假设 下, 类 似 引理 5的证 明并取 C N k :f h - a / (  ̄ + a ) n 1


1 , 2 , g N 1   h - 1 / 2 ( 1 o g   N) 。 / m,  ̄ N 2=  一   / 。 ( 1 o g   N) 。 / 礼 , q l= [   一   /   ( m   l o g   N)   / / 。 1 Ⅳ / 4 l   , 以及  J [ h - l / 4 ( n l o g N)   / /  ̄ N 2   J , 可得 s u P [ 1  1 I ≤ L ≤ L   +   I R N * ( O ,   1 ) f =o p ( 1 ) . 因而 ( 5 . 1 7 ) 成立. 这就完成了  

,  

定理 2的证 明.  

口  

定 理 3的证 明  令 

七  一 ㈦,  
并令  =  Ⅳ  h   。 P g  e 。O / I ( 0 ) ,  =秽   +南 (    ( : 0 ) ) ∑   1 ∑  1   D i j  ̄   (  )  (   ) .  
9 1 l  

唐 庆 国: 空 间半 参 数 变 系 数 部分 线性 回 归 中的 分 位 数估 计 

参考 文献 
1   Ri p l e y   B.S pa t i a l   St a t i s t i c s .Ne w  Yor k:W i l e y,1 9 8 1  

2   Cr e s s i e   N  A  C.S t a t i s t i e s   f o r   Spa t i a l   Da ta .Ne w  Yor k:W i l e y.1 9 9 1  
3   n a n   L  T .Ke r ne l   d e ns i t y   e s t i ma t i o n   o n   r a nd om  ie f l d.J   Mu l t i v a r i a t e   An a 1 .1 9 9 0,3 4:37 _ 5 3   4   Hal l i n   M ,Lu   Z,Tr a n   L  T .De n s i t y   e s t i ma t i o n   or f   s p a t i a l   l i ne a r   p r o c e s s e s .Be r no ul l i ,2 00 1 ,7:65 7 - 6 6 8   5   Hal l i n  M ,Lu  Z,Tr a n   L  T .De n s i t y   e s t i ma t i on   or f   s p a t i a l   pr o c e s s e s :t he   L1   t he or y .J  M ul t i v a r i a t e   Ana l ,2 00 4,8 8:  
61 -7 5  

6   Hal l i n   M ,Lu   Z,Tr a n   L  T .Lo c a l   l i n e ar   s pa t i al   r e g r e s s i o n.Ann   S t a t i s t ,2 0 0 4,3 2:24 6 9 —2 5 0 0  
7   Hal l i n  M ,Lu   Z,Yu   K. Loc a l   l i n e a r   s pa t i al   q ua n t i l e   r e g r e s s i o n.Be r no ul l i ,2 0 0 9,1 5:65 9 - - 6 8 6  

8   Ga o   J , Lu   Z, Tj  ̄ s t h e i m  D. E s t i ma t i o n   i n   s e mi p a r a me t r i c   s p a t i a l   r e g r e s s i o n .An n   S t a t i s t , 2 0 0 6 , 3 4 :1 3 9 5  1 4 3 5  
9   Le e   Y  K ,Cho i   H,Pa r k   B  U,e t   a1 . Lo c a 1   l i ke l i ho o d  de n s i t y   e s t i ma t i o n  O i l   r an do m  ie f l d s .S t a t i s t   Pr o ba b   Le t t ,2 0 0 4,  
6 8:3 4   35 7   1 0   Li n   Z, Li   D,Ga o   J. Loc a l   l i n e ar   M— e s t i ma t i o n  i n   n on pa r am e t r i c   s p a t i al   r e g r e s s i on.J   Ti me   Se t   An al ,2 0 0 9, 3 0:28 6  31 4   1   1   Zha ng   W ,Le e   S,S on g   X .Lo c al   po l yn om i a l   it f t i ng   i n   s e mi v ar y i n g   c oe ic f i e n t   mo de 1 .J   Mu l t i v a r i a t e   An al ,2 0 0 2  8 2:  
l 6 6  1 8 8  

1 2   Fa n   J ,H u a ng   T .Pr o il f e   l i ke l i h oo d  i nf e r e nc e s   o n   s e mi pa r am e t r i c   v a r yi ng c o e ic f i e n t   pa r t i al l y   l i ne a r   mo de l s   Be r no ul l i   2 00 5 .1 1 :1 0 31 —1 0 57  

1 3  Wa n g   H,Z h u   Z ,Z h o u   J . Qu a n t i l e   r e g r e s s i o n   i n   p a r t i a l l y   l i n e a r   v a r i n g   c o e ic f i e n t   mo d e l s . An n   S t a t i s t ,2 0 0 9 ,3 7 :  
3 84 1 - 3 8 66   1 4   Kai  B,Li   R ,Z ou   H .Ne w  e ic f i e n t   e s t i ma t i on   a nd   v a r i a bl e   s e l e c t i on   me t ho ds   f o r   s e mi p a r a me t r i c   va r yi n g - c oe ic f i e nt  

pa r t i a l l y   l i n e a r   m od e l s .Ann   St a t i s t ,2 0 11 ,3 9 :3 05 —3 3 2  
1 5   Koe n k e r   R,Ba s s e t   G .Re g r e s s i o n   q ua nt i l e s .Ec o no me t r i c a ,1 97 8 ,4 6:3 3 —5 O  

1 6   Ko e n k e r   R. Qu a n t i l e   Re g r e s s i o n. Ca mb r i d g e : Ca mb r i d g e   Un i v e r s i t y   P r e s s , 2 0 0 5  

1 7   Ta n g   Q, Ch e n g   L. B— s p l i n e   e s t i ma t i o n   or f   v a r y i n g   c o e ic f i e n t   r e g r e s s i o n   wi t h   s p a t i a l   d a t a .S c i   Ch i n a   S e r   A, 2 0 0 9 , 5 2 :  
2 32 1 - 2 3 40  

1 8   Ta n g   Q  L1 一 e s t i ma t i o n   i n   a   s e mi p a r a me t r i c   mo d e l   wi t h   l o n g i t u d i n a l   d a t a . J   S t a t i s t   Pl a n n   I n f e r e n c e , 2 0 1 0 , 1 4 0 :3 9 3 — 4 0 5  

Qu a n t i l e   e s t i ma t i o n   f o r   s p a t i a l   s e mi p a r a me t r i c   v a r y i n g   c o e ic f i e n t  
pa r t   i a l l y   l i ne a r   r e g r e s s i o n  
T ANG   Qi n g Gu o  
A bs t r a c t   Th i s   p a p e r   c o n s i d e r s   a   v a r y i n g   c o e ic f i e n t   pa r t i a l l y   l i n e a r   r e g r e s s i o n   wi t h   s pa t i a l   d a t a .Th e   p a r a me t —  
r i c   e s t i ma t o r s   o f   t h e   mo de l   a r e   o b t a i n e d   t h r o u g h   pi e c e wi s e   l o c a l   po l y n o mi a l   a p p r o x i ma t i o n   o f   t h e   n o n p a r a me t r i c   c o e mc i e n t   f u n c t i o n s .Th e   l o c a 1   e s t i ma t o r s   o f   u n k n o wn   c o e mc i e n t   f u n c t i o n s   a r e   o b t a i n e d   b y   r e p l a c i n g   t h e   p a r mn —   e t e r s   i n   mo d e l   wi t h   t h e i r   e s t i ma t o r s   a n d   u s i n g   l o c a l   l i n e a r   a p p r o x i ma t i o n s . The   a s y mp t o t i c   d i s t r i bu t i o n   o f   t h e   e s t i ma t o r   o f   t h e   u n k n o wn   p a r a me t e r   v e c t o r   i S   e s t a b l i s h e d .Th e   a s y mp t o t i c   d i s t r i b u t i o n s   o f   t h e   e s t i ma t o r s   o f   t h e  

u n k n o wn   c o e ic f i e n t   f u n c t i o n s   a t   bo t h   i n t e r i o r   a n d   bo u n da r y   po i n t s   a r e   a l s o   d e r i v e d .Fi n i t e   s a mp l e   p r o p e r t i e s   o f  
o u r   p r o c e d u r e s   a r e   s t u d i e d   t h r o u g h   Mo n t e   Ca r l o   s i mu l a t i o n s .  
Ke yw or ds   s pat i al   dat a,var yi ng   c oef ic f i e nt   par t i al l y  l i nea r   r e gr es s i on,quan t i l e,as ym pt ot i c   di s t ri but i on 

MS C( 2 0 1 0 )   6 2 G0 5 , 6 2 G0 8  
doi : 10. 1 360/01 201 3 — 169  

912  


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