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(人教版)数学必修五:2.5《等比数列的前n项和》_图文

第二章
2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和

第1课时

1.如何用数学语言表述等比数列的定义?若__________,
则称数列{an}为等比数列. 2.等比数列的通项公式是:______________.

3.等差数列{an}的前n项和公式是:______________. an+1 [ 答案] 1. a =q,其中 n∈N*,q 是非零常数 n
2.an=a1· q
n-1

n?a1+an? 1 (n∈N ) 3.Sn= =na1+2n(n-1)d 2
*

1.等比数列前 n 项和公式 已知数列{an}是等比数列,首项为 a1,q 为公比,则其前 n 项和公式为 ?na1,q=1, ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ? 公式的推导:教材上的推导方法叫错位相减法,我们在这 里介绍另一种方法.

a2 a3 an 由等比数列的定义,得a =a =?= =q, an-1 1 2 a2+a3+?+an Sn-a1 根据等比的性质,得 = =q, a1+a2+?+an-1 Sn-an Sn-a1 a1-anq a1?1-qn? 即 =q?(1-q)Sn=a1-anq?Sn= = . Sn-an 1-q 1-q
注意:(1)等比数列前 n 项和公式及通项公式中共有五个量 a1、q、an、n、Sn,这五个量可“知三求二”. (2)利用等比数列的前 n 项和公式求和时,要特别注意公比 q 的取值,应当按 q=1 和 q≠1 分别求解,如果其中含有参数 不能确定时,必须进行分类讨论.

1 已知 a1=27,a9=243,q<0,求这个等比数列前 5 项的和.

[ 分析] 出 S5.
[ 解析]

由 a1, a9 可求出 q, 再用等比数列前 n 项和公式求 1 243 1 1 8 ∵a1=27,a9=243,∴q = 27 =38,

1 又∵q<0,∴q=-3, 15 a1?1-q5? 27[1-?-3? ] 61 ∴S5= = 1 =3. 1-q 1-?-3?

2.等比数列前 n 项和公式与函数的关系 当公比 q≠1 时,我们已经知道等比数列的前 n 项和公式 a1?1-qn? a1 n a1 a1 Sn= , 它可以变形为 Sn=- q+ , 设 A= , 1-q 1-q 1-q 1-q 上式可写成 Sn=-Aqn+A,由此可见,非常数列的等比数列的 前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的, 而指数式的系数与常数项互为相反数.反过来也成立.

即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和 公式为 Sn=-Aqn+A,(A≠0,q≠0,且 q≠1,n∈N*) 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例 函数.

等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2×3n+a,则 a 等于( A.3 C.0 [ 答案] B.1 D.-2

)

D

[ 解析]

数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n

项和公式为 Sn=-Aqn+A,由此可知 a=-2.

3.等比数列前 n 项和的性质 (1)连续 m 项的和(如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?)仍组成等 比数列(注意这连续 m 项的和必须非零才能成立). (2){an}为等比数列?Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0 且 q≠± 1). (3)Sn+m=Sm+qmSn(q 为公比). S偶 (4)若项数 n 为偶数(n∈N ),则 =q. S奇
*

在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 S10=10,S30 =130,则 S20 的值为________.
[ 答案]
[ 解析]

40
由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列,

得(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20), 解方程得 S20=40 或 S20=-30,∵S20>0,∴S20=40.

等比数列求和公式
7 63 在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求 an. 已知等比数列前 3 项与前 6 项的和,求其通项,

[ 分析]

解答本题直接用前 n 项和公式,列方程组求解. [ 解析] ∵S6≠2S3,∴q≠1,
3 a ? 1 - q ? 7 ? 1 ? =2, 1 - q ? 7 63 又∵S3=2,S6= 2 ,∴? 6 a ? 1 - q ? 63 ? 1 =2, ? 1 - q ?

整理,得 1+q3=9,解得 q=2. a1?1-q3? 7 1 将 q=2 代入 =2,得 a1=2, 1-q 故 an=a1qn 1=2n 2.
- -

[ 方法总结]

对于等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn

中,a1,q 是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时, 均可以用 a1,q 列方程组求解.

在等比数列{an}中,公比 q=-2,S5=22,则 a1 的值等于 ( ) A.-2 C.1 [ 答案] [ 解析] B.-1 D.2

D a1[1-?-2?5] ∵S5=22,q=-2,∴ =22, 1-?-2?

∴a1=2.

等比数列前n项和的性质

设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是 ( ) A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

[ 答案]

D

[ 解析]

由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z.

又∵{an}是等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列,∴(Y-X)2=X· (Z-Y),整理得 Y2-XY=ZX-X2, 即 Y(Y-X)=X(Z-X).故选 D.

S6 S9 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =3,则S =( 3 6 A.2 8 C.3 [ 答案] 7 B.3 D.3

)

B

[ 解析]

S6-S3 S6 ∵S =3,∴S6=3S3,∴ S =2, 3 3

S9-S6 2 ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等比,∴ S =2 , 3 ∴S9=4S3+S6=7S3, S9 7S3 7 ∴S =3S =3,∴选 B. 6 3

错位相减法求数列的前n项和

[ 分析]

2n-1 1 3 5 7 求数列2,4,8,16,?, 2n 的前 n 项和. 1 1 1 1 本题中的数列是由数列 1,3,5,7, ?与2, ? 4, 8, 16,

的各项对应相乘得到的,前面的数列是等差数列,后面的数列 是等比数列,可用错位相减法求和. 2n-1 1 3 5 [ 解析] 设 Sn=2+22+23+?+ 2n ,
2n-1 3 5 则 2Sn=1+2+22+?+ n-1 . 2

① ②

2n-1 1 1 1 1 ①-②,得-Sn=-1-2(2+22+23+?+ n-1)+ 2n = 2 1 1 2?1-2n-1? 2n-1 -1-2× 1 + 2n 1-2 2n-1 =-1-2+ n-2+ 2n 2 1 2n+3 =-3+ 2n , 2n+3 ∴Sn=3- 2n .

设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [ 解析] (1)由已知,当 n≥1 时,
an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)] +a1 =3(22n-1+22n-3+?+2)+2 =22n+1=22(n+1)-1. 而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1.


(2)由 bn=nan=n· 22n 1,知


Sn=1×2+2×23+3×25+?+n· 22n-1, ①-②,得 (1-22)Sn=2+23+25+?+22n-1-n· 22n+1, 1 即 Sn=9[(3n-1)22n+1+2] .



22 · Sn=1×23+2×25+3×27+?+(n-1)22n-1+n· 22n+1.②

数列与函数的综合应用
以数列 {an} 的任意相邻两项为横、纵坐标的点 Pn(an,an+1)(n∈N*)均在一次函数 y=2x+k 的图象上,数列 bn =an+1-an(n∈N*,b1≠0). (1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 S6=T4, S5=-9,求 k 的值.

[ 分析]

(1)本题考查等比数列与函数知识.先由点 P(an,

an+1)在一次函数 y=2x+k 上,结合 bn=an+1-an,求出 bn 与 bn
+1

之间的关系;(2)利用(1)中得到的结论求出 Sn,Tn 及其关系后

利用 S6=T4,S5=-9,求 k 的值. [ 解析] (1)由题意,得 an+1=2an+k,bn=an+1-an,
∴bn=2an+k-an=an+k, ∴bn+1=an+1+k=(2an+k)+k=2(an+k).即 bn+1=2bn. ∵b1≠0, bn+1 ∴ b =2(n∈N*), n ∴数列{bn}是以 2 为公比的等比数列.

(2)由(1),得 bn=an+k 及{bn}是公比为 2 的等比数列,得 b1?1-2n? Tn= =b1(2n-1), 1-2 由 bn=an+k 得 Tn=Sn+nk, ∴Sn=b1(2n-1)-nk. ∵S6=T4,S5=-9,
? ?63b1-6k=15b1, ∴? ? ?31b1-5k=-9,

解得 k=8.

[ 方法总结]

本题是等比数列与函数、方程组合的综合性

问题.注意由 bn=an+k 可得 b1+b2+?+bn=a1+a2+?+an +nk,即 Tn=Sn+nk.

已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn,且 a1,a2,a3,?, an 组成等差数列(n 为正偶数),又 f(1)=n2,f(-1)=n. (1)求数列的通项公式 an; 1 (2)试比较 f(2)与 3 的大小,并说明理由.

[ 解析]

(1)∵f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn,

f(1)=n2,f(-1)=n, ∴f(1)=a1+a2+a3+?+an=n2, f(-1)=-a1+a2-a3+a4-?-an-1+an=n. n?a1+an? 2 n 由题意,得 =n ,2d=n. 2 ∴a1+an=2n,d=2,∴2a1+(n-1)×2=2n,∴a1=1,∴ an=2n-1.

1 1 12 1n (2)∵f(2)=2+3×(2) +?+(2n-1)×(2) , 1 1 12 13 1n 1n ∴2f(2)=(2) +3×(2) +?+(2n-3)×(2) +(2n-1)×(2)
+1

1 1 1 12 13 .以上两式左右两边分别相减,得2f(2)=2+2×(2) +2×(2)

1n 1 n+1 +?+2×(2) -(2n-1)×(2) ,

1 1 12 1 n-1 1n ∴f(2)=1+2×(2)+2×(2) +?+2×(2) -(2n-1)×(2) 1 1 n-1 2[1-?2? ] 1 1 1 =1+2× 1 -(2n-1)×2n=3-2n-2-(2n-1)×2n<3, 1-2 1 综上所述,f(2)<3.

等比数列前n项和公式的实际应用
从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行 生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入 1 800 万元,以后每年投入将比上年减少5,本年度当地旅游业收 入估计 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今 1 后的旅游业收入每年会比上年增加4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总 收入为 bn 万元,写出表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

[ 解析]

(1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800(1

1 1 n-1 -5)万元,第 n 年的投入为 800(1-5) 万元. 1 所以, n 年内的总投入为: an=800+800(1-5)+?+800(1 1 n-1 4n -5) =4 000-4 000(5) (万元); 第一年旅游业收入为 400 万元, 1 第二年旅游业收入为 400(1+4)万元, 1 n-1 第 n 年旅游业收入为 400(1+4) 万元.

所以 n 年内的旅游业总收入为 1 1 n -1 bn=400+400(1+4)+?+400(1+4) 5n =1 600(4) -1 600(万元).

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0, 5n 4n 即 1 600(4) -1 600-4 000+4 000(5) >0, 5n 4n 化简得 2(4) +5(5) -7>0, 4n 设(5) =x,代入上式得 5x2-7x+2>0. 2 解此不等式,得 x<5,或 x>1(舍去), 4n 2 即(5) <5,由此得 n≥5. 答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩,2004 年底西部 已退耕还林的土地面积为 515 万亩,以后每年退耕还林的面积 按 12%递增. (1)试问从 2004 年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕 还林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年) (2)为支持退耕还林工作,国家财政从 2005 年起补助农民 当年退耕地每亩 300 斤粮食,每斤粮食按 0.7 元折算,并且补 助当年退耕地每亩 20 元.试问:西部完成退耕还林计划,国家 财政共需支付多少亿元?(精确到亿元)

[ 解析]

设从 2004 年底起以后每年的退耕还林的土地依次

为 a1,a2,a3,?,an,?万亩.则 (1)a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,?,an=515(1+ 12%)n,? Sn=a1+a2+?+an 515?1+0.12??1-1.12n? = =6 370-515 1-1.12 ?515×1.12×(1.12n-1)=5 855×0.12 ∴1.12n=2.22, ∴n=7. 故到 2011 年底西部地区才能完成退耕还林计划.

(2)设财政补助费为 W 亿元. 则 W=(300×0.7+20)×(6 370-515)×10 =134.6(亿元) 所以西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付 134.6 亿 元.
-4

设数列{an}是由正数组成的等比数列, Sn 是其前 lgSn+lgSn+2 n 项和.求证: <lgSn+1. 2 [ 错解] 设{an}的公比为 q.

a1?1-qn? ∵Sn= , 1-q a1?1-qn+1? a1?1-qn+2? ∴Sn+1= ,Sn+2= , 1-q 1-q

2 n n+2 2 n+1 2 a ? 1 - q ?? 1 - q ? a ? 1 - q ? 1 1 2 ∴ SnSn + 2 - S n+1 = - =-a2 2 2 1 ?1-q? ?1-q?

qn<0. 根据对数的单调性知 lg(SnSn+2)<lgS2 n+1, lgSn+lgSn+2 即 <lgSn+1. 2
[ 错因分析] 没有分 q=1 和 q≠1 两种情况证明,求和公 a1?1-qn? 式 Sn= 只适合 q≠1 这种情况. 1-q 在含字母参数的等比数列求和时,应分 q=1 和 q≠1 两种 情况进行讨论.

[ 正解] +1)a1,

设{an}的公比为 q.当 q=1 时,Sn=na1,Sn+1=(n

Sn+2=(n+2)a1,
2 故 SnSn+2-S2 n+1=-a1<0,

即 SnSn+2<S2 n+1. lgSn+lgSn+2 两边同时取对数并整理,得 <lgSn+1. 2 当 q≠1 时,同错证证得结论成立.


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