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高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数章末复习提升练习湘教版必修1

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第二章 指数函数、对数函数和幂函数章末复习提升练习 湘教版必修 1

1.指数和对数 (1)分数指数的定义:

m a = an(a>0,m,n∈N,m≥2), a
? n m

n m



1

(a>0,m,n∈N,m≥2).
n

m

a

(2)如同减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算一样,对数运算是指数运算的逆运算.

ab=N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0).
由此可得到对数恒等式:

alogaN=N,b=logaab.
logbN (3)对数换底公式 logaN= (a>0,b>0,a≠1,b≠1,N>0)的意义在于把各个不同底数 logba 的对数换成相同底数的对数,这样,一可以进行换算,二可以通过对数表求值. (4)指数和对数的运算法则有:

am·an=am+n,logaM+logaN=loga(MN),
(a ) =a ,logaM =nlogaM,
m n mn n

1

M am÷an=am-n,logaM-logaN=loga . N
(a∈R+,m,n∈R)(M,N∈R+,a>0,a≠1). 2.指数函数、对数函数和幂函数 (1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象,并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质; (2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线 y=x 成轴对称图形.由图可“读”出指数 函数和对数函数的主要性质: 指数函数 (1)定义域:R (2)值域:R+ (3)过点(0,1) (4)a>1 时为增函数, 0<a<1 时为减函数 对数函数 (1)定义域:R+ (2)值域:R (3)过点(1,0) (4)a>1 时为增函数, 0<a<1 时为减函数

如果两个函数 y=f(x)和 x=g(x)描述的是同一个对应法则, 则称这两个函数互为反函数. 这 时两者之间满足关系 g(f(x))=x 和 f(g(y))=y, 并且它们的图象关于直线 y=x 成轴对称. 函 数 f 叫作 g 的反函数, g 也叫作 f 的反函数. f 的定义域是 g 的值域, f 的值域是 g 的定义域, 两者同为递增或递减. 由上面反函数的定义,我们知道,指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)和同底数的对数函数 y= logax(a>0 且 a≠1)互为反函数.这给研究对数函数的图象和性质带来了方便. (3)幂函数 y=x 在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势. 由下图,当 n>0 时幂函数的主要性质是:
n x

①恒过(0,0),(1,1)两点; ②在区间[0,+∞)上为增函数. 当 n<0 时幂函数的主要性质有: ①恒过点(1,1);

2

②在区间(0,+∞)上为递减函数; ③图象走向和 x 轴、y 轴正向无限接近. 3.函数与方程 (1)实系数一元二次方程当 Δ >0 时有两个不等实根;当 Δ =0 时有两个相等实根;当 Δ <0 时无实数根. (2)方程 f(x)=0 的解就是函数 y=f(x)的图象和 x 轴交点的横坐标,也叫作函数的零点;方 程 f(x)=g(x)的解也就是两个函数 y=f(x)和 y=g(x)图象交点的横坐标. (3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值. 4.函数模型及其应用 (1)目前我们能建立的函数模型主要是一次函数,二次函数,幂函数,指数函数和对数函数的 模型; (2)建模的目的是: 模拟实际问题和用模拟函数的性质去推测判断未进行测量或不便测量的数 据,特别是实际问题的未来走势; (3)建模的大致步骤是: 了解和简化实际问题, 建立实际问题的数学模型, 分析所得数学模型, 把 模 型 所 判 断 的 结 论 和 实 际 模 型 的 表 现 加 以 比 较 , 改 进 数 学 模 型 .

题型一 有关指数、对数的运算问题 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点,不仅是本章考查的重要题型,也是 高考的必考内容. 指数式的运算首先要注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为指数式;其次若 出现分式,则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应 用过程中范围的变化,前后要等价;其次要熟练地运用对数的三个运算性质,并根据具体问 题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式,一定 要掌握并灵活运用.
4 1

例 1 (1)化简

a 3 -8a 3 b
2 3 2 3

3 4b +2 ab+a

÷?1-2

? ?

3 b? 3 ?× ab;

a?

32 log 3 (2)计算:2log32-log3 +log38-25 5 . 9



(1) 原 式 =

a b
1 3
2

1 3

a-8b
1 3 1 3

+2a b +

a

1 3

×
2

a
1 3

1 3 1 3

×a

1 3

b

1 3



a

1 3

a-8b a-8b

a -2b

3

3 ×a 3 ×a 3 b 3 =a b. 32 2log 3 (2)原式=log34-log3 +log38-5 5 9 9 2log 3 =log3(4× ×8)-5 5 32 =log39-9=2-9=-7. lg 8+lg 125-lg 2-lg 5 log 2 跟踪演练 1 (1)求 +5 5 +16 4 的值. log54·log25
1 3

1

1

1

(2)已知 x>1,且 x+x =6,求 x 2 -x

-1

?

1 2

.
3

lg 8+lg 125-lg 2-lg 5 log 2 解 (1) +5 5 +16 4 log54·log25 = = 3lg 2+3lg 5-lg 2-lg 5 4 +2+(2 ) 4 2log52·log25 3-1 +2+8=11. 2
1 1
2 -1

3

(2)?x 2 -x ? 2 ? =x+x -2=6-2=4, ? ? 又 x>1,∴x -x ∴ x -x
1 2
? 1 2 1 2 ? 1 2

>0,

=2.

题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质 函数的图象是研究函数性质的前提和基础,它较形象直观地反映了函数的一切性质.教材对 幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质,由具体到抽象的过程,突出 了函数图象在研究相应函数性质时的作用.

?1?x 例 2 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=? ? . ?2?

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)根据图象写出 f(x)的单调区间,并写出函数的值域.

?1? 解 (1)先作出当 x≥0 时, f(x)=? ?x 的图象, 利用偶函数的图象关于 y 轴对称, 再作出 f(x) ?2?
4

在 x∈(-∞,0)时的图象.

(2)函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为[0,+∞),值域为(0,1]. 跟踪演练 2 (1)函数 f(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=x -4x+4 的图象的交点个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 (2)函数 y= x 的图象大致是( 3 -1
2

)

x3

)

答案 (1)C (2)C 解析 (1)作出两个函数的图象,利用数形结合思想求解.
2 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2, 在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=(x-2)

的图象(如图).由图可得两个函数的图象有 2 个交点.

(2)由 3 -1≠0 得 x≠0, ∴函数 y= 的定义域为{x|x≠0},可排除选项 A; 3 -1
x

x

x3

当 x=-1 时,y=

- 3 = >0,可排除选项 B; 1 2 -1 3

3

64 当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y= , 80 但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛盾,可排除选项 D.故选 C. 题型三 比较大小 比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要 比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种: (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、 二次函数、 指数函数、 对数函数、 幂函数的单调性),
5

利用单调性的定义求解; (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如 0,1,-1 等; (3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.

?1?0.2 例 3 设 a= log 1 3 ,b=? ? ,c=2 3 ,则( ?3?
2

1

)

A.a<b<c C.c<a<b 答案 A

B.c<b<a D.b<a<c

?1?0.2 解析 a= log 1 3 <0,0<b=? ? <1,c=2 3 >1,故有 a<b<c. ?3?
2

1

跟踪演练 3 (1)下列不等式成立的是( A.log32<log23<log25 C.log23<log32<log25

)

B.log32<log25<log23 D.log23<log25<log32 )

1 (2)已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21-loga 3,则( 2 A.x>y>z C.y>x>z 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由于 log31<log32<log33, log22<log23<log25, 即 0<log32<1,1<log23<log25, 所以 log32<log23<log25.故选 A. (2)依题意,得 x=loga 6,y=loga 5, B.z>y>x D.z>x>y

z=loga 7.
又 0<a<1, 5< 6< 7, 因此有 loga 5>loga 6>loga 7,即 y>x>z.故选 C. 题型四 函数的零点与方程的根的关系及应用 根据函数零点的定义,函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,判断一个方程是否有零 点,有几个零点,就是判断方程 f(x)=0 是否有根,有几个根.从图形上看,函数的零点就 是函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标,函数零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点 的横坐标三者之间有着内在的本质联系,利用它们之间的关系,可以解决很多函数、方程与 不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化,应引起重视. 例 4 已知 a 是函数 f(x)= 2 - log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足(
2 x

)

6

A.f(x0)=0 C.f(x0)<0 答案 C

B.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定

解析 如下图所示,是 y=2 与 y= log 1 x 的图象,显然两个图象的交点的横坐标为 a,于是
x

2

在(0,a)区间上,y=2 的图象在 y= log 1 x 的图象的下方,从而 2 0< log 1 x0,即 f(x0)=2x0
x x

2

2

- log 1 x0<0.
2

?1?x-2 3 跟踪演练 4 设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ?2?
A.(0,1) C.(2,3) 答案 B 解析 建立函数 g(x)=x -2 =x -2
3 2-x 3 2-x

)

B.(1,2) D.(3,4)

,计算判断 g(0)、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的符号.设 g(x)



1 3 则 g(0)=-4,g(1)=-1,g(2)=7,g(3)=26 ,g(4)=63 ,显然 g(1)·g(2)<0,于是函 2 4 数 g(x)的零点,

?1?x-2 3 即 y=x 与 y=? ? 的图象的交点在(1,2)上. ?2?
题型五 分类讨论思想 本章常见分类讨论思想的应用如下表: 问题 讨论标准 分类情况 (1)a>1 时, 若 f(x)>g(x), 则a 比较 a
f(x) f(x)

>a

g(x)



与a

g(x)

的大小

a 与 1 的大小关系

(2)0<a<1 时,若 f(x)>g(x),则 a <a
g(x)

f(x)

解不等式 a

f(x)

>a

g(x)

a 与 1 的大小关系

(1)a>1 时,f(x)>g(x); (2)0<a<1 时,f(x)<g(x) (1)a>1 时, 若 x1>x2, 则 logax1>logax2; (2)0<a<1 时,若 x1>x2,则 logax1<
7

比较 logax1 与 logax2 的大小

a 与 1 的大小关系

logax2 解不等式 logaf(x)> logag(x)

a 与 1 的大小关系

(1)a>1 时,f(x)>g(x)>0; (2)0<a<1 时,0<f(x)<g(x)

?1? 例 5 已知偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,f? ?=0,求不等式 f(logax)>0(a>0, ?2?
且 a≠1)的解集. 解 ∵f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,

?1? 又 f? ?=0, ?2? ? 1? ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,f?- ?=0. ? 2?
1 1 故若 f(logax)>0,则有 logax> 或 logax<- . 2 2 1 1 ①当 a>1 时,由 logax> 或 logax<- , 2 2 得 x> a或 0<x<

a . a

1 1 ②当 0<a<1 时,由 logax> 或 logax<- , 2 2 得 0<x< a或 x>

a . a

综上可知, 当 a>1 时, f(logax)>0 的解集为?0, >0 的解集为(0, a)∪?

? ?

a? +∞); 当 0<a<1 时, f(logax) ?∪( a, a?

? a ? ,+∞?. ?a ?
x 2- 3 x+3

跟踪演练 5 已知函数 y= a

1 在 x∈[1,3]时有最小值 ,求 a 的值. 8

? 3?2 3 2 解 令 t=x -3x+3=?x- ? + , ? 2? 4 ?3 ? 当 x∈[1,3]时,t∈? ,3?. ?4 ?
1 ①若 a>1,则 ymin=a = , 8 1 解得 a= ,与 a>1 矛盾. 16 1 3 ②若 0<a<1,则 ymin=a = , 8
3 4

8

1 解得 a= ,满足题意. 2 1 综合①,②知,a= . 2

1.函数是高中数学极为重要的内容,函数思想和函数方法贯穿高中数学的整个过程,纵观历 年高考试题,对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题,一直是常考不衰的热 点问题. 2.从考查角度看,指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主;对图象的考 查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力;对幂函 数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查. 3.对于零点性质要注意函数与方程的结合,借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的 根;对于连续函数,利用零点存在性定理,可用来求参数的取值范围. 4.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.

9


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