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2013年福建省高三质检理科数学试卷word版_图文

2013 年福建普通高中毕业班质量检查理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题. 本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照題号在各题的答题区域 (黑色线框) 内作答, 超 出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号;非选 择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4. 做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂 黑. 5. 保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 参考公式: 样本数据 x1,x 2 , ? x n 的标准差 锥体体积公式

1 1 V ? Sh , [( x 1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] 3 n 其中 x 为样本的平均数 其中 S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

s?

V ? Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符 合题目要求的. 1.已知复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是
A. z =-1-i B. z =-1+i C. | z | =2 2 2.已知向量 a= (m ,4),b=(1,1)则“m= -2”是“a//b”的 D. | z | =

2

A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

3.函数 f ( x) ? log 1 cos x(? 2 ? x ? 2 ) 的图象大致是
2

?

?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 2,则输 出的x 值为 A. 3 B. 126 D. 128 C. 127 5.设 M,N 是两条不同的直线,A,β 是两个不同的平面.下列命题正确的是
第1页

6.已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 的图象关于点( ? ,0)对称,则 ? 的值可以是
A. ?

A. 若 m//n, m 丄 则 丄 β, n β B. 若 m//n,m //β,则 n //β C. 若 /a, m/ m//β, a//β 则 D. 若 丄 n 丄 n a, β,则 a 丄 β

?
6

B.

? 6

C. ?

? 12

D.

? 12

7.设抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 L,P 为抛物线上一点,PA 丄 l,垂足为 A,如果 ΔAPF 为 正三 角形,那么|PF|等于
A,

4 3

B.

6 3

C6

D . 12

8.在矩形 ABCD 中,AB= 1 ,AD = 3 ,P 为矩形内一点, 且.AP=

(? , ? ? R) , 则 ? ? 3? 的最大值为 3 6 3? 3 6 ?3 2 A. B. C. D. 2 2 4 4 ? x ? kx 2 , x ? 0 ? 9.若函数 f ( x) ? ? x ? 1 有且只有 2 个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 ?ln x, x ? 0 ?
A. (-4,0) B, ( -∞ ,0] C. ( -4,0] D, ( - ∞ ,0) 10.设数集 S={a,b,c,d}满足下列两个条件: (1) ?x, y ? S , xy ? S ; (2) ?x, y, z ? S或x ? y, 则xz ? yz 现给出如下论断: ②A、b,c,d 中必有一个为 1; ①A,B,C,D 中必有一个为 0; 2 2 ③若 x∈S 且 xy=1.,则 y∈S; ④存在互不相等的 x,y,z∈S,使得 x =y,y =z. 其中正确论断的个数是 A 1 B.2 C. 3 D.4 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.(x+2) 4 展开式中含 x2 项的系数等于________.

? ??? ? ??? ? 3 ??? 若 AP ? ? AB ? ? AD 2

?3 x ? y ? 1 ? 0 ? 12.若变量 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 11 ? 0 ,则 z =2x+y 的最大值 ?y ? 2 ? 为_____. 13.已知直线 l:y=- 3 (x-1)与圆 O:x2 +y2=1 在第一象限内交于点 M, 且
l 与 y 轴交于点 A,则 ΔMOA 的面积等于______. 14.如图.A1,A2,…Am-1(m ? 2)将区间[0,l] m 等分,直线x=0,x=1, y= 0 和 x 曲线 y=e 所围成的区域为 Ω 1 图中 m 个矩形构成的阴影区域 为 Ω2. 在 Ω1中任取一点,则该点取自 Ω2的概率等于______. x y 15.定义两个实数间的一种新运 算“*”:x*y=lg(10 +10 ),x,y∈R 当.x *x=y 时, 记 x=*

y 对于任意实数 a,b,c,给出如下结论:
②(a * b ) +c =(a +c) * (b +c);
第2页

①(a*b) * c =a * (b * c );

③a *b= b * a ;

④* a *b ?

a?b 2

其 e 正确的结论是_____.(写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. ( 本小题满分 1 3 分) 某几何体 ABC-A1B1C1 的三视图和直观图如图所示. (I)求证:A1C 丄平面 AB1C1 (II)求二面角 C1-AB1 -C 的余弦值.

17 (本小题满分 13 分) 国 IV 标准规定: 轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过 80mg/km.根据这个标准, 检测单位 从 某出租车公司运营的 A,B 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆,对其氮氧化物的排放量 进行检 测,检测结果记录如下(单位:mg/km)

由于表格被污损,数据 x,y 看不清,统计员只记得 A、B 两种出租车的氮氧化物排放量的 平均值相等,方差也相等. (I)求表格中 x 与 y 的值; (II )从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中任取 2 辆,记“氮氧化物排放量超过 80mg/km” 的 车辆数为 ? 求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 13 分) 如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行 至 A 处, 此时测得其东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外国船只, 且D 岛位 于海监船正东 14 2 及海里处. (I)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (II)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度 沿正南方 向航行.为了将该船拦截在离 D 岛 12 海 里处,不让其进入 D 岛 12
第3页

海里内的海域,试确定海 监船的航向,并求其速度的最小值. (参考数据: )

19.

(本小题满分 13 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 F2 , a2 b2 3 左、右顶点分别为 A1 ,A2,T( 1, )为椭圆上一点,且 TF2垂直于 x 轴. 2
如图 1,椭圆 E:

(I)求椭圆 E 的方程; (II)给出命题:“已知 P 是椭圆 E 上异于 A1,A2 的一点,直线 A1P,A2P 分 N, 别交直线 l:x=t(t 为常数) 于不同两点 M, 点 Q 在直线 L 上.若直线 PQ 与椭圆 E 有且只有一个公共 点 P,则 Q 为线段 MN 的中点”,写出此命 题的逆命题,判 断你所写出的命题的真假,并加以证明; (III)试研究(II)的结论,根据你的研究心得,在图 2 中作出与该双 曲线有 且只有一个公共点 S 的直线 m,并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

20.

(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ?

ax 2 的图象在点(2,f(2))处的切线方程为 y = 2 . 2x ? b
1 x 且与曲线 y=f(x)没有公共点的直线?证明你的结论; 2
1

( I )求 a,b 的值及 f(x)的单调区间; (II)是否存在平行于直线 y = 围.

(III)设数列{a n }满足 a 1 = λ(λ≠l),a n +

=f(a n ),若{a n }是单调数列,求实数 λ 的取值 范

21. 本题有 (1)、 (2)、 (3)三个选答题, 每题7 分, 请考生任选 2 题作答, 14 分.如果多做, 则 满分 按所做的前两题记分.作答时, 先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.并 将所选题号 填人括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? ? 2  1 ? ,向量,a= a ? ? 5  ? ? ? ? ? ? ? ? ? (I)求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;
(II)求 M3a

? ? 4  3 ?

? 7  ?

(2)

(本小题满分 7 分)选修 4-4:极坐标与参数方程
第4页

如图,在极坐标系中 ,圆C 的圆心坐标为(1,0),半径为 1. (I)求圆 C 的极坐标方程; (II)若以极点 0 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.已知直线 l 的参数方程为

? ? ? x ? ?1 ? t cos 6 ? (t 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 ? ? ? y ? t sin ? 6 ?
(3)(本小题满分 7 分)选修 4 一 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 5 ? x (I)求证: f ( x) ? 5 ,并说明等号成立的条件; (II)若关于 x 的不等式. f ( x) ?| m ? 2 | 恒成立,求实数 m 的取值范围,

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